备战2024高考数学二轮复习讲义第二讲-转化思想在平面向量中的应用

第2讲转化思想在平面向量中的应用
转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。

平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。

【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用
我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表示即可。

例如下面这道例题：
本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示：
要表示EB ,则需在在三角形ABD ∆中找到一组基础关系，由于E 为AD 的中点，所以1122
BE BA BD =+
，
再结合ABC ∆的关系可得到()
111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ ，即3144
EB AB AC =-
，
从而达到用基底AB AC 、来表示EB
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的基底问题
【变式1.1】（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==
，，则CB =（
）
A ．32m n
- B ．23m n
-+
C ．32m n
+ D ．23m n
+ 【变式1.3】（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB
=（
）
A ．2CD CA +
B ．2CD CA -
C ．2C
D CA - D ．2CD CA
+ 【应用二】转化思想在等和线解决平面向量系数和中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到形如“(,)AP mAB nAF m n R =+∈
，则m n +的取值范围是？，
AP AB AC
λμ=+ ，则
2λμ+的取值范围是？”等题型，这里都在求系数和的值或范围，有时还会遇到“n m μλ±”等复杂类型。

我们也不妨先学习下平面向量的等和线。

如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：
存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB
=+
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值
①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=
而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-
，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，
（i）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则
OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k
由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：
(1)(1)OP OC OD k OA k OB
λλλλ=+-=+-
所以(1-)x y k k k
λλ+=+=（ii）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i）的分析知：存在存在R λ∈使得：
(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OB
λλ'=+- 于是--(1-)-x y k k k
λλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP
用,OA OB
线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

我们在解此类题型时，关键在于转化为上述讲解的几何问题求解，利用几何关系得到系数和的相关范围，例如下面这道例题：
【例2】（全国·高考真题）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
本题我们可以先结合题意作图，如图所示：
由几何关系可知λ+μ的范围为圆上与BD 平行的切线处取得，即图中过F 点与圆相切时取得最大值，最大值为33AF AB BE EF AB
AB AB AB
λμ+++=
===【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于求系数和问题，我们常常可以利用平面向量系数和的几何关系来快速求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究系数和中较复杂的其他形式的最值问题【变式2.1】
已知O 是ABC 内一点,且0OA OB OC ++= ,点M 在OBC 内(不含边界),若AM AB AC λμ=+
,则
2λμ+的取值范围是
A.51,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
B.(1,2)
C.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【变式2.2】
如图,已知O 为锐角三角形ABC 的外心,3
A π
=
,且OA xOB yOC =+ ,求2x y -的取值范围？
【变式2.3】（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，
1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为1
2，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
AP xAB yAC =+
，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）
A ．32234⎡⎤+⎢⎥
⎣⎦，B ．5232⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦，C ．253342⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦，【应用三】转化思想在极化恒等式解决平面向量中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到向量的数量积求值或求范围问题，有时我们也可以建立平面直角坐标系来求解，但有时建系计算繁琐，有没有简洁快速的其他解题思路呢？这就是我们即将要学习的极化恒等式，它可以把向量的数量积运算几何化，从而用几何关系来求解。

我们不妨先学习极化恒等式。

22
()()4a b a b a b +--⋅= ，
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4
，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,,AB a AD b
==
则22
()()4
AB AD AB AD a b +--⋅=
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点,则对于三角形来说:
222
2()()||||44
AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-
我们具体来用极化恒等式解题，例如下面这两道例题：
本题我们可以先结合题干作图，如图所示：
设CD 中点为O 点，转化为极化恒等式求解可得：22
13
4
EC ED EO DC ⋅=-= 【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于数量积的相关运算时，我们可以用极化恒等式转化为对应的几何关系求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的其他数量积的转化问题
【变式3.1】（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅
的取值范围是（
）A ．[5,3]-B ．[3,5]
-C ．[6,4]
-D ．[4,6]
-
【变式3.3】已知Rt ABC 的斜边4AB =,设P 是以C 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则PA PB ⋅
的取值
范围是（
）
A.35,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B.55,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C.[]
3,5- D.1⎡-+⎣巩固练习
A ．3555210
BA BG -++ C ．5155210
BA BG
--+
5．（2023·全国·高一专题练习）如图则3x y +的取值范围是
A ．()1,2
B ．(0,3
A．42
-
C．423
-
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知
第2讲转化思想在平面向量中的应用
转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。

平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。

【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用
我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表示即可。

