高斯小学奥数含答案三年级(下)第15讲长度计算

第十五讲
长度计算
要知道一个图形的长度，直接测量是日常生活中最常用的方法．而对于数学问题，我们最常用的有两个公式：
6
正方形周长边长 4
长方形周长长宽长宽
2 2 2
在几何问题中，经常有一些条件隐藏在图形中，需要细心观察才能发现.
例题1．如图，用一个边长是 4 厘米的正方形和 4 个一样大的小长方形，一起拼成一个边长是20
厘米的大正方形．请问小长方形的长和宽分别是多少厘米？
「分析」图中一共有大小共两个正方形和四个一样的长方形，看看这些长方形的长和宽与正方形的
边长有些什么关系呢？
练习：
1. 如图，用 4 个完全相同的长方形拼成了一个长是20 厘米的长方形，请问小长方形的长和宽分
别是多少厘米？
上面的问题虽然是几何的形式，但是其中用到了和差倍应用题的方法. 数学中的很多问题，都是像
这样互相有关联的，因此我们学习时，要注意融会贯通.
几何问题中，我们经常遇到一些不太规则的图形求周长的问题，这类问题应该怎么处理呢？
例题2．如图，把长为 2 厘米、宽为 1 厘米的 6 个长方形摆成 3 层，那么摆成的图形周长是多少厘
米？
7
「分析」每个长方形的长和宽都是已知的，可以慢慢算出周长，有没有快一些的方法呢？
练习：
2. 把长为 5 厘米、宽为 3 厘米的 5 个长方形摆成两层，请问：摆成的图形的周长是多少厘米？
例题 2 可以用很多方法做，但是比较之后我们发现，平移法是相对比较简便的方法. 通过平移，将原先要求的周长转化为长方形的周长，使得问题简化. 这种转化的思想是非常重要的.
使用平移转化时，一定要注意平移后的图形周长和平移前一致.
例题3．如图所示，在一个长为8 厘米，宽为 6 厘米的长方形纸片上剪去一个边长为 3 厘米的正方形．
（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？
（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？
3
6 6 3
8 8
「分析」你能求出每条线段的长度吗？如果能请求出来，如果不能就想想如何通过平移来解决．
练习：
3. 如图所示，在一个边长为 6 厘米的正方形纸片上减去一个长 3 厘米，宽2 厘米的长方形，那么
剩下的图形周长是多少厘米？
2 6
3
对于特别复杂的图形，即使使用平移法，也容易让人觉得眼花缭乱. 这时我们采用更清晰明了的“标8
向法”.
例如，例题 3 的（2）问还可以这样来算：假设有只小蚂蚁沿着整个图形的边顺时针爬了一圈，把
它经过每条边时的方向标出来：
6 3
8
由于小蚂蚁最后回到了起点，所以它向上走的路程总和等于向下走的路程总和，也就是说向上、向
下两个方向的路程，只要知道其中之一就可以求出另一个了．同样的，向左的路程和与向右的路程和也
只需要知道一个即可.
可以用四句口诀记忆这个方法：
随意找起点，绕着走一圈；
标出方向来，上下和左右；
上下一样多，左右也相同；
细心加一加，乘二就成功．
例题4．如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直．那么这个多边形的周长是多少？
2
2 5 2
2 1 6
3
6
3
「分析」图形比较复杂，试着用标向法解决这道题．
练习：
4. 如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，那么这个多边形的周长是多少？
9
4
1
3
8
有时题目要求考察图形被分割之后周长总和的变化. 此类问题的做法可以“借用”一个成语来描述：一刀两“段”．即每剪开一条线段，周长增加量等于这条线段长的两倍.
例题5．如图所示，一个边长10 厘米的正方形纸片，被横着剪了一刀，竖着剪了两刀，分成了 6 个小长方形纸片．这 6 个小长方形的周长总和等于多少厘米？
「分析」把纸片裁开后分成了 6 个小长方形（如图），能不能把一些线段合起来算？还有没有更简
单的算法？
例题6．如图，在一个长方形中有一段阴影部分．如果阴影部分恰好是正方形，那么图中大长方形
的周长是多少厘米？
6 厘米
9 厘米
10
课堂内外
天文单位
天文单位（英文：Astronomical Unit ，简写AU ）是一个长度的单位，约等于地球跟太阳的平均距离.天文常数之一.天文学中测量距离，特别是测量太阳系内天体之间的距离的基本单位，
地球到太阳的平均距离为一个天文单位。

