数学建模国赛范文

从博弈论角度看大学生竞赛的优胜劣汰与参赛策略
摘 要
本文给出了在大学扩招背景下，大学生竞赛纵向发展及横向胜汰的模型，并从博弈论角度建立大学生参赛策略模型——尤其讨论其他高校参赛策略可预测情形下哈工大（威海）的最佳参赛对策。

同时，从各大院校科技创新水平给出科技类大学生竞赛对创新性培养的相关数学模型。

本文从搜集有关各大高校历年各种竞赛参加及获奖人数的数据开始，从竞赛规模的发展趋势和学生对竞赛的参加策略两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出各自有关大学生竞赛的前景的数学期望，最后再利用纳什均衡的伯川德模型综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优策略。

模块Ⅰ中，我们将焦点锁定在从竞赛规模的逐年发展趋势预测其前景。

我们从选取的数据和相关资料出发，利用动态模型分析的动力系统综合考虑参赛院校、参赛队伍数量特征和变化趋势，并结合遗传算法推测各个竞赛的竞争态势和发展前景。

然后，我们随机选取了同一年份不同竞赛，并根据表达式计算这些竞赛的规模比重，结果发现跨专业程度相对较高，获奖几率相对高，保研加分比重大的竞赛，如全国大学生数学建模大赛，参赛人数占所有竞赛比例范围常年较高，且维持稳定年均增长率：专业性特征明显，获奖比例相对低，保研加分比重小的竞赛，如机械创新设计大赛，参赛人数占所有竞赛比例相当为低，且呈增长凝滞乃至下降状态。

在模块II 中，我们从学生对竞赛的参加策略出发，利用回归分析，权衡跨专业程度、竞赛规模、题目难度、获奖情况、保研加分政策与学生参赛策略的关系，发现下年参赛人数与前期竞赛规模、获奖比重、保研加分偏重成正相关，与上年题目难度、专业特殊性成负相关。

对此产生的数据验证分析符合标准。

然后，再根据专业相关系数来确定参赛策略的标准。

从而，得到了学生参赛策略的收益预期。

在模块III 中，为了获取哈工大（威海）在其他高校采取可预期的参赛策略的情形下有选择投入竞赛的最优策略，我们综合了前面两个模块所制定的收益指标，并分别给予不同权系数，得到最终策略收益的纳什均衡表达式12i i C ay by =+。

然后，我们从参赛收益系数C 考虑，利用神经网络得到的区域划分，根据不同区域而计算出的权系数b 的范围。

最终得到的表达式：
（[]12345**(1)(1.0502 1.1959 1.3108 1.36360.7929)**b i i C R G Q b x x x x x R =-+----;） 由此便可得到综合参赛收益C 的取值范围。

同时，本文还利用混合策略纳什均衡，抽样分析了哈工大（威海）竞赛投入与收益的最优策略。

通过纳什-伯川德模型，讨论在中国高校采取其优势策略的情形下，我校达到收益最大化的对策。

最后，我们从本论文研究方向考虑，为优化参赛策略的制定提出参考意见，如加权参考历年参赛收益期望和根据近期政策加权考虑不同自变量的建议。

【关键字】相关系数 回归模型 插值与拟合曲线 动态模型分析 遗传算法 AHP 层次分析 纳什-伯川德模型 中位选民定理 数据统计分析
1 问题重述
随着科学技术的飞速发展，社会竞争日益激烈，创新在人类文明进步中已处于举足轻重的地位。

当今时代，创新价值更是日益凸现，放眼全球，各国综合国力的竞争集中表现为科学与技术的竞争，而科学技术的竞争实质是知识的创新与运用能力的竞争。

创新能力成为决定一个国家、民族前途和命运的重要因素，正如江泽民同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”，“一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界先进民族之林”。

教育部文件明确指出“推进人才培养模式和机制改革，着力培养学生创新精神和创新能力”，并在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020)》中提出了“牢固确立人才培养在高校工作中的中心地位，着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才.”培养和提高全民族的创新素质，已经成为时代对当今教育的新要求，也是提高教学质量的重点和难点. 在此背景下，大学生科技创新活动已成为我国高校发展最快、潜力最大的一项学生活动，大力培养大学生的科技创新能力，是高等学校适应时代要求的全新人才培养模式的重要手段和内容，也是高校校园文化建设的新理念。

