概率论与数理统计练习题2
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论与数理统计 自测题2
5
9.设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患 高血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率 为 5%。（1）若在该地区任选一人，则此人患高血压病的概率是多大？（2）若在该 地区任选一人，发现此人患高血压病,则他属于肥胖者的概率有多大 ？
(B) P(A ∪ B ) = 1
【】 【】 【】
(C) P( AB) = P( A)P(B)
(D) P(A) + P(B) = 1
8．已知 0<P(B)<1,P[(A1∪A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是 【 】 ( A) P[( A1 ∪ A2 ) | B] = P( A1 | B) + P( A2 | B); (B) P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B);
（２）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （３）A,B,C 中至少有一个发生； （４）A,B,C 中至多有一个发生； （５）A,B,C 都发生； （６）A,B,C 都不发生； （７）A,B,C 中至少有两个发生； （８）A,B,C 中至多有两个发生。
2. 已知 P( A) = 1 , p(B | A) = 1 , P( A | B) = 1 ,求P( A ∪ B) .
(D) P(A-B)=P(A)。
3. 筐中有 5 只黄色的小鸡和 4 只黑色的小鸡,从中任意取出 2 只,则取出的小鸡颜色
《概率论与数理统计》课程练习计算题 2
三、解答题１.设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ,求A 、C B 、至少出现一个的概率。
解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知,0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ,所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=8581341=-⨯= ２.设有10件产品,其中有３件次品,从中任意抽取５件，问其中恰有2件次品的概率是多少?解：设A 表示:“任意抽取的5件中恰有2件次品”。
则510)(C n =Ω。
５件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。
于是所求概率为P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/35510=C3．一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个(有放回)。
求:(1）第二次取出的是次品的概率；（2)两次都取到正品的概率;（3）第一次取到正品,第二次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”（i =１,2)，则（1）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P 611221221221210=⨯+⨯= (2)两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =362512101210=⨯=(3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为)(21A A P 3651221210=⨯= 4.一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个（不放回）。
求：(1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率;(3）恰有一次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”(i =1，2）,则(1）至少取到一个正品的概率)(121A A P -)|()(1121A A P A P -=66651111221=⨯-=(２）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=611111221121210=⨯+⨯=（３)恰有一次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=331011101221121210=⨯+⨯=5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件,求：(1)两件都是正品的概率；(2）恰有一件次品的概率；(3）至少取到一件次品的概率。
概率论与数理统计学习自测练习题2
随机变量及其分布
自测练习题 A
1. 填空题（将正确答案填在题中横线上） ： （1）设随机变量 X 的分布函数为
0, 0.2, 0.5, F ( x) = P{ X ≤ x} = 0.8, 0.9, 1,
则随机变量 X 的概率分布律为
x < −1, −1 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 4, 4 ≤ x < 5, 5 ≤ x.
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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为
12 x(1 − x) 2 , f ( x) = 0,
量上升到 90 万 kw，每天供电量不足的概率是多少？
0 < x < 1, 其他.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 kw， 求该地区每天供电量不足的概率．又若每天的供电
4x2 − x 2 eα , f X ( x) = α 3 π 0,
2
x > 0, x ≤ 0.
其中 α > 0 为常数．求分子运动的动能 Y =
1 mX 2 （ m 为分子的质量）的概率密度函数． 2
2
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cx(1 − x), f ( x) = 0,
则常数 c = ．
0 ≤ x ≤ 1, 其他.
