2024届辽宁省葫芦岛市数学高一下期末统考试题含解析

2024届辽宁省葫芦岛市数学高一下期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知10a -<< ，则三个数3a 、1
3a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A ．1
333a a a << B ．1
333a a a << C ．1
333a a a <<
D ．1
333a a a <<
2．将函数()2
2cos 23sin cos 1f x x x x =+-的图象向右平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若当0,4x x π⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
时， ()g x 的图象与直线()12y a a =≤<恰有两个公共点，则0x 的取值范围为（ ）
A ．75,124ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ B ．7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．75,124ππ⎛⎤
⎥⎝⎦ D ．5,34ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
3．对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．76%
4．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}
12x x -<<，则a b +=( ) A ．3-
B ．1
C ．1-
D ．3
5．若直线l ：ax +by ＝1（a ＞0，b ＞0）平分圆x 2+y 2﹣x ﹣2y ＝0，则11
a b
+的最小值为（ ） A ．22 B ．2
C ．
()
1
3222
+ D ．322+
6．若集合，则
A ．
B ．
C ．
D ．
7．平面内任一向量m 都可以表示成(,)λμλμ+∈a b R 的形式，下列关于向量,a b 的说法中正确的是（ ） A ．向量,a b 的方向相同 B ．向量,a b 中至少有一个是零向量 C ．向量,a b 的方向相反
D ．当且仅当0λμ==时，0a b λμ+=
8．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是π
6
x =
，则函数()()2sin g x x f x =⋅的最大值为（ ）
A ．5
B ．3
C ．5
D ．3
9．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙两人的各科平均分不同
B ．甲、乙两人的中位数相同
C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定
D ．甲的众数是83，乙的众数为87
10．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120s = ，那么110a a + 的值是 ( ) A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=_______
12．已知数列{}n a 的通项公式为()
*124,
22,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪
=∈⎨
=-⎪⎩
，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）
13．底面边长为3,4,5，高为6的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．
14．已知三个事件A ，B ，C 两两互斥且0.30.60.2()()()P A P B P C ===，，，则P (A ∪B ∪C )=__________.
15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14613
a a a ==，，则S 5=____________． 16．如图，已知扇形OAB 和11OA B ，1A 为OA 的中点.若扇形11OA B 的面积为1，则扇形OAB 的面积为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知圆2
2
:(1)9C x y -+=内有一点(2,2)P ，过点P 作直线L 交圆C 于,A B 两点.
（1）当直线L 经过圆心C 时，求直线L 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线L 的方程.
18．已知以点2C a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，（a ∈R ，且a ≠0）为圆心的圆过坐标原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求△OAB 的面积；
（2）设直线l ：y ＝﹣2x +4与圆C 交于点P 、Q ，若|OP |＝|OQ |，求圆心C 到直线l 的距离．
19．已知圆C 经过点(0,4),(5,5)E F ，且圆心在直线l ：2780x y -+=上. （1）求圆C 的方程；
（2）过点()1,2M 的直线与圆C 交于,A B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 20．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，侧棱长为2. （1）求证：平面1ACD ⊥平面11BB D D ； （2）求直线1AA 与平面1ACD 所成的角的正弦值；
（3）设H 为截面1ACD ∆内-点（不包括边界），求H 到面11ADD A ，面11DCC D ，面
ABCD 的距离平方和的最小值.
21．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,,
a a a 满足
*1(),n n a f a n N +=∈.
（1）若12a c =--，求2a 及3a ；
（2）求证：对任意*
1,n n n N a a c +∈-≥，；
（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若
不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
比较三个数3a 、1
3a 、3a 与0的大小关系，再利用指数函数()x
y a =-的单调性可得出
13
a 、3
a 的大小，可得出这三个数的大小关系.
【题目详解】
10a -<<，30a ∴>，1
30a <，30a <，且01a <-<，函数()x
y a =-为减函数， 所以，()()1
3
3
a a ->-，即133
a a ->-，
133
a a
∴<，因此，
133
3a a a <<，故选C.