例如下面这道例题：
本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示：
要表示EB ,则需在在三角形ABD ∆中找到一组基础关系，由于E 为AD 的中点，所以1122
BE BA BD =+ ，
再结合ABC ∆的关系可得到()
111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ ，即
3144
EB AB AC =- ，从而达到用基底AB AC 、来表示EB
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+
，之后应用向量
的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+
，之后将其合并，得到3144
BE BA AC =+ ，下一步应
用相反向量，求得3144
EB AB AC =-
，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
()
111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC
=+=+=++
1113124444
BA BA AC BA AC
=++=+，所以3144
EB AB AC =-
，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的基底问题
【变式1.1】（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==
，，则CB =（
）
A ．32m n
- B ．23m n
-+
C ．32m n
+ D ．23m n
+ 【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =
，即()
2CD CB CA CD -=- ，
所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+
．
故选：B ．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222
EF AC a b ==+ ，
故选：A
【变式1.3】（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB
=（
）
A ．2CD CA +
B ．2CD CA -
C ．2C
D CA - D ．2CD CA
+
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
()
222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA
-=+=+=+-= 故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
【应用二】转化思想在等和线解决平面向量系数和中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到形如“(,)AP mAB nAF m n R =+∈
，则m n +的取值范围是？，
AP AB AC
λμ=+ ，则
2λμ+的取值范围是？”等题型，这里都在求系数和的值或范围，有时还会遇到“n m μλ±”等复杂类型。

我们也不妨先学习下平面向量的等和线。

如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：
存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB
=+
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值
①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=
而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-
，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，
本题我们可以先结合题意作图，如图所示：
由几何关系可知λ+μ的范围为圆上与BD 平行的切线处取得，即图中过F 点与圆相切时取得最大值，最大值为33AF AB BE EF AB
AB AB AB
λμ+++====【答案】A 【法一：系数和】
分析：如图
，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时
33, AF AB BE EF AB
AB AB AB
λμ+++=
===故选A .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系
.
设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,
易得圆的半径r =
，即圆C 的方程是()22
425x y -+=，
()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，
则21x y μλ
=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，
设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22
425
x y -+=上，
所以圆心(2,0)到直线102x
y z -+-=的距离d r ≤
13z ≤≤，
所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于求系数和问题，我们常常可以利用平面向量系数和的几何关系来快速求
解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究系数和中较复杂的其他形式的最值问题【变式2.1】
已知O 是ABC 内一点,且0OA OB OC ++= ,点M 在OBC 内(不含边界),若AM AB AC λμ=+
,则
2λμ+的取值范围是
A.51,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
B.(1,2)
C.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】因为O 是ABC 内一点,且0OA OB OC ++=
，所以O 为ABC 的重心
M 在OBC 内(不含边界),且当M 与O 重合时,2λμ+最小,此时2111()323
3AM AB AC AB AC AB AC
λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 所以11
,33
λμ=
=,即21λμ+=当M 与C 重合时,2λμ+最大,此时AM AC
=
所以0,1λμ==,即22λμ+=因为M 在OBC 内且不含边界所以取开区间,即2(1,2)λμ+∈.
【变式2.2】
如图,已知O 为锐角三角形ABC 的外心,3
A π
=,且OA xOB yOC =+ ,求2x y -的取值范围？
解:
作圆O 的直径,CE BD ,则点A 在劣弧DE 上运动.于是()()OA x OD y OE =-+-
.其中0,0x y <<.
考虑到问题涉及的代数式为2x y -,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
将条件转化为12()2OA x OD y OE ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
.
此时可知连接向量12
OD -
的终点F 与向量OE 的终点E 的直线EF 即等系数和线,于是21x y -=
.
依次作出其余等系数和线,可得2x y -的取值范围是(2,1)-.
【变式2.3】（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，
1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为1
2，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
AP xAB yAC =+
，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）
A ．32234⎡⎤+⎢⎥
⎣⎦，B ．5232⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦，C ．253342⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦，
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解
【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD
方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨
=⎩，解得2m n x y n
+⎧=
⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，
数形结合可得当1,12P ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，z 取最小值2，
当直线与圆22
1(1)(1)4x y -+-=
12=，z
取得最大值3+.故选：
B
【应用三】转化思想在极化恒等式解决平面向量中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到向量的数量积求值或求范围问题，有时我们也可以建立平面直角坐标系来求解，但有时建系计算繁琐，有没有简洁快速的其他解题思路呢？这就是我们即将要学习的极化恒等式，它可以把向量的数量积运算几何化，从而用几何关系来求解。

我们不妨先学习极化恒等式。

22
()()4a b a b a b +--⋅=
，
恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4
，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,,AB a AD b
==
则22
()()4
AB AD AB AD a b +--⋅=
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点,则对于三角形来说:
222
2()()||||44
AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-
我们具体来用极化恒等式解题，例如下面这两道例题：
【例3】（2023·全国·统考高考真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=
（
）
A ．5
B ．3
C ．25
D ．5
本题我们可以先结合题干作图，如图所示：
设CD 中点为O 点，转化为极化恒等式求解可得：22
13
4
EC ED EO DC ⋅=-= 【答案】B
【详解】方法一：以{}
,AB AD
为基底向量，可知
2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22
EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu u
r uuu r ，
所以221111
43224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u
r uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r
，
所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r
；
方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，
在CDE 中，由余弦定理可得2223
cos
25
DE CE DC DEC DE CE +-∠=
⋅，
所以
3cos 35
EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .
方法四：极化恒等式
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22
13
4
EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于数量积的相关运算时，我们可以用极化恒等式转化为对应的几何关系求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。