2. 一盒中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球．现从中随机地任取 3 球，以 X 记取出的 3 个球中的黑球的个数，求 X 的概率分布律和分布函数． 3. 在电源电压不超过 200V，在 200~240V 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件损坏 的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2．假设电源电压服从正态分布 N (200, 25 ) ，试求： （1）电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 的概率． 4. 设随机变量 X 的概率密度函数为
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计试题2 (有答案)
概率与数理统计试题（满分100分）一、 填空题（每空5分，共6空，30分） （1） 随机变量X 和Y 相互独立，且)5.0,1(~),5.0,1(~b Y b X ，则随机变量),max(Y X Z =的分布律为 。
答案: 75.0}1{,25.0}0{====Z P Z P（2） 已知随机变量),(Y X 具有概率密度=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+其它,040,40),sin(ππy x y x c 则=c ，Y 的边缘密度函数=)(y f Y 。
答案：12+, )4cos()(cos 12(π+-+x x ；（3） 设321,,X X X 相互独立，且)1,3(~)3,1(~),2,0(~321N X N X N X ，则=≤-+≤}6320{321X X X P 。
答案：3413.05.08413.05.0)1(=-=-Φ （4） 一名射手射击，各次射击是相互独立，正中目标的概率为 p ，射击直至击中目标两次为止。
设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，那么 X （X=m ）和 Y(Y=n) 的联合分布律是 。
答案：Y =n 代表第n 次射击时二度击中目标，且在第1次、第2次，…，第n –1次射击中恰有一次击中目标。
不管X,Y 是多少，（X, Y ）的概率都是22-n q p ,其中q=1-p ， m=1,2,…,n-1，n = 2,3,… 。
（5） 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其它，0a v 0 1)(a v f设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =（V 是风速，k>0 是常数）。
那么，W 的数学期望为E （W ）= 。
答案： E （W ）=222311)(ka dv a kv dv v f kv ⎰⎰∞∞-∞∞-== 二、 计算题（共5题，合计46分）1. (8分)以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为98％，机器发生某种故障时，合格率为55％。
最新 年月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案
1 / 10全国2018年7月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197试卷来自百度文库 答案由绥化市馨蕾園的王馨磊导数提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（ ） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3}D ．{1，2，3，4}.B AB A B A B A B A 中的元素，故本题选中去掉集合合说的简单一些就是在集的差事件，记作与事件不发生”为事件发生而解：称事件“-2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12.31789105678;844104104848410C C C P C C ，故选本题的概率件正品中取，共有从件中没有次品，则只能若种取法；件，共有件产品中任取解：从=⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 3．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =⋃=，则()P B =（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.52 / 10()()()()()()()()()()()()()().5.04.04.07.0D B P B P B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P A P AB P B A ，故选，解得代入数值，得，所以，相互独立，，解：=-+=-+=-+=⋃= 4．设某实验成功的概率为p ，独立地做5次该实验，成功3次的概率为（ ）A ．35CB ．3325(1)C p p -C ．335C pD ．32(1)p p -()()()()()().1335.,...2,1,0110~23355B p p C P k n n k p p C k P k A p p A n p n B X kn kk n n ，故选，所以，本题，次的概率恰好发生则事件，的概率为次检验中事件重贝努力实验中，设每定理：在，解：-====-=<<-5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（ ）A ．1,11,()20,,Y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 B ．1,11,()0,,Y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他C ．