长期以来，哈尔滨工业大学（威海）始终把培养和提高学生科技创新能力放到重要位置，实行了一些激励机制措施，充分调动了广大师生的积极性，取得许多优异的成绩。

但是，从学生的角度分析，如何确定正确的参赛策略是主要问题。

为此，我们就我校认定的国际或国家级科技类竞赛进行定量分析，以得出适合我们的参赛策略。

2 问题分析
由于对评定一项大学生科技竞赛的发展趋势，我们没有一套规范的标准，对于分析评估一项或多项大学生科技创新活动就是一个复杂的过程。

一项竞赛活动包含多种关于该活动的信息，同时大学生对科技竞赛的选择也受多方面的影响，因此对于各项科技竞赛发展趋势的评估以及学生的参赛策略，我们也是根据需要来筛选信息，确定主次来对该项竞赛进行评估，不同的信息从不同的角度客观的反应该项竞赛。

对于问题一，通过搜集我校认定的国际或国家级科技竞赛历届的参赛人数、参赛学校、获奖情况等方面的资料，分析这些竞赛的的发展趋势，并通过调查这些竞赛主管部门、主办单位、竞赛规模、设立奖项类别等信息，分析这些竞赛的质量。

对于问题二，利用为问题一得出的结论，以哈尔滨工业大学（威海）为例，结合本校实际情况，从学生对竞赛的参加策略出发，根据竞赛规模、保研加分政策以及获奖水平等方面的信息，得获学生参赛策略的收益预期。

对于问题三，我们综合前面两个模块所制定的收益指标，在全国高校采取理性参赛策略的情形下，利用混合策略纳什均衡，获取哈工大（威海）投入竞赛的最优对策。

3 模型假设
1.假设所有数据均真实有效、准确无误，不受主观因素的影响；
2.假设模型具有足够的稳定性和稳健型，使得部分数据资料的缺失不会对模型的
准确性造成影响；
3.假设各项因素对学生参加竞赛的影响符合层次分析要求；
4 假设对某个大学生竞赛活动的质量影响从几个主要因素进行评估，略去影响较
小的因素。

4 符号说明
模块I 数学建模参赛院校回归方程 x 参赛院校数目, y 届数; 数学建模参赛人数回归方程 y 当年参赛人数； 获奖率回归曲线方程 获奖率y i (i=1,2,3) r 内增长率，a 生源限制强度度量
O=老牌竞赛参赛率（参赛学生/全部有资历在校大学生） N=新兴竞赛参赛率（参赛学生/全部有资历在校大学生） gO=老牌竞赛规模年增长率 gN=新兴竞赛规模年增长率 cO=与老牌竞赛竞争的损失 cN=与新兴竞赛竞争的损失
模块II 定义符号及说明：
1、第x 层表示为各项调查数据，为原始层。

2、每一层有m i 个因素。

3、xmn W 表示为第x 层中的第n 个因素在第1 x 层中的第m 个影响中所占的权重 4设A ij 为第i 层中c ii 与c ij 的重要性之比。

模块III A ：全国参赛高校总体 B:哈工大（威海） (a1，a2）：A 的纯竞赛策略 (b1，b2，b3）：B 的竞赛选择， a11: 全国数学建模大赛 a12: 机械创新设计大赛 b11: 全国数学建模大赛 b12：机械创新设计大赛 b13：周培源力学竞赛 （aij ，bij ）：该情况下A 和B 各自收益
Pi ：对i 的投入比例，决定总体学生能力进而影响哈工大获奖难度 EU ：策略收益，由一二三等奖各自获奖率和加分数目乘积加权求和 （EU1，EU2，EU3）：哈工投入数模、机创、周培源各自收益 （n1,n2,）:2013年全国数模、机创参赛各自人数的预期
（g1,g2） :2013年全国数模、机创参赛各自一等奖获奖率的预期 （h1,h2） :2013年全国数模、机创参赛各自二等奖获奖率的预期 （d1,d2） :2013年全国数模、机创参赛一等奖加分数值的预期 （e1,e2） :2013年全国数模、机创参赛二等奖加分数值的预期 （p1,p2） :2013年全国数模、机创参赛投入比例的预期 G ：2013年两项竞赛的竞赛规模期望 Q ：2013年获奖情况期望
（x1,x2,x3,x4,x5）:2008~2012 往届题目难度
5 模型的建立与求解
5.1 问题一的模型
回归模型 插值与拟合曲线 动态模型分析
5.1.1 模型建立
1根据调查了解到各项竞赛的相关信息和部分内容见下表，其余见附件； 2根据调查结果进行数理统计，数据及过程如下；
3通过对数据的统计与分析进行常态分析，对各竞赛规模等进行预测。

