实变函数 第三章 测度论习题解答

第三章 测度论习题解答
1.证明：若E 有界，则+∞<E m *。

证明 E 有界，必有有限开区间E 使得I E ⊂,因此+∞<≤I m E m **.
2.证明可数点集的外测度为零
证明 设E ，对任意0>ε，存在开区间i I ，使得i i I x ∈，且i i I 2
ε
=
（在p R 空间中取边长为
p
i
2ε
的包含i x 的开区间i I ），所以
E I
i i
⊃∞
= 1
，且ε=∑∞
=1
i i I ，
由ε的任意性得0*=E m 。

3.设E 是直线上一有界集合0*>E m ，则对任意小于E m *的正数c ，恒有E 的子集1E ，
使c E m =1*。

证明 设x b x a E
x E
x ∈∈==sup ,inf ，则[]b a E ,⊂，令[]E x a E x ,⊂，
b x a ≤≤，)(x f =x E m *
是[]b a ,上的连续函数；当0>∆x 时，
x
x x x m E E m E m E m x f x x f x x x x x x ∆=∆+≤-≤-=-∆+∆+∆+),()()()(****
于是当0→∆x
用类似方法可证明，当0>∆x ，0→∆x 时，)()(x f x x f →∆-，
即)(x f 是[]b a ,上的连续函数。

由闭区间上连续函数的介值定
理
)(a f
=
{}0
)(**==a E m E m a ，
)(b f =[]E m b a E m **),(= ，
因此对任意正数c ，E m c *<，存在[]b a x ,0∈，使c x f =)(0， 即[]c E x a m E m x ==),(0**0 ，令[]E E x a E ⊂= 01,，则
c E m =1*。

4.设n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，n i S E i i ,,2,1, =⊂，求证 n n E m E m E m E E E m *2*1*21*)(+++=
证明 因为n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，由§2定理3
推论1，对任意T
有∑===n
i i n
i i S T m S T m 1
*
1
*
)()( ，特别取 n
i i S T 1
==，则
i i n
j j i E S E S T === )(1
，
n
i i
n i i E
S T 1
1)(
===，
所以
∑∑=======n
i i n
i i n
i i n
i i E m S T m S T m E m 1
*1
*
1
*
1
*
)())(()( 。

5.若0*=E m ，则E 可测
证
明
任
意
T
，
)
()(CE T E T T =，所以
)()(***CE T m E T m T m +≤
又E E T ⊂ ，所以E m E T m **)(≤ =0，T CE T ⊂ ，
T m CE T m **)(≤ ，
所以)()(*
**CE T m E T m T m +≥
因此)()(*
**CE T m E T m T m +=，则E 可测。

6.证明康托集合的测度为0
证明 据康托集合的构造，即在[]1,0中挖去可数个互不相交的开区间而成。

第n 次挖掉的长度为
n n 321-，因此P 在[]1,0中的余集的测度为∑∞
=-11
3
2n n n 又因 [][][])1,0())1,0((1,0P m mP P P m m -+=-= 所以，[][]011)1,0(1,0=-=--=P m m mP 即康托集合的测度为0.
7.设P R B A ⊂,,且+∞<B m *，若A 是可测集，证明)()(***B A m B m mA B A m -+=
证明 因A 是可测集，由卡拉泰奥多里条件
)
())(())(()(****A B m mA CA B A m A B A m B A m -+=+=
另一方面又有
由+∞<B m *，所以+∞<)(*CA B m ，
于是 )()(***B A m B m A B m -=-，代入前式得
)()(***B A m B m mA B A m -+= 证毕。

8.证明：若E 可测，则对于任意0>ε，恒有开集G 及闭集F ，使G E F ⊂⊂，而
ε<-)(E G m ，ε<-)(F E m
证明 当∞<mE 时，对任意0>ε，存在一列开区间{}i I ， ,2,1=i ，使
E I
i i
⊃∞
= 1
，
且
ε+<∑∞
=mE I
i i
1
，令 ∞
==1
i i I G ，则G 为开集，E G ⊃，且
ε+<≤≤∑∞
=mE mI mG mE i i 1
因此ε<-)(E G m ，ε<-)(F E m 。

当∞=mE 时，E 总可以表为可数个互不相交的有界可测集的和；
)
(1
∞<=∞
=n n n mE E E
对每个n E 应用上面结果，可找到开集n G ，使n n E G ⊃，且n
n n E G m 2)(ε
<-，
令 ∞
==
1
n n
G
G ，
G 为开集，E G ⊃，且 ∞
=∞
=∞=-⊂-=-1
1
1
)(n n n n n
n n
E G E
G E G ，因此
ε<-≤
-∑∞
=1
)()(n n n
E G
m E G m
又当E 可测时，CE 也可测，所以对任意0>ε，有开集G ，CE G ⊃，且ε<-)(CE G m 。

因
CG E CG C E E G CE G -===-)( ，令CG F =，则F 是闭集，
且
ε<-=-)()(CE G m F E m 证毕。

9.设q
R E ⊂，存在两列可测集
{}{}n n B A ,，使得
n n B E A ⊂⊂，且
)
()(***CA B m A B m B m +=
)(0)(∞→→-n B A m n n ，则E 可测
证明 对任意i ，
i n n
B B
⊂∞
= 1
，所以E B E B i n n -⊂-∞
= 1
，又i A E ⊃，
i i i A B E B -⊂-
所以对任意i ， )()()()(
**1
*
i i i i i n n
A B m A B m E B m E B
m -=-≤-≤-∞
=
令∞→i ，由0)(→-i i A B m ，得0)(1
*
=-∞
=E B
m n n。

所以E
B n n -∞
= 1
是可测的。

又n B 可测，
∞
=1
n n
B
也是可测的，所以)(1
1
E B B
E n n n n
--=
∞
=∞
= 是可测的。

10. 设P R B A ⊂,，证明成立不等式：
B m A m B A m B A m ****)()(+≤+
证明 若+∞=A m *
或+∞=B m *
，则结论成立。

当+∞<A m *
且+∞<B m *
，取δG 型集1G 与2G ，使A G ⊃1,B G ⊃2，
并且A m mG *1=，B m mG *
2=，则
)()(21*G G m B A m ≤，)()(21*G G m B A m ≤
所以由第7题
B
m A m mG mG G G m G G m B A m B A m *
*212121**)()()()(+=+=+≤+ 证毕。

11. 设p R E ⊂，若对于任意的0>ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(*
F E m ，证明E 是可测集
证明 由条件对任何正整数n ，存在闭集E F n ⊂，使n
F E m n 1
)(*
<
-，令 ∞
==1
n n F F ，
则F 是可测集且E F ⊂。

由于对一切正整数n ，有 n
F E m F E m n 1)()(*
*
<
-≤-，故0)(*
=-F E m ，所以F E -是可测集。

因此
)(F E F E -= 是可测集。

证毕。