未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的其他数量积的转化问题
【变式3.1】（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅
的取值范围是（
）A ．[5,3]-B ．[3,5]
-C ．[6,4]
-D ．[4,6]
-【答案】D 方法一
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB
，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，
因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，
所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--
，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-
22cos 3cos 4sin sin θθθθ
=--+13cos 4sin θθ
=--()15sin θϕ=-+，其中3
sin 5
ϕ=，4cos 5
ϕ=，
因为
()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-
；方法二：极化恒等式
记AB 的中点为M ，连接CM ，则2
5=CM 由极化恒等式可得：
4
4
25
,2316
4
25
,2714
25
max max -=-=⋅∴=-==-=⋅∴=+=-
=-=⋅PB P A CM PM PB P A CM PM PB P A 即
[]4,6PA PB ⋅∈-
故选：D
【答案】B 方法一
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，
设(,)P x y
，则(
)PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--
，
则2222
3
()222[(]4
PA PB PC x y x
y +=-+=+-
∴当0x =，2
y =时，取得最小值33
2()42⨯-=-，
方法二：极化恒等式
解：取BC 的中点D ,连接,AD PD ,取AD 的中点E ,连接PE ,
由ABC 是边长为2的等边三角形,E 为中线AD 的中点1322
AE AD ⇒==,则：
()
2222333()222||||220242PA PB PC PA PD PA P E PE D PE A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅+=⋅=⋅=-=-≥⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
所以min 3
[()]2
PA PB PC +=- .
故选：B ．
【变式3.3】已知Rt ABC 的斜边4AB =,设P 是以C 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则PA PB ⋅
的取值
范围是（）
A.35,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ B.55,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C.[]
3,5- D.13,13⎡-+⎣解：如图所示,
在Rt ABC 上,不妨取AB 的中点M ,则222
4PA PB PM AM PM ⋅=-=- .
设圆的半径为1r =,而
||||213max PM CM r =+=+=,则2()345max PA PB ⋅=-=
,||||211min PM CM r =-=-=,则2()143min PA PB ⋅=-=-
,
因此PA PB ⋅
的取值范围是[3,5]-.
故选：C
巩固练习
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）在平行四边形ABCD 中，11,24
BE BC AF AE ==
．若
AB mDF nAE =+
，则m n -=（
）
A ．1
2B ．
34
C ．56
-
D ．38
-
【答案】D
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用,AE DF 表示出AB
，求出参数，进而得结果.
【详解】11111()()22224AB AE EB AE BC AE AD AE AF FD AE AE DF =+=-=-=-+=-- 1728
DF AE =+
，
所以17,28m n ==，则3
8
m n -=-.故选：D
2．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为
51
2
-.如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，,,,BF AC DH AC AE BD CG BD ⊥⊥⊥⊥，且点E 为线段BO 的黄金分割点，则BF =
（）
【答案】D
【分析】
由题意得
BE BO =
，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向
量运算法则即可作答.
【详解】由题意得12
BE BO -
=
，显然BE DG =，12BO
OD BD ==，
同理有AF =
，DG DO =
，
所以
2BG BO BO ⎛
==
⎝⎭
，故BO
BG BG =
，因为12
BF BA AF BA AO
=+=+
)
BA BO BA =-= ，
所以BF BA BG = .
故选：D
A ．3,42⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B ．【答案】B
【分析】以直线FB 为x 轴，线段FB 的中垂线为y 建立平面直角坐标系，结合已知求出点P 的坐标，再由点P 所在区域求解作答.
【详解】在正六边形ABCDEF 中，以直线FB 为x 轴，线段FB 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，
令||2AB =，则点(0,1),(3,0),(3,0),(3,2),(3,2),(0,3)A B F C E D ---，
因此(3,1),(3,1)AF AB =-= ，因AP AF AB λμ=+ ，则(33,)AP λμλμ=+
，
于是得点(33,1)P λμλμ+-，又点P 是CDE 内（包括边界）的一个动点，
