人教版初三数学上册二次函数的图象及性质2
人教版数学九年级上册22 二次函数y=ax2的图象和性质(第二课时)课件
2．抛物线 y＝12x2，y＝x2，y＝－x2 的共同性质是：①都是开口向上；②都以点
(0,0)为顶点；③都以 y 轴为对称轴；④都关于 x 轴对称．其中正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6
3．已知二次函数 y＝x2，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而__增__大____.(填“增大”或“减
14
解：设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝ax2(a≠0)．将(100,1000)代入，得 1000＝ 10 000a.解得 a＝110.故 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝110x2.设 z 与 x 之间的函数解析
式为 z＝kx＋b，则1b0＝0k3＋0. b＝20，
解得k＝－110， b＝30.
4
(1)如图 1，当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2 开口向上，顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y 轴．在对称轴的左侧(即 x＜0)，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧(即 x＞0)，y 随 x 的增大而增大．当 x＝0 时，y 取最小值，最小值为 0.
图1
图2
(2)如图 2，当 a＜0 时，抛物线 y＝ax2 开口向下，顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y
轴．在对称轴的左侧(即 x＜0)，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧(即 x＞0)，y
随 x 的增大而减小．当 x＝0 时，y 取最大值，最大值为 0.
5
基础过关
1．自由落体公式 h＝12gt2(g 为常量)，h 与 t 之间的关系是( C )
A．正比例函数
B．一次函数
C．二次函数
D．以上答案都不对
9
能力提升
• 1式0一．定已正知确抛的物是线(y＝ax)2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系 • A．y1＞0C＞y2 B．y2＞0＞y1 • C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 • 11．【内蒙古呼和浩特中考】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。
探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。
只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。
要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。
结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
人教版九年级数学上册第节二次函数的图像和性质
你能说出二次函数y=—x －6x＋21 (共46张PPT)人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
拱峦芦人蝉差终尺奇袱壕径砂蛹蜗桌峙瓢钝蚌硼绚驱碑印卫续决隙薪箍苏人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质
yax2 bxc的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:(
b
4acb2
,
)
2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y3x24x1 y2x2x3
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
yax2 bxc的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:(
b
4acb2
,
)
2a 4a
2.抛 物 线 y=2x2+bx+c的 顶 点 坐 标
(共46张PPT)人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT) ⑴a决定抛物线的开口方向：
当x=
时,y有最大(最小)值
当Байду номын сангаас﹤0时，开口
，
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
b=-8 c= 6 D. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
向上 直线x=3 （3，7 ）
(3)“画”：列表、描点、连线。
a+b+c=0 D.
y1(x6) 3 求二次函数y=ax²+2bx+c的对称轴和顶点坐标． 2 (3)都有最(大或小)值.
第三象限 D.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
人教版九年级上册第二十二章二次函数数学二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 22。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
中考数学复习 函数及其图象二次函数的图象和性质二课件
解:(1)令 y=0,则-12x2+2x+6=0, ∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当 y≥0 时,x 的取值范围为-2≤x≤6.
2.[2019·温州]如图 15-2,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-12x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧). (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1.若点 B1 向左平移 n 个单位,将与该二次函数 图象上的点 B2 重合;若点 B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点 B3 重合.已知 m>0,n>0,求 m,n 的值.
方法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
������-������ + ������ = 0,
������ = -1,
∴ 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = 2,
������ = 3,
������ = 3,
m<2.
例2 (2)已知二次函数y=2x2-mx-m2. ①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点; ②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐 标. (2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
| 考向精练 | 1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为
-1 .