【题目点拨】
本题考查指数幂的大小关系，常用的方法有如下几种：
（1）底数相同，指数不同，利用同底数的指数函数的单调性来比较大小； （2）指数相同，底数不同，利用同指数的幂函数的单调性来比较大小； （3）底数和指数都不相同时，可以利用中间值法来比较大小. 2、C 【解题分析】
根据二倍角和辅助角公式化简可得()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据平移变换原则可得
()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；当0,4x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，02,2363x x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭；利用正弦函数
的图象可知若()g x 的图象与直线()12y a a =≤<恰有两个公共点可得
05132636
x πππ
<-≤，解不等式求得结果. 【题目详解】
由题意得：()2cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
由图象平移可知：()2sin 243g x f x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 当0,4x x π⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
时，02,2363x x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭
2sin 146f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，752sin 112
6f π
π⎛⎫==
⎪
⎝⎭
，5132sin 146f π
π⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
， 52sin 2122f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，又()g x 的图象与直线()12y a a =≤<恰有两个公共点 05132636x πππ∴
<-≤，解得：075124
x ππ<≤ 本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围. 3、C 【解题分析】
试题分析：()0.0320.024100.5656%+⨯==．故C 正确． 考点：频率分布直方图． 4、A 【解题分析】
2=0x ax b ++的两个解为-1和2.
【题目详解】
1=01
34202
a b a a b a b b -+=-⎧⎧⇒⇒+=-⎨⎨
++==-⎩⎩ 【题目点拨】
函数零点、一元二次等式的解、函数与x 轴的交点之间的相互转换。

5、C 【解题分析】
求得圆心，代入直线l 的方程，然后利用基本不等式求得11
a b
+的最小值. 【题目详解】
圆的圆心为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，由于直线l 平分圆，故圆心在直线l 上，即112
a b +=，所以
1111133
3222222
22a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当,222,222a b
a b b a
==-=-时等号成立. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值. 6、B 【解题分析】 根据交集定义计算． 【题目详解】 由题意．
故选B ． 【题目点拨】
本题考查集合的交集运算，属于基础题． 7、D 【解题分析】
根据平面向量的基本定理，若平面内任一向量m 都可以表示成(,)λμλμ+∈a b R 的形式，,a b 构成一个基底，所以向量,a b 不共线． 【题目详解】
因为任一向量(,)λμλμ=+∈m a b R ， 根据平面向理的基本定理得， 所以向量,a b 不共线，故A ，C 不正确.
,a b 是一个基底，所以不能为零向量，故B 不正确.
因为,a b 不共线，且不能为零向量，所以若0a b λμ+=，当且仅当0λμ==，故D 正确. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8、B 【解题分析】
函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6
x π
=
，可得
sin
cos
6
6
a π
π
+=解得a ．可得函数()g x ，再利用辅助角公式、倍角公式、
三角函数的有界性即可得出． 【题目详解】
函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6
x π
=
，
sin
cos
6
6
a π
π
∴+=a =
则函数
2()2sin ?()2sin (sin )2sin 21cos 222sin(2)13
6
g x x f x x x x x x x x x π
====-=-+
当sin(2)16
x π
-
=时取等号．
∴函数()2sin ?()g x x f x =的最大值为1．故选B ．
【题目点拨】
本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换． 9、C 【解题分析】
分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.
甲的平均分为
687477838389849293743
99
++++++++=，乙的平均分
646674768587989895743
99
++++++++=，两人平均分相同，故A 选项错误.
甲的中位数为83，乙的中位数为85，两人中位数不相同，故B 选项错误.甲的众数是83，乙的众数是98，故D 选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.） 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题. 10、B 【解题分析】
由等差数列的性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+ 即可得. 【题目详解】
()10110110512024
S a a a a =+=∴+=
故选B 【题目点拨】
本题考查等比数列前n 项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、20 【解题分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，用1a 与d 表示等式13920a a a ++=，再用1a 与d 表示代数式574a a -可得出答案。

【题目详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则
()()13911112831020a a a a a d a d a d ++=++++=+=，
因此，()()57111444631020a a a d a d a d -=⨯+-+=+=，故答案为：20。

本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法（与下标相关的性质）以及基本量法（用首项和公差来表示相应的量），一般利用基本量法来进行计算，此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。

12、395. 【解题分析】
由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【题目详解】 由题意可得
()()
1717151821232212281232S =++++
+=++++++
+()8878321221140395122
⨯+-=+=-+=-，故答案为395. 【题目点拨】
本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题. 13、4π 【解题分析】
由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径r
∵底面三角形的边长分别为3,4,5，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用
等面积可求得()11
34345122
S r r ⨯⨯⨯++∴=＝＝∴气球表面积为4π.