显然点P 在直线:2CE y =及上方，点P 纵坐标最大不超过3，即有213λμ≤+-≤，解得34λμ≤+≤，所以λμ+的取值范围是[3,4].故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且1AD =，点P 是BCD △(含边界)的动点，设OP OC OD λμ=+
，则λμ+的最大值为
．
【答案】
2
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P 位于B 点时，过点B 作GH DC ∥，交,OC OD 的延长线于G ，H ，
则OP xOG yOH =+
，且1x y +=，
GCB COD ∽，1
2
GC CB CO OD ∴
==，3322
OP OB xOG yOH xOC yOD OC OD
λμ∴==+=+=+ 所以33333
,22222x y x y λμλμ=
=⇒+=+=.故答案为：
3
2
.
【答案】[1,3]
【分析】由OC xOA yOB =+
，两边同时平方可得到关于x ,y 的关系式，求得y 关于x 的函数关系，将x +3y
表示为x 的函数，进而考察函数的单调性，根据x 的范围求得结论.
【详解】如图，过C 分别作OB ,OA 的平行线，交OA ,OB 与M ,N ，不妨设圆半径为1.
则OC OM ON =+
，∵OC xOA yOB =+ ，
∴,OM xOA ON yOB ==
，由图可知,[0,1]x y ∈.将OC xOA yOB =+
两边平方得1()
2
2222
2xOA yOB
OA x xy y x x OB y y =+=+++⋅=+
所以2210y x y x +⋅+-=,显然2430,
x =-> 得
:)0y y =≥,（负值舍去),
故132x y x +=-
不妨令1()[0,1])
22
f x x x =-+∈显然在[0,1]x ∈上单调递减,(0)3,(1)1f f ==,得()[1,3]f x ∈.故答案为：[1,3].
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积，利用函数思想求最值.由已知得到x ,y 的关系式后，将所求式子3x y +表示为x 的函数，利用函数的单调性是关键.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，,,1,2AD AB AB DC AD DC AB ⊥===∥，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设(),AP AD AB R λμλμ=+∈
，则λμ+的取
值范围是（）
A ．()1,2
B ．(
)0,3C ．
[]
1,2D ．[)
1,2【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则()()()0,1,1,1,2,0D C B ，直线:
12202
x
BD y x y +=⇒+-=，∴圆C 的半径5
C B
D r d -==
=
()()2
2
1:115
C x y ∴-+-=
设(),P x y ，由AP AD AB λμ=+ 可得：2x y μ
λ=⎧⎨
=⎩P 在圆C 内()()22
12115
μλ∴-+-≤
设[)21cos ,0,2,1sin r r r μθθπλθ⎡-=⎧∈∈⎨⎢-=⎩⎣⎦，则cos 12sin 1
r r θμλθ+⎧=
⎪⎨
⎪=+⎩
()133
cos sin sin 2222
r r r λμθθθϕ∴+=++=++，其中1tan 2ϕ=
由[)0,2,0,5r θπ⎡∈∈⎢⎥⎣⎦
可知
33222252r λμ+≤
+≤⋅=，且33
122252
λμ+≥-+≤-⋅+所以[]1,2λμ+∈.
【答案】B
【分析】先用CA ，CB 两个向量表示CD
，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
()
11123333
CD CB CB CB BD BA C C A CA CB B ==++=+-=+ ，
2
12132333CB CD CB CB CB A C C CA B ⋅⎛⎫= ⋅=⋅+⎭+⎪⎝ ，
因90C = ∠，所以0C C A B ⋅=
，
又2
29CB CB ==
，所以6CB CD ⋅=
，故选：B
【答案】B
【分析】以,AB AD 为基底，求DE DC ⋅
，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，如图所示，
则2AB AD == ，
1cos 2222
AB AD AB AD BAD ⋅=⋅⨯==∠⨯⋅ ，1233
x x DE x AB A A AE AD A x D D D B A ---=+=+=-- ，D C AB = ，
22421044332333x x D B E DC x AB AD x AB A x A AB x D x -⎛⎫=⋅+=⋅=--= ⎪⎝⎭
----⋅+ ，
由于[]0,1x ∈，所以当0x =时，DE DC ⋅ 有最小值4
3
-.
故选：B
A ．42-C ．423-【答案】C
【分析】如图所示，以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，
由π
6
PBC ∠=
，得)
P ，
所以)BP =
，)
2,1CP = ，
所以)
2114BP CP ⋅=+⨯=-
．
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知AOB 是半径为2，圆心角为
π2的扇形，点,E F 分别在,OA OB 上，且3,3OA OE OB OF ==，点P 是圆弧 AB 上的动点（包括端点），则PE PF ⋅ 的最小值为（）
A ．4243-
B ．4243+
C ．83
D ．163
【答案】A 【分析】以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，
利用平面向量的坐标运算得()243PE PF x y ⋅=-+ ，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系
则()()222,0,0,2,,0,0,33A B E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，所以()2222222,,433333PE PF x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为()22224x y x y xy +=+-=，所以()2
42x y xy +=+，又222x y xy +≥，则42xy ≥，所以02xy <≤，当且仅当2x y ==时，等号成立
则()2x y +的最大值为8，所以x y +的最大值为PE PF ⋅ 的最小值为43
-.故选：A.。