初二预科班数学讲义(打印稿)

初二预科班数学讲义（打印稿）
复习部分
一元线性方程的应用思维训练
学习目标：1、巩固一元一次方程的解法
2.通过建立方程解决数值问题，分配问题，培养学生的思维能力
学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：
导入新课程：
前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。

示例说明：
例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。

例2：三个连续奇数之和为39。

找出三个奇数。

思想：
例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。

如果原始两位数上的数字为x，则十位数上的数字为（11-x），原始两位数表示为
10（11-x）+x,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+x，解方程得x=9,则原来的两位数为29.
例2：两个连续的奇数，大的是小的，偶数是2n，奇数是2n+1或2n-1。

三个连续的奇数。

如果奇数在中间是（2n+1），则另外两个是（2n+1），（2n-1），SO（2n+1）+
（2n+3）+（2n-！）＝1。

39如果n=6来解这个方程，那么三个连续奇数分别是11、13和15
2、展示例
3、例4
例3：一个车间有26名工人，每人每天可以加工120个螺栓或180个螺母。

加工螺栓和螺母的工人应如何分配，以匹配每天加工的螺栓和螺母（一个螺栓配两个螺母）？
例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现
调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？
思路：例3：注意匹配比例。

一个螺栓配有两个螺母。

它表明，为了匹配每天加工的
螺栓和螺母，生产的螺母数量是螺栓数量的两倍。

如果安排x个人生产螺栓，那么（26-x）个人生产螺母，2×120x=（26-x）180
例4分析：从调配后的数量关系中找等量关系，常见和、差、倍关系，注意调配对象
流动
第1页
的方向和数量。

原有人数增加现有人数23倍当量关系实际应用：
1．有一个两位数，十位上的数字是个位数的2倍，如果把十位数字和个位数字对调
所得的两位数比原数小18，求原来的两位数。

2.服装厂想生产一批特定型号的校服。

众所周知，2件外套或3条裤子可以由3米长
的布料制成。

一件外套和一条裤子是一套。

图书馆里有300米长的这种布料。

在课堂上，
应该用多少布来做外套和应该用多少布来做裤子可以精确匹配。

3.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，要使在甲
处植树的人数比在乙处植树的人数的2倍少2人，请问要从乙处调多少人到甲处？
课堂小结：如何表示三位数？在部署问题中找到等价关系的一般方法是什么？标准测试：必修问题：
1.三个连续偶数的和为18，求它们的积
2.对于三位数字，三位数字之和为17，百位数字比十位数字大7，十位数字为3位。

找到这个三位数的数字。

3.某车间有两个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组后，甲组人
数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲、乙两组的人数。

4.小华的父亲现在比小华大25岁。

八年后，小华的父亲的年龄是小华的三倍多，只
有五岁。

小华现在几岁？选择一个问题：
甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙
架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架的书相等，问原来每架
上各有多少本书？达标检测参考答案：
所需问题：1连续三个偶数分别为4、6和8，乘积为12
2.这个三位数为926
3.小明今年26号生日
4.原来甲组原有：28人，乙组原有：14人
5.7人装泥浆，18人抬泥浆6小华现在两岁了。

B架上有180本书，A架上有380本书。

课外作业：
一、甲班有45人，乙班有39人，现需从甲、乙两班各抽调一些同学参加美术兴趣小组，如果甲班抽调的
B部分第17页第2页
人数比乙班多1人，那么甲班剩下的人数恰好是乙班剩余人数的2倍，问从甲、乙两
班各抽调了多少人参加美术兴趣小组？
二、用白铁片做罐头。

每块锡板底部可以装15罐或42罐。

一个锡体和两个锡可以
搭配成一套锡。

有108罐。

有多少个罐头可以用来制作罐头的主体和底部，这些罐头可以
精确地制成一整套罐头？
页第3
因子分解思维训练I
学习目标：会灵活运用因式分解的方法进行运算与计算；学习重点：因式分解的运算
与计算；学习难点：因式分解的灵活运用。

一、分解下列多项式
⑴7（x＋y）＋m(x＋y)⑵－3ma3＋6ma2－12ma⑶3(x－y)2－(x－y)3⑷16x4－81⑸x4
－18x2＋81⑹(x－y)2＋2(x－y)z＋z2
（先独立完成，然后分组交流，然后问老师）强调每个因素都应该分解，直到不能再
分解为止。

二、已知x，y是不相等的两个正数，试比较：x2（x－y）与y2（x－y）的大小点拨：用求差法比较大小
三、利用因子分解的知识解决以下实际问题：
某工厂，第一年生产了a件产品，第二年比第一年增产了20％，则两年共生产多少件产品？（因式分解的实际运用）
四、合作勘探：
若一个多项式不能直接运用公式法，也没有公因式可提时。

如x4＋x2＋1该如何分解呢？学生解答汇报交流教师点拨
老师的指导：你可以添加一个合适的术语，然后减去这个术语，这样它就可以按照我
们所学的方式分解因子。

如上所述，您可以添加一个x2，然后减去一个x2，变成：X
4
＋x2＋1＋x2－x2
＝（x4＋2x2＋1）－x2＝(x2＋1)2－x2
＝（x2＋1）＋x）[（x2＋1）－x]
页第4
＝（x2＋1＋x）（x2＋1－x）
五．课堂小节：这节课你最大的收获是什么？六．达标检测1.填空:
如果4x2+2（3m-1）x+25是一个完整的平方数，则的值为2。

将以下公式分解为因子：
⑴5x(a－b)－10y(b－a)⑵x2－x＋1／4⑶x2－y2＋4y－4
选择一个话题
1.猜想两个连续奇数的平方差是谁的倍数？并证明
2.观察：“探究性学习”的甲，乙两名同学进行的因式分解：
A:x2 xy+4x-4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y)(直接提公因式)＝(x－y)(x＋4)
B:a2-b2-c2+2BC
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
=a2-（B-C）2（完全平方公式）=（a+B-C）（a-B+C）（方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
⑴m2－2mn＋mx－2nx⑵1－x2＋2xy－y2
因式分解思维训练二
学习目标：能够运用因式分解的知识解决数学问题。

重点和难点：因式分解的灵活应用。

一、自主学习1.完成下列例题：
例1首先简化，然后求值：X（X-Y）-Y（Y-X）+（X-Y），其中 2
第5页。