五年级数学思维拓展余数定理第三讲

【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——余数定理(3)
了解余数定理，会用余数定理解题
1.掌握余数定理
2.掌握同余定理
1. 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

4.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。

求这个数是多少？
（即是该课程的课后测试）
1. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数
2. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数
3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556
-=，594514
-=，(56,14)14
=，14的约数有1,2,7,14，
所以这个数可能为2,7,14。

2. 答案：
39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；
3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。

由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。

这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。

4. 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．
5. 设这个三位数为s ，它除以17和19的商分别为a 和b ，余数分别为m 和n ，则1719s a m b n =+=+．
根据题意可知a m b n +=+，所以()()s a m s b n -+=-+，即1618a b =，得
89a b =．所以a 是9的倍数，b 是8的倍数．此时，由a m b n +=+知
8199
n m a b a a a -=-=-=． 由于s 为三位数，最小为100，最大为999，所以10017999a m ≤+≤，而116m ≤≤，
所以17117999a a m +≤+≤，100171716a m a ≤+≤+，得到558a ≤≤，而a 是
9的倍数，所以a 最小为9，最大为54．
当54a =时，169
n m a -==，而18n ≤，所以12m ≤，故此时s 最大为175412930⨯+=；
当9a =时，119
n m a -==，由于1m ≥，所以此时s 最小为1791154⨯+=． 所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．。