14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解
因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )
A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)
C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1
【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)
题型2：找公因式
2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）
A ．5a 2b(b−a)
B ．5a 2b 2(b−a)
C ．5ab(b−a)
D ．120a 3b 3(b 2−a 2)
提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个
因式是
，即
，而
正好是
除以所
得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。

注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
题型3：提公因式法分解因式
3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．
m m
题型4：提公因式法与整体思想
4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．
题型5：平方差公式法分解因式
5.因式分解：
m2（1）a2-9；（2）25−1
4
题型6：完全平方公式法分解因式
6.因式分解：
（1）x2-4x+4．
（2）16m2-8mn+n2．
（3）4x2+20x+25；
7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15
（3）x2-7x+12．
题型8：分组分解法分解因式
8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．
题型9：利用因式分解简便运算
9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；
10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.
题型11：利用因式分解求代数式的值
11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
题型12：利用因式分解解决整除问题
12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
题型13：因式分解与几何问题
13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．
a2+4ab+3b2因式分解.
【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．
（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；
（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；
（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？
题型14：因式分解与三角形问题
14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.
【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.
【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．
一、单选题
1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−1
2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
A．a2+a+ 1
B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b2
4
3．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）
C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）
4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为
（ ）
A．2560B．490C．70D．49
5．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )
A．-22020B．-2 2021C．22020D．-2
6．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
7．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()
A．6B．3C．4D．5
8．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形
二、填空题
9．下列因式分解正确的是 （填序号）
①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)2
10．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．
11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．
12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .
13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．
14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．
三、解答题
16．因式分解：
（1）a 3−36a
（2）14
x 2+xy +y 2
（3）(a 2+4)2−16a 2
17．把下列各式因式分解：
（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）
（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1
（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2
（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．
18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12
x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
四、综合题
20．已知 a 2−3a +1=0 ，求
（1）a 2+1a 2
的值。

（2）已知a 是 4+
的小数部分，b 是 的小数部分，c 是 2+的整数部分，求代
数式a2c−b2c的值
21．求值
（1）先化简再求值：5x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)，其中x=-1．
（2）已知a+b=4，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
22．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的
（1）请根据此图填空：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=（ ）（ ）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)= =（ ）（ ）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把x2+3x+2分解因式.
解：x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).
（2）请利用上述方法将下面多项式因式分解：x2−7x+12；。