一．各大赛调查结果统计表
1全国大学生数学建模大赛 a 图表分析
全国数学建模大赛图表分析
比例
占总数比例
美赛中国队伍比例
2001
b
哈工大（威海）
0 4 18 0 114 约10千
11.4 湖南大学/985
0 5 1 7 81.5 约20.4千 4.0
华中科大/985
1 5 6 4 195 约34.9千 5.5
北理工/985
0 7 18 0
159 约3.5千
11.78 西北
工大
/985
2 10 6 0 368 约14.2千 25.9
哈工大(哈尔滨)
2 22 91 0 80
3 约25千
32.12 苏州大学
/211
0 5 3 10 89 约24千
3.71 西安交大
/985
1 1
2 12 0 316 约15.9千 19.8
北科大/211
0 6 7 12 117 约13.8千 8.48
一． （为了方便量化比较，我们给各奖项加了系数，获奖数是项数，不是乘完系数的分数（注
意，三等奖有些学校直接忽略了，因此，0有可能是NA 。

特等=Outstanding Winner ；特候=Finalist ；一等=Meritorious ；二等=Honorable Mention ；三等= Successful Participant ）获奖总分可以看成一个代表一个学校本科生绝对实力的指标，“总分/人数”可视为该校本科生素质密度的度量，消除规模优势。

）
2.周培源力学大赛历年参赛概况 年份
1988
1992
1996 2000 2004 参赛省市
25 30 参赛单位
12
81 164 参赛人次
62 1389 1711 2752 7617 一等奖
2 4 2 2 2 二等奖
4 4 4 4 4 三等奖
11 15 11 11 11 获奖率
0.274 0.016 0.010 0.006
0.002 二等奖
10 33 35 30 915
电子设计大赛图表分析
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0200
400
600
800
1000
1200
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021********
年度199419951997 二．按年份汇总数据及图表 . 参赛院校及人数的图表
动态模型之优胜劣汰的竞赛
在当代大学生自由选择参加竞赛门类的背景下，不同竞赛相互竞争潜在的学生资源，以及影响力可能带来的系列利益。

规模越大的竞赛，学校认可程度越强，参赛学生精力投入越大，从而解题水平越高；另一方面，竞赛难度也越大，且获奖几率越低。

当一类老牌、传统、大规模、高认可的竞赛与一类新兴、现代、小规模、认可度尚低的竞赛面向同一类群学生招考时，它们能否在竞争中共存，或者一类竞赛会使另一类竞赛淘汰？
我们将运用五步分析法。

用O和N分别表示老牌和新兴竞赛类群，并对这两个类群的动态做一些假设。

1.在无限制参赛的情形下，参照生物在理想环境下的逻辑斯底函数，有理由假设新兴型竞赛的规模增长率与其现有规模呈正比。

当新兴竞赛类群规模扩大时，同型类群内部会产生竞争，从而抑制其规模扩大速率。

因此，有理由假设新兴竞赛的增长率线性依赖其规模大小，并随规模的扩大而减小。

具有这种性质的增长函数是：
g（P）=rP-aP2
这里r是内增长率，a<<r是生源限制强度度量。

显然，a越小，规模的扩大空间越大。

竞争来自生源的限制，而竞争对两者造成的损失依赖于赛群规模大小。

下面分别选取全国大学生数学建模大赛（老牌）、亚太机器人设计大赛（新兴）为样本代表进行数学建模，定性和定量分析、预测不同竞赛的发展前景和消亡忧虑。

2.变量：
O=老牌竞赛参赛率（参赛学生/全部有资历在校大学生）
N=新兴竞赛参赛率（参赛学生/全部有资历在校大学生）
gO=老牌竞赛规模年增长率
gN=新兴竞赛规模年增长率
cO=与老牌竞赛竞争的损失
cN=与新兴竞赛竞争的损失
假设：
gO=r1H-a1H2
gN=r2H-a2H2
cO=b1SH
cN= b2SH
H>=0,S.=0
r1,a,1,r,2,a,2,b,1,b2均为正实数
目标：
确定是否有H→0或S→0
3.建模
设函数
f1(x1,x2,……,xn)
……
fn(x1,x2,……,xn)
定义在R n的子集S上。

