基于Pareto改进的混合算法求解多目标柔性车间调度问题

-10 -工业仪表与自动化装置2021年第3期
0引言
随着互联网和工业制造技术的发展，智能制造
基于Pareto 改进的混合算法求解多目标柔性
车间调度问题
赵 勇s 史亚斌s 何军红2,刘 赛2,马国伟2
(1.西安高压电器研究院有限责任公司，陕西西安710077；
2.西北工业大学航海学院，陕西西安710072)
摘要：针对多目标柔性作业车间调度问题，该文建立优化目标为最大完工时间、机器平均相对 空闲率以及机器总负荷最小化的数学模型，并设计一种基于Pareto 改进的自适应混合算法(NGA -
PSO )。

其算法采用分层结构相结合，底层采用基于隔离的小生境技术(Niche genetic algorithm , NGA )，上层采用粒子群算法(Particle swarm optimization , PSO )。

为提高算法的收敛效率和求解精
度，提出了改进策略，采用适应度值分配策略作为种群选择的评价标准;设计动态的交叉变异概率， 使算子在迭代过程自适应地对种群的寻优操作进行调整。

最后，针对10个单目标基准案例与3个
多目标典型案例进行仿真求解,通过与其他前沿算法进行对比验证NGA-PSO 算法的优越性。

关键词：多目标优化；混合算法；小生境技术;粒子群算法中图分类号:TH165
文献标识码:A 文章编号#1000 -0682(2021 )03 -0010 -06
Multi - objective flexible shop scCeduling problem with hybrit algorithm based on Pareto
ZHAO Yong 1 , SHI Yabin 1 , HE Junhong 2, LIN Sat 2 ,
MA Guowet 2
(1. XiOn High Voltage Apparatus Research Institute Co., Lt , Shaanxi XiOn 710077 , China ；2. School of Magg
Science and Technology , Nog0westerg Polytechnial Universito , Shaanxi Xin 710072 , China #
Abstract : In ordeo to solve the multi — objective 0x 1-0 job shop scheduling problem , the papeo es- tabotshLsamathLmattoaomodLothatopttmtzLsthLmaitmumoompotton ttmL , thLaeLeagLeoatteLtdoeat of the machine , and minimizes the total load of tPe machine , and designs an improved adaptive hybOd al ­
gorithm based on Pareto ( NGA — PSO ) . The algorithm adopts a hmrarchical structure , tPe bottom layeo adopts isolation - based niche technoloae ( Niche genetic algorithm , NGA ) , and tre uppeo layeo adopts
paticle swam optimiztion ( PSO ) . In ordeo to improve the convergenco Vficmncy and solution accuracy of tre algorithm , an improved strategs is proposed. The fitnss vvlue allocation strategs is used as the
evvluation standard foo population selection ； the dynamic cross — mutation probabilite is designed to make the operatoo 111x 60 optimize the population dueng the iterative process Make adjustments. Findlly, 10
single — objective benchmark cases and 3 multi — objective typical cases are simulated and solved , and the supeyoyte of the NGA — PSO algorithm is vriged by compaison with otheo cutting — edge algorithms.
Keywordt : multi — objective optimization ； hybrig agorithm ； niche genetic agorithm ； paticle swam opttmtzatton
在车间生产和优化中的作用越来越重要，为了解决
车间生产调度优化的问题，各个学者相继开展了制
造系统的车间调度问题研究。

ALVAREZ — VALDES 等⑴针对多目标柔性作
业车间排程问题(Flexible Job Shop Scheduling Prob- lm , FSP )结合压缩变换的思想提出了智能分派规 则法,并产生了可行的排程方案;王思涵等［2］对基
收稿日期#2020 -12 -04
作者简介:赵勇（1974）,男，甘肃天水人，工程师,主要从事自动
控制系统设计及应用工作）
2021年第3期工业仪表与自动化装置-11-
本鲸鱼群算法(Whaia Swarm AlgoOthm,WSA)提出了改进策略，设计一种相应距离计算方式，提高WSA求解离散型调度问题的搜索能力；DAI Min, TANG Dunbiny[3]将传统遗传算法与模拟退火算法结合，用来解决智能装配生产线的调度问题；陈水清⑷对于多目标调度问题，提出基于变领域搜索及非支配解集排序方法;COCHRAN K J等[5]设计一种两阶段优化的多目标调度算法，并采用多种案例进行验证分析;牟健慧等[6]将遗传算法与变邻域搜索算法相结合，着重考虑带交货期的约束条件求解单机车间逆调度问题。