1,01,()20,,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D ．1,01,()0,,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他()()[]()()()()()()[]()[][][]..01,121.01,1211.01,1212121.01,12121211,1212112010101110~A y y y y f y f y y h y h f y f y h y y h y y x x y x x f U X X Y X Y X 故选其他，，其他，，其他，，，得其他，，由公式，，即，其中，解得由其他，，，，，，解：⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈⨯=⎪⎩⎪⎨⎧-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎩⎨⎧-∈'=='+=-∈+=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=3 / 106．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ）则c =A ．112B ．16C ．14 D ．13()().611411211214161.1,...2,1,0B c c P j i P Y X jij iij ，故选，解得由性质②，得②，①：的分布律具有下列性质，解：==+++++==≥∑∑7．已知随机变量X 的数学期望E (X )存在，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．E [E (X )]=E (X ) B ．E [X +E (X )]=2E (X ) C ．E [X -E (X )]=0D ．E (X 2)=[E (X )]2()()()().D C B A XE X E E X E X 均恒成立，故本题选、、由此易知，即，期望的期望值不变，的期望是解：=8．设X 为随机变量2()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤（ ）A ．14 B ．518 C ．34D ．109364 / 10()()()()(){}(){}.416961091001092222A X P X D X E X P X E X E X D ，故选所以；切比雪夫不等式：，解：=≤≥-≤≥-=-=-=εε 9．设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P {X =1}=p ，P {X =0}=q ，其中0<p <1，q =1-p ，则p 的矩估计值为（ ） A ．1/5 B ．2/5 C ．3/5D ．4/5()()().53ˆ5301ˆC px p q p X E x X EX E x ，故选，所以，本题，，即估计总体均值用样本均值矩估计的替换原理是：解：===⨯+⨯== 10．假设检验中，显著水平α表示（ ） A ．H 0不真，接受H 0的概率 B ．H 0不真，拒绝H 0的概率 C ．H 0为真，拒绝H 0的概率D ．H 0为真，接受H 0的概率{}.00C H H P ，故选为真拒绝即拒真，表示第一类错误，又称解：显著水平αα=二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论与数理统计-练习题二
并计算概率 .(10分)
3.设二维随机变量 的概率密度为
，
（1）求常数 ；（2）求 的边缘概率密度(3) 判断X与Y是否独立.。(15分)
4. 设随机变量 的分布律为 求（1） (2) 的分布律(3) (10分)
5.某地区18岁的女青年的血压 服从 分布,在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，（10分）
5.设随机变量 ， ,其协方差 ，则相关系数
二、单选题（每题2分，共计10分）
1. 已知 ,且 则 的取值为（）
(A) (B) (C) (D)
2.设随机变量X的分布律为 ．则 的值是（）．
( ) ( ) ( ) ( ) ．
3.设随机变量 相互独立， , ，则（）．
； 1
4. 设总体X～N , 是来自总体X的样本，在下面μ的无偏估计中最有效的为( ).
求 （
6.设总体 的概率密度函数为
， 是从 取出的样本观测值，求总体参数 的矩阵估计值和
最大似然估计值.（15分）
7假设某厂生产的一种钢索抗断强度 (单位： )服从正太分布 ，从中选取一个容量为9的样本，得 ，能否据此样本信息认为该批钢索的抗断强度为800(显著水平 )？( )（10分）
练习题二
一、填空题（每空2分，共计10分）
1.如果P(A)=0.4,P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5,则P(AB)=
2.随机变量 服从（-1，4）上的均匀分布，则方程 有实根的概率为
3.一批零件的长度服从正态分布 ，从中随机地抽取16个零件，得到均值为50，已知 ，
则 的95%的置信区间是
4. 是总体 的样本， 分别是样本均值和样本方差，则 服从的分布是
概率论与数理统计练习题2
1一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ⊂ _____________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___)3,0(N________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计 C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计4、设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、μ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