函数f1,……fn分别表示x1,……xn的变化率。

称集合一点（x1,……xn）为平衡点，若
f1(x1,x2,……,xn)=0
……
fn(x1,x2,……,xn)=0
则对每个变量变化率为0，系统达到静止/趋向极限
即：要求动态系统的平衡态，只需求其平衡态，即令函数矩阵等于0.
4.构造公式
记x1=H,x2=S为两个状态变量
稳态方程：
r1x1-x12x1x2=0
r2x2-x22-x1x2=0
5.求解模型
均衡点
k1=(0,0)
k2=(0, r2/ a2)
k3=( r1/ a1, 0)
第四个解：
第四个解是下述两直线交点
a1x1+b1x2=r1
b2x1+a2x2=r2 由克莱默法则，
x 1= (a 2 r 1-b 1 r 2)/( a 1 a 2--b 1 b 2) x 2= (a 21r 2-b 2r 1)/( a 1 a 2--b 1 b 2)
可知如果第四点不存在时两类竞赛不能和平保持共存于平衡态
由规模扩大模型中赛群内部斗争的函数关系，可得： 共存条件为 a 2 r 1-b 1 r 2<0 a 21r 2-b 2r 1>0
5.1.2 模型求解
1 回归方程
（1）数学建模参赛院校回归方程 设εββ++=x y 10
⎩⎨⎧==++=2
10,0σ
εεεββD E x y 固定的未知参数0β、1β称为回归系数，自变量x 也称为回归变量 x Y 10ββ+=，称为y 对x 的回归直线方程
一元线性回归分析的主要任务是：
1.用试验值（样本值）对0β、1β和σ作点估计；
2．对回归系数0β、1β作假设检验；
3．在x =0x 处对y 作预测，对y 作区间估计
经matlab 编程（程序源代码见附录），得到y(届数)对x （当年参赛院校数目）的回归直线方程：
y=345.5x-145.9 7194.0ˆ,073.16ˆ1
0=-=ββ；0
ˆβ=-145.9，1ˆβ=354.5，0
ˆβ的置信区间为[-499.3826 ，207.5826], 1
ˆβ的置信区间为[247.9210，461.0790]; r 2=1, F=11.2, p=0.0000 p <0.05, 可知回归模型 y =-16.073+0.7194x 成立.
预测2013年参赛院校数目：y =1.6546e+03=1654.6
3．画出残差及其置信区间：rcoplot （r ，rint ）
2．求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：
（2）.参赛人数的回归方程
由拟合曲线可见，各竞赛参赛人数与届数的相关函数与一元回归直线差别较大，故应用多项式回归方程：
使用matlab 编程（程序源代码见附录2，得到回归方程模型如下：
I 数学建模参赛人数回归方程：
y=-2.6x4+58 x3-385.9 x2+2459.4 x+3163
2013年预计人数：y=22654
II 电子设计大赛参赛人数模型
y=-28.6x 4+52.3 x 3-2686.7 x 2+6338.4 x-2416.1
2013年预计人数：y=14983
III 周培源力学大赛参赛人数模型（问题：第五届之后参赛人数数据缺失，根据模糊理论可知，后期数据估计准确性不足） p
p x x y βββ+++=...110设变量x 、Y 的回归模型为 εββββ+++++=p p x x x Y ...2210 其中p 是已知的，),,2,1(p i i Λ=β是未知参数，ε服从正态分布 ),0(2σN .
y=57.5x 4-288.1 x 3-212.5 x 2+3118.1 x-26130 2013年预计人数：y=38291
IV 机械创新设计大赛参赛人数模型（问题：仅能获取前四期参赛人数） y=-556.7x 4+4400 x 3-6483.3 x 2+4640 2013年预计人数：y=10857
三．统计特征
1.数学建模大赛参赛人数的变化特征
(问题：获奖人数是逐年上升趋势，而非收敛于特定值，故求均值意义不大。