该文基于典型多品种小批量柔性生产模式的某智能制造生产线，针对需求的三个指标，设计基于Pareta改进的多目标混合算法解决实际生产问题。

1多目标调度问题数学模型
该章节将围绕多品种小批量生产线智能调度的数学模型展开。

首先介绍数学建模的模型参数，对参数变量有以下定义：
J=1J1,J2,2,J n3为工件集合；
k=1k1,k2,2,k m\为机器集合；
其中:J表示等n个工件;k m表示第m个机器；O)为工件J的第j道工序片为o)在机器k的加工时间;S)为O i勺开工时间,C)为完工时间;值为1时表示o)在机器k上加工，否则为0；Z,?值为1为o)在机器k的l顺位加工,否则为0)
设有n个待加工工件，工件序号J=1J1,J，…，J n3需在某车间m台机器，机器序号k=1k1,k2，…，k3上加工，每个工件需按预定的工艺流程经过一道或多道工序才能完成,每个工件包含d道工序,工件J工序号N=1N1,N i，…,N d3。

存在以下约束条件：
C$S…I V i e[1,n-,Vj&t1,d-1],r= j+1(1)
C c'S c+(P gYgi^
k e k?
V i e,1,n],Vj e,1,d],V k e[1,M](2)
[@,D])[s：了,D]=01Vi,i c e,1,n], V i,i e,1,d]
V k e,1,M],c+c,j+/(3)
M
(Y i=1I V i e[1,n],V j e[1,d],V k e
k=1
[1,M](4) nd
((P ik x Y vl[$H k
心1?1
V i e[1,n],V j e,1,d],V k e,1,M](5)其中:式(1)表示工序的处理顺序约束，表示同一工件的第k+1道工序须在第k道工序加工完成后才可进行;式(2)为工序的总时间约束,表示工序O)的完工时间大于等于该工序的起始加工时间加上该工序在各机器上的加工时间；式(3)为工序的前后时间约束，表示某两道工序若可以在同一台机器上加工,其加工时间不能存在交叉;式(4)为工序的加工确定性约束，工件的每道工序只能选择一台机器进行处理;式(5)为机器的负载约束。

表示所有工序在一台机器的加工时间不能超过该机器的设备负荷量。

实际项目需要对“机器负荷最优生产”、“交付最优生产”与“设备最优生产”三个评价指标进行同时优化,转化为三个目标函数:最小化最大机器负荷、最小化最大完工时间、最小化机器平均相对空闲率。

(1)最大负荷机器的负荷W最小
为了降低模型的计算复杂度，用每台机器需要承担的所有工序的总加工时间代表每台机器的负荷W k,则最大负荷机器的总负荷W数学表达式如下：min W=min(max W k)(6)
k=1
(2)最大完工时间c最小
C=min(max(C-))(7)
1$j$n
(3)机器平均相对空闲率Q最小
机器在加工完成后，要求所有机器的平均相对空闲率最小,并需要达到智能生产单元的管理需求)因此机器平均相对空闲率Q可以表示为：
",E k=0
式中:E k表示第k台机器的完成所有工序的时间；
E y,表示第k台机器的开始加工时间；Q k则为第k 台机器的相对空闲率。

2基于NGA-PSO的多目标调度算法设计2.1融合算法原理
基于隔离的小生境遗传算法和粒子群优化都属于生物启发式算法，它们在随机优化过程中存在自身的优势和不足。

NGA算法虽然可以保证解的多样性，但是由于将每一代种群分成若干个子类，具有一定的盲目性,牺牲了寻优过程的局部搜索能力，同时若干个子类是固定分组的，子类的规模设计很大程度上影响算法的优劣,无法实现自适应检测;PSO优化实现过程
-12-工业仪表与自动化装置2021年第3期
简单，具有较高地快速搜索能力，但其在迭代过程中，粒子易于趋向邻域内的最优位置，致使微粒因区域内聚集而导致种群多样性下降，因此全局的收敛性欠佳且全局搜索能力不足。

对于上述问题，提出了一种将上述两种算法相结合的混合算法。

算法将整体分为两层结构，底层由一系列的NGA子种群组成,采用隔离的小生境技术进化,提供算法的全局搜索能力；上层则是通过竞争择优策略从子种群中选取优良个体,采用粒子群优化进行精确的局部搜索,加快收敛速度)
将混合算法引入柔性生产车间调度问题中，使最优解性能不断得到提高，保证全局搜索与局部搜索的能力的同时，提高算法在求解问题的速率以及解的质量。

混合算法的优势具体如图2所示。

图2NGA-PS0混合算法的优势
2.2改进策略
(1)采用基于Pareto支配关系的非劣解排序方法,对种群中的解进行分类,促使进化过程中的个体趋向于Pareto最优解集，并进行个体适应度值的分配。