2.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图 [答案] x1=2,x2=4 象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5 图象的
人教版九年级上册2二次函数的图象和性质课件
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数2二次函数一般式的图像及性质教案
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质第1课时教学目标：知识与技能：能熟练地将二次函数一般式化为顶点式，并能求出它的顶点坐标，对称轴. 过程与方法：经历一般式化为顶点式的过程，进一步体会转化的数学思想.情感态度与价值观：在学生探究问题的过程中，发展学生合作意识，培养刻苦钻研的精神. 教学重难点：重点：会熟练求出二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴.难点：会用配方法或公式法将一般式c bx ax y ++=2化成顶点式()k h x a y +-=2教学过程：一、温故知新：填空：回顾()k h x a y +-=2的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二、探究新知：我们已经知道()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论26212+-=x x y 的图像和性质呢？问题1 怎样将26212+-=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式？（学生思考回答，教师引导完成配方）.问题2 怎么去画出26212+-=x x y 的函数图象？ 学生思考回答：1.平移及过程，教师演示平移动画（几何画板）；2.直接作图：列表、描点、连线，教师演示画图过程.归纳：1.26212+-=x x y 的图象的性质 开口方向： 对称轴： 定点坐标： 增减性： 图象： 2.二次函数26212+-=x x y 图象的画法：①化：化为顶点式；②定：开口方向、对称轴、顶点坐标；③画：列表、描点、连线. 问题3 你能把c bx ax y ++=2配成()k h x a y +-=2的形式吗？ 学生活动，教师指导，集体订正.结论：c bx ax y ++=2→a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对比顶点式，你能说出c bx ax y ++=2的对称轴、顶点坐标吗？归纳：c bx ax y ++=2的图象和性质观看趣味视频：从一般式到顶点式三、例题解析： 写出抛物线c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标开口方向 对称轴顶点坐标（1）x x y 232+=（2）x x y 22--=+2四、课堂小结：1.同学们，这节课的学习你有哪些收获呢？学生自行归纳总结2.知识框架图五、提升训练：练习册28页例3及变式训练六、教学反思：教学流程设计合理，教学过程学生反馈较好，但是未能及时对部分学困生进行辅导，学生动手操作的时间较少，应对部分环节进行处理，突出学生学习的主体性。
人教版初三数学上册二次函数的图像和性质第2课时
繁昌县赤沙初中 童小娟
有的放矢
数形结合,直观感受
你会用描点法画二次函数y=x2 ，y=-x2的
图象吗?
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
注意：列表时自变量 描点法取值要均匀y和 对 2称。
x
列表
y x2
y 1 x
描点
连线
y x2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限
伸展.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限
人教版初三数学上册二次函数图像性质.2 二次函数图象与性质
一次函数的图象是一条直线，借助图象了解了 一次函数的性质，如何研究二次函数的性质呢？
作函数图象 的一般步骤：列 表、描点、连 线．
y 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1O-1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
二次函数的图象是什么？它有什么特点？又有哪 些性质？
例1 画出二次函数 y x2 的图象．
与 y 2x2的图象，观察并比较两个图象，你发
现有什么共同点？又有什么区别？
都是抛物线，关于y轴对 称，都是以原点为顶点等．
开口方向不同等．
（3）在同一直角坐标系中，画出函数 y x2，
y x2 、y 2x2、y x2 的图象，你发现
什么？
二次项系数的绝对值越大 开口越小，正数开口向上，负 数开口向下．
（4）y
x2 3
课本练习2、3、4
y ax2
向上
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x的增大而 x>0时，y随x的增大而减
增大；
小；
x<0时，y随x的增大而 x>0时，y随x的增大而增
减小；
大；
当x=0时，y最小=0
当x=0时，y最大=0
解：列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
描点：Biblioteka y … 9 4 1 0 1 4 9… y
9
连线：
8
7
这个函数图
6
象有什么特点？
5
4
3 2
1
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？
抛物线(parabola) 对称轴
初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组 对应值：
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接 各点，就得到y = -x2 的图象 图象开口向下，有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= 1 x2， 2
③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.（填序号）
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( C )
人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质(第二课时)
练一练
抛物线y 2(x 3)2 的开口_向_上___；顶点坐
标为_（_-3_，__0 _）__；对称轴是__x_=_- 3___； 当x＝－3时，y有最__小___值是_y_=_0__.
归纳小结
1、填表
抛物线
上
轴对称
h0 h
00 0
左右
2、学习反思： ______________________________ ______________________________ _______.
2
的开口 向下 ，对称轴是经过（ 1 ，0 ）且与 x 轴垂
直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（ 1 ，0 ）.
练一练
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象
y 1 x2 , y 1 (x 2)2
2
2
, y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出他们的开口 方向、对称轴和顶点.
• 练一练
y 1 x2 开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
y
1
(
2
x
2)2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
y 21 (x 2)2 开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2与抛物线 y 1 x 12，
有什么关系？
分析：1、抛物线 y a(x h)2 特点：
（1）当 x＞0时，开口向 上 ； 当 x<0时，开口向 下 ；
（2）对称轴是直线
x=h ；
（3）顶点坐标是
(h,0)
.
分析：
2、抛物线 y a(x h)2与 y ax2 形状相同， 位置不同，y a(x h)2是由 y ax2 平移得到的.
