用母函数法推导斐波那契数列的通项公式

李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷
（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）
摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。

受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.
关键词：递推数列；母函数；通项公式。

中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03
Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating Function
LI Wen-jie
Abstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.
收稿日期：2011-12-27
作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。

递推是数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题需要较高的数学能力，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。

新教材将数列的相关内容放在高一阶段，并明确给出“递推公式”的概念，如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。

新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题的现状来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨。

我们认为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。

递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法[13]-等求解方法。

我们受齐次线性微分方程的母函数解法的启发,利用母函数,力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法。

1. 母函数
母函数又称生成函数、发生函数，可以帮助我们解决很多问题，例如一些简单的组合数学问题。

母函数更为有用的应用在于解常系数其次线性递推公式. 定义1：利用给定数列12,,n a a a + 所构造的函数：
2012()n n F x a a x a x a x =+++++
称为序列12,,,n a a a 的母函数.
芜湖职业技术学院学报2012年第14卷第1期
注：（1）母函数是形式幂级数,不必关心其收敛性
,x
只是一个形式变量;
（2）对有限序列12,,n a a a ,也可以定义母函数（120,0,n n a a ++== ）.
定义2 称由递推关系12(,,,)n k n k n k n a f a a a ++-+-= 所确定的数列{}n a 为递推数列.
2.斐波那契数列通项公式的母函数法求解
斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，这是意大利数学家斐波那契在1202年所写的一本数学书《珠算的书》中所提出的生兔子问题。

现实中，还有一些问题也可以转化为关于斐波那契数列的问题。

例如，一个人想登上十八阶台阶，如果规定每步只能跨上一级或两级，共有多少种不同的走法？登上一级台阶只有一种走法，登上两级台阶有两种走法，登上三级台阶则有三种走法。

设n F 表示登上n 级台阶的走法数，n=1，2，3...，由于登上第n 级台阶，最后一步可以从第1n -级台阶跨一级而达到，也可以从第n-2 级台阶跨两级而达到，所以有
⎩⎨⎧==∈≥+=--2
,1),3(2121F F N n n F F F n n n 这就是斐波那契数列的递推公式，这是一个带有初值的递推数列。

这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，值得一提的是，斐波那契数列有许多重要而有趣的应用。

例如，优选法中的分数法正是基于此数列；大自然中植物的叶序、菠萝中的鳞状花萼、蜜蜂进蜂房的方式数、艺术上的黄金分割点等都与斐波那契数列有着密切的联系。

八百多年来，斐波那契数列以其无穷的魅力和广泛的应用，吸引着无数数学家的目光和兴趣。

但是，在这个数列诞生之后的三百年的时间里，一直有一个问题困扰着数学家们，那就是关于这个数列的通项公式问题。

这一问题直到16世纪才由法国数学家比内(binet)用第二数学归纳法推出[2]:
1111()]22n n n F ++=- 这一结果揭示了一个十分有趣的事实，用“无理数”来表示“有理数列”的通项公式，而恰恰相反于用有理数的无穷级数来表示无理数，这正是这一数列的通项公式最初难以求出来的原因。

文[4]利用特征方程法给出了这个数列通项公式的一种简单
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
[2] 王俊邦,罗振生. 趣味离散数学[M]. 北京: 北京大学出版社,1998.
[3] 张顺燕. 数学的源与流[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.
[4] 宋庭武. 用特征方程推导斐波那契数列的通项公式[J]. 安庆师范学院学报:自然科学版, 2010,29(4):91-93.。