(2)采用两种方式维持种群多样性，一是自适应的交叉变异概率，二是拥挤距离。

①适应度值分配策略
步骤1：对任一个体P,令S p=0,N p=0O若个体p<q,则令S p=S p U1q\+否则，若q<P,令n p=n p+ 1；若n p=0,令p r gnk=1,P1=P1U1
步骤2：令i=1,当P+0,设一个临时集合G+ 0；对于每个个体q&S p,令n q=n q-1,若為=0，则q r gnk=i+1；令G G U
1q,i=i+1,P l=Q o
步骤3:若P o=0,则结束。

否则转入步骤2。

②种群多样性保持策略
维持种群多样性的方式主要有两种,第一种采用动态的交叉变异概率,使算子在迭代过程自适应地对种群的寻优操作进行调整，对于交叉变异算子引入效能函数9
f=l W+02C+e Q(9)
交叉算子：
%，厂$Avy
0.3,S(f-ft a S
7J max J min
变异算子：
I*On%f,f>fyy
J mvx J avg
1,f$
仁e
0.5,S(f-ft a s
n
I0.8
*fTf,S(f-/"c)'S
max min
(12)
(13)其中,/mm是当代种群中的最大与最小效能函数值;/re是子种群平均效能函数值;/'是用于交叉个体间的较大效能函数值;/为当前子种群个体的效能函数值。

s&[0~1]为评价尺度值;1,1的引入是实现分段渐进的思想，式中S(x)=(1+e—x)-1,为Sigmoid函数，也称为S型成长曲线。

该函数值在0.5-1之间渐进变化。

另一种是拥挤距离,首先将所有每个个体i的拥挤距离赋初始值P[g do=0,将不同等级的非支配解独立进行排序，然后由公式(15)得到所有个体的拥挤距离。

步骤1:将不同等级上非支配解的第一位与最后一位个体的拥挤距离设为无限大
：
2021年第3期工业仪表与自动化装置-13-
P,1]d)=P[N d)=!(14)
其他个体的拥挤距离为：
\a i)+-a,_1
p,订m=—厶」(15)
d n
mm
式中:a m表示第i个个体对于第m个目标函数的目
标值。

步骤2:每层等级上个体的拥挤距离为所有目
标函数拥挤距离的平均值。

1V
P,i d)=v!P，i m(16)
m=1
2.3算法流程分析
综合混合算法设计的理论，NGA-PSO算法的
具体调度方案流程如下:
首先确定算法调度的模型,包括种群编码方式、
运行参数(见表1)、目标函数和执行环境等,并初始
2.4无量纲处理及模糊决策
(1)确定权重矢量
从Pareta最优解集构造出n个调度方案和m
个评价指标的判断矩阵！，对于该文三目标问题，其
矩阵!为:
T C1
C11
C2e21
C2C]
e321-(17)
-C3e31化种群，然后利用小生境技术将原始种群分成几个子种群并分别进行迭代，迭代过程中对每个子种群采用Pareta排序并将选中的个体作为下一次进化的父代,再利用动态交叉变异的概率生成新个体,对每个子种群中满足约束条件的个体进行Pareta排序和拥挤距离计算，取每个NGA种群中排序高的个体构成上层PSO粒子群，并初始化每个粒子的搜索速度。

对上层的精英粒子群按照PSO算法步骤进行迭代搜索，找出当前种群的非劣解;将非劣解与外部存储数据库的非劣解比较并进行更新操作。

判断是否满足算法终止准则，如果满足，停止迭代;否则，从上层PSO粒子群中随机选择k个粒子替换掉NGA 子种群的k个个体，然后重新进行NGA子种群的迭代进化。

具体的算法流程图如图3所示。

其中：C,(i=1，2,3)表示总目标层下的3个分目标, e)表示目标i与目标j相对于准则的重要性标度,相同目标的评价标度为1,即e (1)
对矩阵！求其特征向量，可以得到每个指标的权重矢量"=(e1,e2，…,K m)T)
(2)求解决策矩阵
求解多目标优化问题时，由于每个目标的量纲不同，无法直接进行对比判断。

所以在决策判断前,需要对各目标进行无量纲化处理,将其特征值统一
-14-工业仪表与自动化装置2021年第3期
变换到［-1,1］范围内。

无量纲化处理方式为：
max
r）=円—
ij max min'/ +-+
式中:r表示目标/对决策方案,的无量纲值；r=1, 2,…,P表示决策方案的数量;j=1,2，…，q表示目标函数的数量；=max1+?a》，…,a s?i;a?mla= min j a1?,a%,…，+”？；+）为，对应指标力的值。