14、0.9 【解题分析】
先计算()P B ，再计算()P A B C
【题目详解】
0.60.4()()P B P B =⇒=
()()()()0.9P A B C P A P B P C =++=
故答案为0.9
本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型. 15、
121
3
. 【解题分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【题目详解】
设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【题目点拨】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 16、1 【解题分析】
设AOB α∠=，在扇形11OA B 中，利用扇形的面积公式可求212OA α=，根据已知12OA OA =，在扇形OAB 中，利用扇形的面积公式即可计算得解．
【题目详解】 解：设AOB α∠=，
扇形11OA B 的面积为1，即：2
1112
OA α=，
∴解得：212OA α=，
1A 为OA 的中点，12OA OA =，
∴在扇形OAB 中，2221111(2)222422
OAB S OA OA OA ααα==⨯==⨯=扇形．
故答案为：1． 【题目点拨】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）220x y --=（2）260x y +-= 【解题分析】
（1）求得圆C 的圆心为(1,0)C ，利用直线的点斜式方程，即可求解； （2）当弦AB 被点P 平分时，L PC ⊥，得此直线L 的斜率为1
2
-，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【题目详解】
（1）由题意得，圆2
2
:(1)9C x y -+=的圆心为(1,0)C ， 因为直线过点P C 、，所以直线L 的斜率为2，
直线L 的方程为2(1)y x =-，即直线L 的方程220x y --=. （2）当弦AB 被点P 平分时，L PC ⊥，此时直线L 的斜率为12
-， 所以直线L 的方程为1
2(2)2
y x -=--，即直线L 的方程260x y +-=. 【题目点拨】
本题主要考查了直线的方程的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系和直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、 (1)4 (2) 【解题分析】
（1）求得圆的半径，设出圆的标准方程，由此求得,A B 两点坐标，进而求得三角形OAB 的面积.
（2）根据OP OQ =，判断出OC PQ ⊥，由直线l 的斜率求得直线OC 的斜率，以此列方程求得2a =±，根据直线l 和圆相交，圆心到直线的距离小于半径，确定2a =，同时得到圆心C 到直线l 的距离. 【题目详解】
（1）根据题意，以点2C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，（a ∈R ，且a ≠0）为圆心的圆过坐标原点O ，设圆C 的半径为r ， 则r 2＝a 22
4a +
，
圆C 的方程为（x ﹣a ）2+（y 2a -）2＝a 224a
+， 令x ＝0可得：y ＝0或
4a ，则B （0，4a
）， 令y ＝0可得：x ＝0或2a ，则A （2a ，0）， △OAB 的面积S 12
=
⨯|2a |×|4
a |＝4；
（2）根据题意，直线l ：y ＝﹣2x +4与圆C 交于点P 、Q ，则|CP |＝|CQ |， 又由|OP |＝|OQ |，则直线OC 与PQ 垂直，
又由直线l 即PQ 的方程为y ＝﹣2x +4，则K OC 22
212
a
a a ===， 解可得a ＝±
2， 当a ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1）， 圆心到直线l 的距离
d ==
，
r ==r ＞d ，此时直线l 与圆相交，符合题意；
当a ＝2时，圆心C 的坐标为（﹣2，﹣1）， 圆心到直线l 的距离d
=
=
r ==r ＜d ， 此时直线l
与圆相离，不符合题意； 故圆心C 到直线l 的距离d 5
=． 【题目点拨】
本小题主要考查圆的标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查两条直线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）2
2
(3)(2)13x y -+-=（2）在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，使得AN BN k k =-恒成立，详见解析
【解题分析】
（1）求出弦EF 中垂线方程，由中垂线和直线l 相交得圆心坐标，再求出圆半径，从而得圆标准方程；
（2）直线斜率存在时，设方程为(1)2y k x =-+，代入圆的方程，得x 的一元二次方程，同时设交点为()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1212,x x x x +，假设定点存在，
设其为(,2)N t ，由AN BN k k =-求得t ，再验证所作直线斜率不存在时，N 点也满足题意． 【题目详解】 （1）EF 的中点为59,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴EF 的垂直平分线的斜率为5-， ∴EF 的垂直平分线的方程为5170x y +-=，∴EF 的垂直平分线与直线l 交点为圆心C ，则
2780
5170x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩
，解得3,2x y ==，
又r == ∴ 圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则过点()1,2M 的直线方程为
