2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学
（文）试题
一、单选题
1．已知集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
集合
所以.
故选C.
2．已知复数，若，则复数的共轭复数（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
复数，
若，则，解得.
所以.
故选B.
3．对于命题，使得，则是
A．，B．，
C．，D．,
【答案】C
【解析】
由特称命题的否定为全称命题，得
命题，使得，则，
故选C.
4．直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A 【解析】
设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，
由对称性，不妨设直线，
椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.
故选A.
5．若1a >，则双曲线22
21x y a
-=的离心率的取值范围是（ ）
A ．
)+∞ B ．
) C ． ( D ． ()1,2
【答案】C
【解析】2
2
1c a =+， 222
222
11
1c a e a a a +===+ ，
1a >， 21
01a
∴<
< ， 212e << ，则0e << C. 6．已知x 和y 之间的一组数据
则y 与x 的线性回归方程
必过点( )
A ． (2,2)
B ．
C ． (1,2)
D ．
【答案】B 【解析】
由题意,
∴x与y组成的线性回归方程必过点(,4)
故选：B.
7．函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=ln t，
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=ln t为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选：D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )
A．乙可以知道两人的成绩B．丁可能知道两人的成绩
C．乙、丁可以知道自己的成绩D．乙、丁可以知道对方的成绩
【答案】C
【解析】
四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩
丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩
故选
9．已知正项数列中，，记数列
的前项和为，则的值是（）
A．B．11 C．D．10
【答案】A
【解析】
【详解】
∵(n⩾2)，
∴数列{}为等差数列,首项为1,公差为22−1=3.
∴.
∴，
∴，
∴数列的前n项和为.
则.
故选：A.
10．过抛物线C:的焦点,且斜率为的直线交C于点M（M在轴上方)，为C
的准线，点N 在上，且MN ⊥,则M 到直线NF 的距离为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 如图，
由抛物线C :
,得F (1,0)，
则,与抛物线 联立得,解得.
∴，
∵，
∵F (1,0),∴
即
∴M 到NF 的距离为.
故选A.
11．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：
①3450a b -+>；②当0a >时， a b +有最小值，无最大值；③22
1a b +>；④
当0a >且1a ≠时， 11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 正确的个数是（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 【答案】B
【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时, 5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,
则2d =
=,则22a b +>4，故③正确；
当0a >且a ≠1时, 1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。

∵当0a =,b =54时, 5119
4114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34，
故
11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确. ∴正确命题的个数是2个. 故选：B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大， z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 12．在函数f(x)=alnx-(x-1)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a 的取值范围是( )
A ． [1,+∞)
B ． (1,+∞)
C ． [6,+∞)
D ． (6,+∞) 【答案】C 【解析】
函数f (x )=a ln x-(x-1)2，求导得：
，
由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1，
可得>1对x ∈(1,2)恒成立.
即有a >x (2x −1)对x ∈(1,2)恒成立.
令g(x)=2x2−x,对称轴，
区间(1,2)为增区间，, 只需即可.
故选：C.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
二、填空题
13．函数有极值的充要条件是_____
【答案】
【解析】
函数，求导得：.
令，当且仅当时，导数有两个互异实根，即函数有极值.
故答案为：.
点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③解方程，求出函数定义域内的所有根；④检验在的根左右两侧值的符号,如果左正右负,那么在处取极大值,如果左负右正,那么在处取极小值．
14．已知双曲线的渐近线方程是，且过点，求双曲线
的方程_______.
【答案】
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，
由过点得：.
由，得
双曲线的方程为.
故答案为：.
15．若,x y 满足约束条件1030330
x y x y x y -+≥⎧⎪⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为
【答案】1-
【解析】试题分析：画出可行域及直线3x －y=0（如图），平移直线3x －y=0，发现，当直线经过点（0,1）时，3z x y =-的最小值为－1。