概率论与数理统计阶段练习2_参考答案
《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案真-报童卖报，每份元，英成本为元.报馆每天给报童1000份报，并规泄他不得把卖不 出的报纸退回.设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表 达式表示・2、设随机变量X 的概率分布为：¥P {X = K} = a —. A=a 1. 2,…，久 >0.R!试确定常数解依据概率分布的性质: [P[X=k}>G 工 P{X=k} = l ・w欲使上述函数为概率分布应有心。
j 忒宀，从中解得"•3、X 具有离散均匀分布，即P(X =A ；) = !/n,/ = 12—?,求X 的分布函数.解 将X 所取的”个值按从小到大的顺序排列为切<“2> <・・•<*（和 贝Ijxvx ⑴时，F(x) = P{X<x} = 0. ・*1)<X< 斗2)时，F(x) = P{X < A } =l/zh •¥(2)< X < 兀⑶ H4 ♦ F(x) = P{X <x} = 2/八,•V (灯 <尤<兀(*祕)时，F(x) = P{X <x} = k/n. 入•>兀如时，F(x) = P{X<x} = \0,^x<min （召，…‘丿k/n,当力> min （M 斗）且大,（y =1,2,…屮恰好有k 个不头于;V U当X vmax （X],…，兀 J求X 的的分布函数，并求* 3*注：这里用到了常见的暮级数展开式宀Y 务Jt-O故 Fg ・4.设随机变量X 的概率分布为X Pi-1241/4 1/2 1/4’P{X<l/2}, P {3/2vX<5/2}, P{2<X<3}・5、设随机变量X 的密度函数为0.求苴分布函数F(x)・解 F(x) = X<x} = ［：/ ⑴由 当 xv-h F(x) = 0;当-l<x<l, F(x)= fo-Jz+ f' —Jl-rt/f =—y/l-x- +—arcsinx+-J-x J ・i 〃 只 n 26.设随机变量X 具有概率密度kx ・V/U)= 2-|, 3<X<4, 0, 苴它(2)求X 的分布函数F(x): ⑶求PU<X<7/2}・ 丫 2--b=i, 八2/(2) X 的分布函数为「7/2 朴 1 「7/2/ X(3) P{l<X<7/2}・“U)d2| 評讨 12-- 或 P {l<X<7/2} = F(7/2)-F(l)=41/4&7、设某项竞赛成绩X 〜N (65,100),若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少 解 设获奖分数线为则求使P{X>x^} = OA 成立的心・其它当 X>1・ F(x) = 1,故 F(x)n0, A f --- 7 1 1—Vl-f +—arcsinx + — XV-12’A->1⑴确泄常姒；解⑴由 J f(x)dx = l* 得解得k = \©于是X 的概率密度为/Cv) =X6*2 ■丄20<x<33<x<4・尖它F(x)=<0,Jo 6x<0 0<x<33<x<4 x>4a X-/12. —3 + 2x ■x<00<x<33<x<4 x>4P{X >x^} = \-P{X <x^} = i-F(x^) =1-0筈竺) = 09査表得斗浮= 1.29,解得丸= 77.9,故分数线可宦为78分.I IU / 1U8、在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏 的概率分别为，和.假设电源电压X 服从正态分布N(22O, 25 2).试求：(1) 该电子元件损坏的概率a ；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率0. 解引入事件州=｛电压不超过200伏｝"2=｛电压不超过200-240伏｝/3=｛电斥超过240伏｝;B = ｛电子元件损坏｝• 由条件知X ~N(22O ・252),因此 < 笃严} = 54 8)= 1-0(0.8) = 0.212;Y _ Rf)]P“2)= P(2{)O<X<24O}=件-0・8<^^^^^^<0・8} =250.8)-1=0.576. P(州)=P{X >240| = 1-P(X<240} = 1-0(0,8) = 0.212・ (1)由题设条件,P(BIA)= 0丄 P(BIA2)= O ・OO1・ P(BI/V)= °・2于是由全概率公式，有3a = P(B) = ZP(A)P(BI A)= 0・0642・j-i⑵由贝叶斯公式，有0 = P(A,\B) = P"2)P"IA2)丸0.009. 卩 - P(B)9、已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米)服从参数// = 10.05, <7 = 0.06的正态分布.规定螺栓长度在10・05±0」2内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.解 根据假设X ~ N(IO ・050062)・P{«<X<”}=©(匕勺一❻= e(2)-[l-e(2)] =252)-1 =2 x 0.9772-1 =0.9544. 即螺栓为合格品的概率等于.10•已知 X~N(&O ・52),求 {1) F(9),F(7); (2) P{7.5<X<10}; {3) P{IX-8K1};(4) P{IX-9lv0・5)・10P(A)= P{X<200} = P记“ =10・05-0・12 b = lQ05 + 0」2则{a<X<h}表示螺栓为合格品.于是q<)=(I>(2)-◎(-2)11•某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布N(2).已知其寿命在250小时以上的 槪率和寿命不超过350小时的概率均为％,为使其寿命在“-兀和“+K 之间的概率不小于, X 至少为多少12.设X ~N(0,l),求y = X-的密度函数.