从巨大的方差可以看出这一点)
>> data=[5406 6881 8492 9985 11742 12846 15042 17317 19496 21219]
i ）均值：12843
ii ）中位值：12294
iii ）标准差：5358.7
iv ）方差）2.8715e+07
v ）偏度:0.1920
vi)峰度：1.8049
2.历年获奖率
0.00%
2.00%
4.00%6.00%8.00%
10.00%12.00%14.00%
16.00%0
1
2
34
5
6
7
获奖率届数
各竞赛历年一、二等奖获奖率
3获奖率回归曲线方程.
1.电子设计(y 1%)
y 1%=0.04x 4-0.92x 3+6.81x 2-1.945x+26.67 预计2013年获奖率：y1 =10.72% 2.全国数学建模大赛（）
y 2%=-0.13x 3+2.04x 2+8.94x+20.43 3.机械创新设计大赛（%） y 3%=0.65x 4-0.48x 3+7.19x 2+5.64 预计2013年获奖率： y 3 =0.791% 4．数据的统计与描述(获奖率)
无论总体X 的分布函数F （x ；k θθθ,,,21Λ）的类型已知或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X 1，X 2，…，X n ）出发，构造一些统计量(ˆi
θX 1，X 2，…，X n ）（i =1，2，…，k ）去估计总体X 中的某些参数（或数字特征）i θ（i =1，2，…，k ）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X 1，X 2，…，X n ）的函数(ˆi
θX 1，X 2，…，X n ） 作为参数i θ的点估计量，称统计量i
θˆ为总体X 参数i θ的点估计量.
2. 区间估计：构造两个函数(1i θ X 1，X 2，…，X n ）和(2i θ X 1，X 2，…， X n ），把（21,i i θθ）作为参数i θ的区间估计
(1) 电子设计大赛获奖率数据分析
>> data=[0.137 0.063 0.102 0.096 0.098 0.098 0.0977 0.068 0.069]
均值0.0921
中位数0.0977
标准差0.0229
方差5.23938*10-4
偏度0.4582
峰度2.7768
（2）全国数学建模大赛获奖率数据分析（均值10.06%）
>> data=[0.137 0.088 0.089 0.093 0.101 0.11 0.113 0.113 0.061];
均值0.1006
中位数0.1010
标准差0.0213
方差4.5503e-04
偏度0.1740
峰度2.9300
（3）机械创新设计大赛获奖率数值分析
>> data=[0.09 0.09 0.022 0.014]; 均值0.0540 中位0.0560 标准差0.0417 方差0.0017 偏度 -0.0183 峰度1.0244
5.2 问题二的模型
相关系数 AHP 层次分析 数据统计分析
问题二: 通过建立数学模型，确定学生的最优选择。

模型分析：
从调查数据与社会常识上看，对一项大学生活动竞赛进行评估，需要从许多方面考虑，比如影响力、吸引力、锻炼大学生创新能力、公正性等。

而对这些方面我们没有一个明确的标准来衡量，我们可以用一些调查的基本数据对这些因素进行模拟评估，分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次系统。

对于同一层次中的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵。

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验。

计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

定义符号及说明：
1、第x 层表示为各项调查数据，为原始层。

2、每一层有m i 个因素。

3、xmn W 表示为第x 层中的第n 个因素在第1 x 层中的第m 个影响中所占的权重
4设A ij 为第i 层中c ii 与c ij 的重要性之比。

5.2.1 模型建立 模型建立：
ij
第一层
第x 层
第i 层
一致性检验：
(图片来自韩中庚数学建模方法及其应用)
由此我们对不同大学生竞赛的评估值比较，可迭出较为合理的大学生竞赛项目。

模型II
由于学校受资源及经费的限制，为了增强大学生创新意识，培养大学生创新能力，则应选择一个最优的大学生竞赛项目供大学生参加。

结合当前实际情况对各项大学生竞赛进行评估。

如下三个方面作为我校竞赛项目选择的评估参考。

1 竞赛规模s1，竞赛规模是一项较综合反应该项竞赛质量标准；
X1: 参赛人数；x2: 参赛院校。

2 保研加分政策s2，能较好的引导学生积极、正确的比赛，以培养学生创新能力为主要目的；
X3：一等奖（含特等奖）；x4：二等奖; x5：三等奖；
, 3获奖率水平s3，能较好反应比赛的难易程度与可行性。