由式（5-8）可以得到决策矩阵#=［p-p x q）
（3）得到最终决策
由公式$=#"T计算可得到调度方案的最优排序矩阵，选取最满意方案。

3实验仿真分析
所有算法的测试程序均由R2014v版本的MATLAB编码实现，操作系统为8G内存的Win­dows10）相关参数设置见表1）
表1算法参数设置popnumber T k c、c2w b 1001004 2.0 1.50.85
表1中,popnumber表示种群数量；T为最大迭代次数;k表示每次替换底层NGA子种群的个体数目；C1,c与w为粒子群算法的相关参数;b表示NGA子种群数目。

为了验证NGA-PSO算法的可行性及优越性,在单目标方面,将NGA-PSO算法与文献［7］、文献［8］、文献［9］、文献,10］、文献［11］和文献,12-进行对比，并将结果记录在表2中;在双目标方面与文献［13-和［14］中算法进行比较，采用三种典型案例进行测试，其调度问题规模分别为8x8,10x10与15x10（含义:n（工件数）X m（机器数）），并将结果记录在表3中。

图4为使用该文算法求解8x8案例问题得到的Ganni图及优化目标变化图。

表2该文算法与其他算法的求解结果对比表
问题n x m NGA-PSO文献［7］文献［8］文献［9］文献［10］文献［11］文献［12］mk0110x640414042404040
mk0210x626262831292626
mk0315x8203204204204204204204 mk0415x860676568656060
mk0515x4172176174179175173172 mk0610x1558606468795857
mk0720x5141140144155149144139 mk0820x10523530523523523523523 mk0920x10307---325307307 mk1020x15198---253198197
表3求解8］8问题运行结果比较
问题目标函数
该文算法文献[13](PSO+SA)算法文献［14］算法
仿真结果时间/7仿真结果时间/s仿真结果时间/s
C161716171616
8x8Q 0.0970.021
2.38
0.1540.125
8.40Npne Npne 2.40
W131313131314
C988887
10X10Q00.04 2.400.1750.13516.60Npne Npne 3.80 W767878
C111111111110
15x10Q0.230.18 6.80None Npne Npne Npne Npne Npne W1011None Npne Npne Npne
9
8 6-2
|药
6 5 4 3 2 1
2 4 6
8 10 12 14 16 18
加工时间沧
运算次数
(a) NGA-PSO 算法
100
0 5 0 5 0 5 0
5 4 4 3 3 2 215V a
■ 1
.
!'■>
一-设备最大负荷变化 —最大完工时间变化--设备平均相对空闲率变化--、
L
.
A
-50
20
15
O.10
O.〔总豔做间变化
14
赳範®
w
皿
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
运算次数
(b) PSO+SA 算法
图5多次运算匚与＜ 目标函数值变化图
100
迭代代数
158-05
图4求解8 X 8案例问题Gannt 图与目标变化图
(C = 16,Q 二 0.097,＜ = 13)
7
5
2- 「
6 4
2 2从图4可以看出，该文所用算法在开始阶段快
速收敛，在迭代次数早期已经收敛到最优解，验证
了 NGA - PS 0算法的全局搜索能力。

从表3可以
看出，NGA-PS 0算法相对于文献:14 -在C 与＜
一定的前提下，Q 的值取得更好的结果。

仿真时
间相对于文献[14 -在取得最大完工时间相同的情
况下缩短了 6个单位时间，说明NGA — SP 0算法
在寻优时间上相对较快，也说明其局部搜索能力
较强。

图5为NGA — PSO 算法与PSO + SA 算法重复 运算50次后，对每次运算C 与 ＜ 两个目标函数值
进行统计的概率分析，计算各目标函数值的平均值
与标准差。

从表格3可以得出本章算法的设备平均 相对空闲率(Q )的结果明显优于PSO + SA 算法，所 以多次运算后Q 值变化图不具有对比意义，因此不
进行Q 值平均水平与标准差的比较。

从图5中可以看出，C 的平均水平：18.08，标准
差&1.683 3 ；＜的平均水平&14.06,标准差：1.58，相
对于PSO + SA 算法都降低了，说明NGA — PSO 算法
的稳定性更强,不仅提升全局搜索能力，而且鲁棒性
能更加优异。

4结语
该文设计了一种基于Pareto 改进的多目标混合 算法求解生产线柔性车间多目标调度问题"所提出 的NGA-PSO 算法综合两种算法优势，使得调度在 寻优过程的全局搜索能力和局部搜索能力得到较大 改善,并且在算法求解过程中改进了多目标处理策
略，如采用适应度值分配策略作为种群选择的评价
标准、设计一种动态的交叉变异概率等，维持种群的
多样性、优化搜索性能。

随后,采用国际基准算例以 及8 18,10 110与15 115三个测试问题对算法进
行测试，给出了详细的实验结果。

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