一天文单位约等于 1.496 亿千米.1976 年，国际天文
学联会把一天文单位定义为一颗质量可忽略、公转轨道不受干扰而且公转周期为365.2568983
日（即一高斯年）的粒子与一个质量相等约一个太阳的物体的距离.当前被接受的天文单位是
149,597,870,691 3 0±米（约一亿五千万公里或9300 万英里）.
当最初开始使用天文单位的时候，它的实际大小并不是很清楚，但行星的距离却可以藉著日心几何及行星运动法则以天文单位作单位来计算出来.后来天文单位的实际大小终透过视
差，以及近代用雷达来准确地找到.虽然如此，因为引力常数的不确定（只有五、六个有效位），
太阳的质量并不能够很准确。

如果计算行星位置时使用国际单位，其精确度在单位换算的过程
中难免会降低.所以这些计算通常以太阳质量和天文单位作单位，而不用公斤和公里.
一个天文单位的距离，相当于地球到太阳的平均距离，约 1.496×10^8km.
作业：
1. 如图，用 4 个完全相同的长方形拼成了一个边长是40 厘米的正方形，请问小长方形的长和宽
分别是多少厘米？
2. 把长为 4 厘米、宽为 2 厘米的 3 个长方形摆成两层，请问：摆成的图形的周长是多少厘米？
3. 如图所示，在一个边长为 4 厘米的正方形纸片上剪去一个边长为 1 厘米的正方形，那么剩下的
图形周长是多少厘米？
11
1
4
4. 如图，其中任意相邻的两条边都互相垂直，请问：这个图形的周长是多少？
4
7
1
2
2
7
5. 一块边长为30 厘米的正方形蛋糕，横着切 2 刀，竖着切 2 刀，分成了9 个小长方形，这9 块小长方形蛋糕的周长总和为多少厘米？
12
第十五讲长度计算
1. 例题1
答案：长12；宽8．
详解：简记长方形的长为“长”，长方形的宽为“宽”．
大正方形边长长宽
小正方形边长长宽
-
通过和差问题公式容易得到：
长和差 2 12
．
宽= 和差
2 8
2. 例题2
答案：18 厘米．
详解：方法1：第二层上方露出的长度是 2 2 2 2 厘米．类似可以将各边长求出，计算出周长．
方法2：将图形边长平移，如图．得到一个 3 6 的长方形．即此图形周长和长方形周长相同．因此图形周长
为： 3 6 2 18 厘米．
3. 例题3
答案：（1）28；（2）34．详解：（1）使用平移法，此图形周长和8 6的长方形周长相同．因此周长为8 6 2 28 厘米．（2）使用平
移法，此图形周长比8 6 的长方形周长多两个正方形边长．因此周长为8 6 2 3 2 34 厘米．
4. 例题4
2 答案：64 厘米．
2 5 2
详解：使用标向法计算，如图，只需计算向下和向右的长度即可： 2 1 6
3
6 6 2 1 5 2 3 2 2 3 2 64 厘米．
6
3
5. 例题5
答案：100 厘米．
详解：注意每一刀剪开后，增加剪开处长度的 2 倍．横边共有 4 条正方形边长那么长，竖边共有 6 条正方形
边长那么长．因此总长共： 6 4 10 100 厘米．
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6. 例题6
答案：30 厘米．
详解：将我们长方形的周长转化：首先将两个短边移动到正方形边上．这样就可以看出，两条长方形的短边
和正方形的横边同样长，我们将它们横过来．再适当平移．可以看出，长方形周长正是两条已知线段和的两
倍．20 3 1 5 6 9 2 30 厘米．
6 厘米 6 厘米
9 厘米9 厘米
6 厘米 6 厘米
9 厘米9 厘米
7. 练习1
答案：宽 5 厘米；长15 厘米．
简答：从大长方形的宽看出，小长方形的长是小长方形宽的 3 倍．而小长方形的长与宽之和是大长方形的长，
即20 厘米．因此小长方形的宽是厘米，长是 5 3 15 厘米．
8. 练习2
答案：42 厘米．
简答：平移，变成长为 3 个小长方形长、宽为两个小长方形的宽的长方形． 3 5 2 3 2 42 厘米．
9. 练习3
答案：30 厘米．
简答：平移成一个边长为 6 厘米的正方形，还多出两条长度为 3 的边．周长为： 6 4 3 2 30 厘米．
10. 练习4
答案：32．
简答：标向法：8 1 4 3 2 32 ．
14
4
．
1
3
8
11. 作业1
答案：长40 厘米；宽10 厘米．
简答：小长方形的宽是40 4 10 厘米，长是正方形边长，40 厘米．
12. 作业2
答案：24 厘米．
简答：平移成长8 厘米，宽 4 厘米的长方形．8 4 2 24 厘米．
13. 作业3
答案：18 厘米．
简答：平移后，除了正方形周长之外，再加两段 1 厘米：4 4 1 2 18厘米．
14. 作业4
答案：46．
简答：标向法，7 1 2 4 2 7 2 46 ．
15. 作业5
答案：360 厘米．
简答：每切一刀，增加两个30 厘米：30 4 4 2 360 厘米．
15。