5.2.2 模型求解
模型的计算与求解：
Z=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡13/133153/15/11
通过一致性检验求权重，根据迭代法 ()()0.2970,0.1634,0.5396,,321==a a a e
=ω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡258.0637.0105.05.025.000
333.000417.0000000333.05.00667
.0=()288.0212
.0266.00035.0199
.0T
5.3 问题三的模型
纳什-伯川德模型 中位选民定理 5.3.1 模型建立
为了获取哈工大（威海）在全国高校采取理性参赛策略的情形下有选择投入竞赛的最优对策，我们综合了前面两个模块所制定的收益指标，并分别给予不同权系数，得到最终策略收益的纳什均衡表达式：
[]12345**(1)(1.0502 1.1959 1.3108 1.36360.7929)**b i i C R G Q b x x x x x R =-+----。

然后，我们从参赛收益系数C 考虑，利用“纳什—伯川德模型”和“中位选民定理”得到
的区域划分，根据不同区域而计算出的权系数C 的范围。

接下来，本模块还利用混合策略纳什均衡，抽样分析了哈工大（威海）竞赛选择性投入与收益的最优策略。

通过纳什-伯川德模型，讨论在中国高校总体采取其优势策略的情形下，我校达到收益最大化的对策
模型III
抽象模型
用A ，B 分别表示博弈的2方参与者。

A 有（a1，a2，……，an ）种策略，
B 有（b1,b2,……bm ）种策略。

当A 选择而B 选择bj 时，A 的所得为aij ,B 的所得为bij ，收益用所得大小衡量。

设G =（S1，S2；A ）为矩阵对策，其中S1 = {a1, a2,…，am }，S2 ={B1，B2，…，Bm}，A =aij ｝m ×n 。

记s1*=｛x ∈Em ｜xi ≧0,i=1,…,m,∑xi=1｝ s2*=｛y ∈Em ｜yi ≧0,j=1,…,m,∑yi=1｝
则s1*和s2*分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集（或策略集）；x ∈s1*和y ∈s2*分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对x ∈s1*, y ∈s2*称(x,y)，为一个混合局势（或局势），局中人Ⅰ赢得函数记为
一个混合策略x =（x1, x2,…，xm）可设想成当两个局中人多次重复进行对策时，局中人Ⅰ分别采取纯策略a1, a2,…，am的频率。

若只进行一次时对策，混合对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。

设两个局中人进行有理智的对策，当局中人Ⅰ采取混合策略时，它只希望获得（最不利的情形），因此局中人Ⅰ应选取
x
S，使得上式取极大值（最不利当中的最有利情形），即局中人Ⅰ可保证自己的赢得期望值不少于。

同样有v1≤v2时，当
=
时，x和y分别为局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的最优混合策
略，简称最优策略，V为对策值。

2、优超原则。

显然，在局中人Ⅰ的纯策略中，假设存在ak和al，如果对局中人Ⅱ的一切纯策略，都有akj≤alj，即Ⅰ赢得矩阵的第l行元素不小于k行的对应元素，则局中人Ⅰ的纯策略ak优于al，局中人Ⅰ选择ak的概率为零，可以去掉赢得矩阵的第k行。

同理，在局中人Ⅱ的纯决策中，假设存在βk和βl，如果对局中人Ⅰ(此处为全国总体)的一切纯策略，都有akj≥alj，即Ⅱ赢得矩阵的第l列元素不大于k列对应的元素，则局中人Ⅱ的纯策略βl优于βk，局中人Ⅰ选择ak的概率为零，可以去掉赢得矩阵的第k 列。