解记r 的分布函数为 F Y (X ).则 Fy(x) = P{Y<x} = P{X-<x}. 显然，当丄yO 时，Ey(x) = P{X-<x} = 0;当x>o 时，Fy(x)= p{x- <x} = P {-5/7<X <5/7}・2e(頁)一1・注：以上述函数为密度函数的随机变量称为服从z'(l)分布，它是一类更广泛的分布 r ⑺)在"I 时的特例.关于Z-00分布的细将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为几的指数分布，求r = min{X.2|的分布函数•解根据已知结果，X 的分布函数I-严 x>0 0,x<0y 的分布函数Fy(y) = P{Y<y} = P{mn{X.2}<y}=l-P{min{X.2}>y} =1-P{X >”2>卅・当)Y 2 时，Fy(y) = \-P{X>y} = P{X<y} = Fx(yl 当 y>2 时，Fy(y) = \.注：在本例中，虽然X 是连续型随机变量，但Y 不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量「的分布在y = 2处间断.从而y = X^的分布函数为Fy(x)h2<1>( 77)-1, %>0%<0于是其密度函数为fy(X)=F}(X)= -石倾仮)' 0,x>0.<o=r丄严，*>0JDC 0, x<0代入X 的分布函数中可得F 心)=1-宀0.y<Q"刘,0<yv2・h y>214s 设随机变量X 在（04） h 服从均匀分布"求r=-2In X 的概率密度. 9解 在区间（0,1） ±,函数InxvO,故y = -21nx>0・ / = --<0X 于是y 在区间（0・+8）上单调下降，有反函数x ・h （y ）*F2已知X 在在（61）上服从均匀分布即门股从参数为仇的指数分布. 15.设X 的分布列为X -1 0 I 2 5/2Pi 1/5 1/10 1/10 1/10 3/10试求：（1） 2X 的分布律；（2） X2的分布律.16•设随机变量X 的概率密度为lxl7l~, Q<x< 仏0. 其它.求y = sinX 的概率密度•从而/r （y ）=严2<1其它代入/V （y ）的表达式中，得Zv （y ）h 2^・ 0. 1, 0<x<l 0.苴它-v/2 y>Q 其它f(x) = <。
概率论与数理统计练习题2
概率论与数理统计练习题21⼀、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满⾜1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ? _____________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，则~Y X Z -=___)3,0(N________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。
⼆、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄⾖随机地放⼊4个杯⼦，则杯⼦中盛黄⾖最多为⼀粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独⽴ C 、X 与Y 可能服从⼆维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来⾃总体X ，,)(,)(2σµ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是µ的⽆偏估计 B 、X 是µ的⽆偏估计 C 、)1(2的⽆偏估计4、设n X X X ,,,21 来⾃正态总体),(2σµN 的样本，其中µ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、µ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验⽔平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成⽴，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成⽴，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成⽴，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成⽴，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
概率论与数理统计第二章习题与答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计 第二章 习题2
1 y
,1
y
e
0,0 y 1或y
e
（2）当 y 0 时， fY ( y) 0
当 y 0 时 ，FY (y) P{Y y} P{2ln X y} P{X ey/2} 1 P{X e y / 2} 1 F X (e y / 2 )
fY
(
y)
f
X
(ey / 2
)(1/
2e y
36
2 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在 任一时刻每个设备被使用的概率为，问在同一 时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有1个设备被是使用的概率是多少？
解：以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则
2 fK (x)dx
1
fK (x)dx
5 1dx 25
1 0dx 3
5
6 设随机变量 X 在 （0，1）服从均匀分布.（1）求 Y e X 的概率密度;(2)求 Y 2ln X 的概率密度。
解：X 的概率密度为
1,0 x 1 f (x) 0,其它
分别记 X ,Y 的分布函数为 FX (x), FY ( y).
y)2
2
arcsin
y.