人教版初中数学九年级上册 二次函数y=ax2的图象和性质 课件PPT
列表：, 的几组对应值如下：
在 = 中
自变量可以
是任意实数
…
−
−
−
0
1
2
3
…
=
…
9
4
1
0
1
4
9
…
4
知识讲解
描点：根据表中, 的数值在坐标平面中描点 , ；
连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到 = 的图象，如图所示、
函数图象画法
9
列表
6
描点
−
连线
6
象的开口大小，与a的绝对值大小有什么关系？
4
=
2
当 > 时，的绝对值越大，开口越小、
－4
－2
2
4
知识讲解
问题
请画出函数 = −的图象，观察图象函数 = −有哪些性质？
解：列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
= −
…
−
−
−
0
−
−
−
…
y
在对称轴 轴的左侧，抛物线从左往右上升；
(, )
8
(, )
知识讲解
解:∵点B的坐标为（, ），
∴当＝时，＝ × ＝、
∴点C的坐标为（, ）， = 、
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴＝，
∴在长方形内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝ × ＝、
-4
-2
O
在对称轴 轴的右侧，抛物线从左往右下降、
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2
2
抛物线 y 1 x 12
．
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
24
y 1 x 12
2
－6
可以看出，抛物线 y 1 x 12
2
的开口向_下__，对称轴是
8. 已知二次函数y=8(x -2)2 当 x > 2 时，y随x的增大而增大, 当 x < 2 时，y随x的增大而减小.
9.二次函数y=a(x -h)2的图像是以 x = h 为对 称轴的 抛物线，顶点坐标为_（__h_,_0_)_____.
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
2
抛物线 y 1 x 12 y 1 x 12 与抛物线 y 1 x2
2
2
2
有什么关系？
可以发现，把抛物线 y 1 x2 向左平移1个单位，就得到抛物
2
线 y 1 x 12 ；把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，就得到
当x=h时,y有最大值0
ห้องสมุดไป่ตู้
增减性
当x<h时,y随x增大而减小 当x>h时,y随x增大而增大
当x<h时,y随x增大而增大 当x>h时,y随x增大而减小
说出二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 (1) y=2(x+3)2 向上, x=-3, (-3,0) (2) y=-3(x-1)2 向下, x=1, (1,0) (3) y=5(x+2)2 向上, x=-2, (-2,0) (4) y= -(x-6)2 向下, x=6, (6,0) (5) y=7(x-8)2 向上, x=8, (8,0)
经过点（-1，0）且与x轴垂直的直线，记为_x__=_-_1_，顶点
是（-1，0）；抛物线 y 1 x 12的开口向__下____，对称
2
轴是___x_=__1___，顶点是___(_1__,_0__)___．
归纳与小结:
几何画板演示
(1)当h>0时，抛物线y=ax2 向_右__平移__h_个单位得到 y=a(x-h)2的图象；
(2)当h<0时，抛物线y=ax2 向_左__平移_|_h_| 个单位得到 y=a(x-h)2的图象.
左加右减
a的符号 图象
h0
y
y ax h2 a 0
a0 h0
y
h0
y O
a0
h0
y
x
Ox
开口方向 对称轴
顶点坐标 最值
x O
x O
开口向上
开口向下
x=h
（h，0）
当x=h时,y有最小值0
4.对于任何实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线 y=x2的_方__向__，__大__小__相同
5.将抛物线y= -2x2向左平移一个单位，再向右 平移3个单位得抛物线解析式为_y_=_-_2_(_x_–__2_)_2_
6.抛物线y=3(x-8)2最小值为__0__.
7. 抛物线y= -3(x+2)2与x轴、y轴的交点坐标分 别为_(_-_2_,_0_)__(0_,_-__1_2_) .
(2)y=-3x2+2 向下， x=0 （0, 2)
(3)y=8x2+6
向上， x=0 （0, 6)
(4)y=-x2-4
向下， x=0 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y a x h2 的图
像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· -4 -3 -2
y 1 x 12
2
··· -4.5
-2
1 2
x
··· -2 -1 0
y 1 x 12
2
··· -4.5 -2
1 2
-1 0
0 1
2
1 2 ···
-2 -4.5 ···
1
2
3
4 ···
0 1 -2 -4.5 ···
值 a<0 当x=0时，y有最大值0 当x=0时，y有最大值k
增 a>0
当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大；
减 a<0
当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小；
说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
(1)y=5x2
向上，x=0 （0, 0)
1. 抛物线y=-3(x+2)2开口向_下___，对称轴为__x_=_-_2_ 顶点坐标为__(_-_2_, _0_) _. 2. 抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线__y_=_3_x_2_向 __左____平移__0_.5__个单位得到的 3. 写出一个开口向上，对称轴为x=-2，平行且与y 轴交于点（0，8）的抛物线解析式为__y=__2_(x_+_2_)_2_.
二次函数的图象及性质（3）
y 1 x 22
2
6
5
y 1 x 22
2
4
y 1 x2
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
-2
2
4
6
y ax2
y ax2 k
a的 a>0 符 号 a<0
开口向上 开口向下
对称轴
y轴
顶点坐标
(0,0)
(0,k)
最 a>0 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最小值k