就是优超原则。

具体模型：
1符号定义
A：全国参赛高校总体
B:哈工大（威海）
(a1，a2）：A的纯竞赛策略
(b1，b2，b3）：B的竞赛选择，
a11: 全国数学建模大赛
a12: 机械创新设计大赛
b11: 全国数学建模大赛
b12：机械创新设计大赛
b13：周培源力学竞赛
（aij，bij）：该情况下A和B各自收益
Pi：对i的投入比例，决定总体学生能力进而影响哈工大获奖难度
EU：策略收益，由一二三等奖各自获奖率和加分数目乘积加权求和
（EU1，EU2，EU3）：哈工投入数模、机创、周培源各自收益
（n1,n2,）:2013年全国数模、机创参赛各自人数的预期
（g1,g2）:2013年全国数模、机创参赛各自一等奖获奖率的预期
（h1,h2）:2013年全国数模、机创参赛各自二等奖获奖率的预期
（d1,d2）:2013年全国数模、机创参赛一等奖加分数值的预期
（e1,e2）:2013年全国数模、机创参赛二等奖加分数值的预期
（p1,p2）:2013年全国数模、机创参赛投入比例的预期
G：2013年两项竞赛的竞赛规模期望
Q：2013年获奖情况期望
（x1,x2,x3,x4,x5）:2008~2012 往届题目难度
2.条件假设：
假设只考虑对于机械类专业学生的情况：
1.全国水平对哈工有影响的是全国数学建模大赛和机械创新设计大赛
2.哈工大机械学生可以选择这两项竞赛，也可以选择周培源力学竞赛
3.哈工大对3项竞赛的培训和资金投入由全国总体水平决定
4.全国的纯策略选择为ai时，哈工收益为bij；
5.ai是自变量，不受bj的影响，但也是可变的；bj是因变量，由ai决定
6.a1，a2，a3可由搜集的数据和I,II中建立的模型定量算出
7.根据对两竞赛2013年全国水平参赛人数的预期（n1,n2,），一等奖获奖率（g1,g2），
二等奖获奖率（h1,h2）,一等奖加分数值（d1,d2），二等奖加分数值（e1,e2）,可知总体对两项竞赛的投入比例可得当下比例系数p1,p2（p1+p2=1）:
8.将比例系数p1当做自变量，作图观察哈工大收益在p1不同变化区间的变化，从
而得出不同p1下的分段参赛最优策略
9.混合策略收益可以按投入比例由纯收益取得
5.3.2 模型计算与求解
数据计算
已得或已知数据：
n1=22654,
n2=10857
g1=10%
g2=2%
h1=23%
h2=8%
d1=15,5
d2=10,3
e1=5
e2=3
1.2013全国总体参赛侧重比例（p1,p2）
p1/p2=[n1*(g1*d1+h1*e1)]/[n2*(g2*d2+h2*e2)]
p1+p2=1
得
p1=65.27%
p2=34.72%
2.2013全国总体参赛收益（C1，C2）
根据模块II 中的数据，由两项竞赛的竞赛规模G 、获奖情况Q 、往届题目难度M （x1,x2,x3,x4,x5）对全国范围的定量影响，并综合分析预测下年全国参赛规模b 和参赛学生水平Ri ，通过AHP 层次分析法软件（ExpertChoices ）和matlab 矩阵相关性加权得出哈工大每种纯策略在该情形下的收益C
[]12345**(1)(1.0502 1.1959 1.3108 1.36360.7929)**b i i C R G Q b x x x x x R =-+---- C1=2.32 C2=1.76
假定A,B 均理性，则A 是可预测的，而A,B 将可达到纳什均衡伯川德模型： 分析：
i ）纯收益：
当A 选择数学建模时，B 的最佳对策是选择机械创新； 当A 选择机械创新时，B 的最佳对策是选择数学建模。

ii ）2013定收益期望EU ： 由
p1=65.27% p2=34.72% 得
当B 选择数学建模，EU1=65.27%*3+34.72%*8=4.6965； 当B 选择机械创新，EU2=65.27%*5+34.72%*3= 4.3051； 当B 选择周培源力学，EU2=65.27%*4+34.72%*6= 4.6940； 由此可见，2013年哈工大参赛最佳对策是参加数学建模。

iii ）p1作为变量时的动态分析
以p1为自变量，p 1是关于A 选择数学建模的期望，而p2=1-p1; 分别在p1=0， p1=1处，列出以B 的收益期望值为坐标的y 轴； 以此为坐标平面，画出B 的收益函数图像，如下图：
当p1<=2/7时，周培源力学竞赛为最优策略；
当p1>=2/7时，数学建模大赛为最优策略；
当p1=2/7时，选择数模、机械创新、周培源收益相同；
（2/7，4.42）是该模型的纳什均衡点。

6 模型的评价与改进
参考文献
[1]（新西兰）Mark M.Meerschaert,《数学建模方法与分析》，机械工业出版社，2005
年：
[2]韩忠庚，《数学建模方法与应用》，高等教育出版社；
[3]阮晓青，周义仓，《数学建模引论》，高等教育出版社，2005；
[4]网易公开课。