(1)2y k x =-+，故
由22
(1)2(3)(2)13
y k x x y =-+⎧⎨
-+-=⎩，整理得()()2222
16240k x k x k +-++-=， 设()()221122121222
624
,,,,,11k k A x y B x y x x x x k k +-∴+==
++， 设(),2N t ，则121222
,,AN BN AN BN y y k k k k x t x t
--=
==---，
()()()()1212211222
0,220y y y x t y x t x t x t
--∴
+=∴--+--=--， ()22121222
2826
2(1)20,(1)2011k k x x t x x t t t k k
-+-+++=-++=++， 即2
2
2
282(1)6(1)220k k t t t k t --+-+++⋅=
7
86620,2
t t t ---+==-，
当斜率不存在时，1,
(1,5),(1,1),AN BN x A B k k =-=-成立，
∴在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，使得AN BN k k =-恒成立
【题目点拨】
本题考查求圆的标准方程，考查与圆有关的定点问题．求圆的标准方程可先求出圆心坐标和圆的半径，然后得标准方程，注意圆心一定在弦的中垂线上．定点问题，通常用设而不求思想，即设直线方程与圆方程联立消元后得一元二次方程，设直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，然后设定点坐标如本题(,2)N t ，再由条件AN BN k k =-求出t ，若不能求出t 说明定点不存在，如能求出t 值，注意验证直线斜率不存在时，此定点也满足题意．
20、（1）证明见解析；（2）13
（3【解题分析】
（1）利用在正方体的几何性质，得到1,AC BD AC DD ⊥⊥，通过线面垂直和面面垂直的判定定理证明.
（2）根据11//AA DD 和平面1ACD ⊥平面11BB D D ，知1D O 是1D D 在平面1ACD 上的射影，1DD O ∠即为直线1AA 与平面1ACD 所成的角，然后在1DD O ∆中求解. （3）如图所示从H 向面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 引垂线，构成一个长方体，设到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离分别为x ，y ，z ，2
2
2
d x y z =++，即长方体体对角线长的平方，当且仅当DH ⊥平面1ACD 时，2
2
2
d x y z =++最小，然后用等体积法求解. 【题目详解】 （1）如图所示：
在正方体中1,AC BD AC DD ⊥⊥且1BD DD D =，
所以AC ⊥平面11BB D D ， 又因为AC ⊂平面1ACD ， 所以平面1ACD ⊥平面11BB D D . （2）因为11//AA DD ，
由（1）知平面1ACD ⊥平面11BB D D ， 所以1D O 是1D D 在平面1ACD 上的射影，
所以1DD O ∠即为直线1AA 与平面1ACD 所成的角， 在1DD O ∆中11232
2,DO DD D O ===
所以11sin 3
DD O ∠=
. （3）如图所示从H 向面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 引垂线，
构成一个长方体，设到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离分别为x ，y ，z ，
222d x y z =++，即长方体体对角线长的平方，
当且仅当DH ⊥平面1ACD 时，222d x y z =++最小， 又因为11D ACD D ACD V V --=， 即
1min 111
33ACD ACD S d S DD ∆∆=， 1min 111
33
ACD ACD S d S DD ∆∆=，
min d =
. 【题目点拨】
本题主要考查几何体中线面垂直，面面垂直的判定定理和线面角及距离问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题. 21、见解析 【解题分析】
（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()242a f a a c a c ==++-+=，
3122()2410a f a a c a c c ==++-+=+
（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，
()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+
即只需证明24+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；
若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥
（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()248a f a a c a c a c ==++-+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，
当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=--，
此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；
综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c -+∞⋃--． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。