【考点】本题主要考查简单线性规划的应用。

点评：简单题，第一步是准确做出可行域，第二步是明确目标函数过何点是取到最值。

16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则椭圆在其上
一点()00,A x y 处的切线方程为
00221x x y y
a b
+=，试运用该性质解决以下问题：椭圆2
21:12
x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ， l 分别
与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD ∆面积的最小值为__________.
【解析】设B （x 2，y 2），
则椭圆C 1在点B 处的切线方程为2
2
2
x x +y 2y=1
令x=0，y D =
21y ，令y=0，可得x C =2
2x ， 所以S △OCD =
2222
1121
2
y x x y =
， 又点B 在椭圆的第一象限上，
所以x 2，y 2＞0， 22
2212
x y +=， 即有22
22
222
2222221
2
22x y x y x y x y y x x +==+≥=
S △OCD
2
22
x =2
2y
=12，
所以当B （1， 2
）时，三角形OCD
故答案为：
三、解答题 17．设复数
.
(1)当为何值时,是实数; (2)当为何值时, 是纯虚数.
【答案】（1）当m ＝－2或－1；（2）m ＝3.
【解析】试题分析：（1）若使是实数，只需，即可；
（2）若使是纯虚数，只需
试题解析：
（1)要使复数z 为实数，需满足
.
解得m ＝－2或－1.
即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)要使复数z 为纯虚数，需满足
.
解得m ＝3.
即当m ＝3时，z 是纯虚数．
18．（2017北京）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==， 2410a a +=，
245b b a =．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求和： 13521n b b b b -+++
+．
【答案】（1）21n a n =-；（2）1352131
2
n n b b b b --+++
+=．
【解析】试题分析：（1）根据等差数列{}n a 的11a =， 2410a a +=，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用已知条件根据题意列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，求出数列
{}n b 的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可.
试题解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10.解得d =2. 所以a n =2n −1.
（2）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3
=9. 解得q 2
=3.所以
.
从而.
19．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表；
（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系.
试题解析：
(1）的列联表：
（2）假设“休闲方式与性别无关”
因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
20．已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）令f′（2）=0解出m ，再进行验证x=2是否为极大值点即可； （2）求出f （x ）的单调性和极值，即可得出a 的范围． 试题解析： （1）
，由已知
，∴
，
当时，
，∴在上单调递减，
在上单调递增，∴
在
处有极小值，舍.
∴
.
（2）由（1）知，令，
则
，∴
在
上单调递增，在上单调递减，在
上单调增，要使方程
有三个不同的实根，则
，解得.
点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
21．已知()()00,0,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+.
（1）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；
（2）一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程.
【答案】（1）22143x y +=（2）y 23
x =±+ 【解析】试题分析：（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程． （2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．
试题解析：
(Ⅰ) 因为23OP OA OB =+
即(
)(
))()
0000,2,00,2x y x y x ==
所以002,x x y ==
所以001,23
x x y y =
= 又因为1AB =,所以22001x y +=
即:
2
2
112x y ⎫
⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22
143
x y += (Ⅱ) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+
联立直线1l 和椭圆方程2
2
2
{ 143
y kx x y =++= 得: ()
22
341640k x kx +++=
由0∆>,得2
1
4
k >
()* 设()()
112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=
也即()()1212220x x kx kx +++=
即()
()2
12121240k x x k x x ++++=
将(1)式代入,得
(
)22
2
4132403434k k
k k
+-
+=++ 即()()
222
41324340k k k +-++=
解得2
43k =
,满足（）式，所以k =
所以直线2y x =+ 22．已知函数. （I ）当时，求曲线
在
处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，
，
，由直线方程的点斜
式可求曲线
在
处的切线方程为
（Ⅱ）构造新函数
，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I ）
的定义域为
.当
时，
，
曲线
在
处的切线方程为
（II ）当时，等价于
设，则
，
（i ）当
，
时，，故
在
上
单调递增，因此；
（ii ）当
时，令
得
.
由
和
得
，故当
时，
，
在
单调递减，因此
.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．。