所以当 0 y 1
时，fY
( y)
d dy
FY
( y)
2 1 y2
因此，所求的概率为
fY ( y)
2 ,0 y 1, 1 y2
0, 其它
8 一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从参数 为 160, ( 0) 的正态分布。若要 P{120 X 200} 0.80
4x2 4Kx K 2 0 有实根的概率.
《概率论与数理统计》习题二答案
即分布函数 故Y的密度函数为 （2） 由P（0<X<1）=1知 当z≤0时， 当z>0时， 即分布函数 故Z的密度函数为 32.设随机变量X的密度函数为 f(x)= 试求Y=sinX的密度函数. 【解】 当y≤0时， 当0<y<1时，
当y≥1时， 故Y的密度函数为 33.设随机变量X的分布函数如下： 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由知②填1。 由右连续性知，故①为0。 从而③亦为0。即 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布 律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。 再设C={每次抛掷出现6点}。则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) 即 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。
解1由d1fxx?????知021ed2edxxaaxax??????????????故2a??即密度函数为e02e02xxxfxx???????????????当x0时1dede22xxxxfxf《概率论与数理统计》习题及答案
习题二
.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6
(2) f(x)= 试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由知 故 即密度函数为 当x≤0时 当x>0时 故其分布函数 (2) 由 得 b=1 即X的密度函数为 当x≤0时F（x）=0 当0<x<1时 当1≤x<2时 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 27.求标准正态分布的上分位点， （1）=0.01，求; （2）=0.003，求，. 【解】（1） 即 即 故 （2） 由得 即 查表得 由得 即 查表得 28.设随机变量X的分布律为 X −2 −1 0 1 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 求Y=X2的分布律.
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概率论与数理统计练习题（2）
条件概率 独立性
1．填空题
（1）某大型商场销售某种型号的电视机1000台，其中有20台次品，已售出400台．从剩下的电视机中，任取一台是正品的概率为 ．
（2）设有10件产品，其中有4件次品，依次从中不放回地抽取一件产品，直到将次品取完为止．则抽取次数为7的概率为 ．
（3）某射手射靶4次，各次命中率为0.6， 则4次中恰好有2次命中的概率为 ．
（4）一架轰炸机袭击1号目标，击中的概率为0.8，另一架轰炸机袭击2号目标，击中的概率为0.5，则至少击中一个目标的概率是 ．
（5）4个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是
41，则此谜语被猜破的概率是 ．
（6）设两两相互独立的三事件C B A ,,满足条件：,21)()()(<
==C P B P A P φ=ABC ，且已知169)(=
C B A P ，则=)(A P ． 2．选择题
（1）袋中共有5个球，其中3个新球，2个旧球，每次取1个，无放回地取2次，则第二次取到新球的概率是（ ）．
（A ）53； （B ）43； （C ）21； （D ）10
3． （2）设0)(=AB P ，则（ ）．
（A ）A 和B 不相容； （B ）A 和B 独立；
（C ）0)(0)(==B P A P 或； （D ）)()(A P B A P =-．
（3）设A 、B 是两个随机事件，且)|()|(,0)(,1)(0A B P A B P B P A P =><<，则必有（ ）．
（A ）)|()|(B A P B A P =； （B ）)|()|(B A P B A P ≠；
（C ）)()()(B P A P AB P =； （D ）)()()(B P A P AB P ≠．
3．甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%．各机床加工的优质品率依次是80%，85%，90%，将加工的零件放在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率．
4．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，信息A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01．信息A 与信息B 传送的频繁程度为2∶1．若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
5．甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击
中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．。