卡 氏 定 理

解 （1）列出梁的弯矩方程，并对 F 和 M0 分别求偏导数，可得 M (x) M0 Fx （ 0 x l ）
M (x) x ， M (x) 1
F
M 0
（2）根据卡氏定理求 A 点的挠度，可得
AV
U F
M (x) M (x) dx 1
l EI F
EI
l
0 (M0
Fx)xdx
M 0l 2 2EI
材料力学
图 10-21 所示的一简支梁，跨度中点 C 受集中力 F 的作用，试求点 C 的铅
垂位移。
图 10-21
该梁分为 AC 和 CB 两端，计算梁的变形能为
U
M 2 (x)dx 2
l 2
Fx 2
2
dx =
F 2l3
l 2EI
0 2EI 96EI
若将变形能U 对载荷 F 求偏导数，得
（5）用卡氏定理求位移时，对于结构上作用有两个相同符号的外力时，因 为结构上的外力是独立的自变量。
（6）卡氏定理适用于线弹性体、小变形情况。
例 10-11 图 10-23 所示悬臂梁的自由端 A 处作用有 F 和 M0 ，抗弯刚度 EI 为常量。求自由端的挠度和转角（不计剪力对位移的影响）。
图10-23
U f (F1，F2，…，Fn ) 并且，线弹性体在变形过程中，外力 F1 ，F2 ，…，Fn 所做的功等于线弹性体的 变形能，即
U
W
1 2
n i 1
Fi i
（a）
（a）
图10-22
上述外力中的任一外力 Fi 有一个微小增量 dFi ，如图 10-22（b）所示。相应的，
该线弹性体的变形能也必然产生一个相应的增量
U F
F 2l3 96EI
F
Fl 3 48EI
CV
由上述结果可知，变形能U 对力 F 的偏导数等于 F 力的作用点 C 在 F 力作用
方向上的位移。上述结果并非偶然，而是一个普遍定理—卡氏定理在上述问
题中的应用。下面推导这一定理。
如图 10-22（a）所示，简支梁 AB 受到广义力 F1 ， F2 ，…， Fn 的作用。 在各力作用点处引起的相应广义位移分别为 1 ， 2 ，…， n 。简支梁的变形 能可以表达为广义力 F1 ， F2 ，…， Fn 的函数，即
（2）在各种受力形式下的变形能都是以内力分量的形式出现的，而内力分 量又都是外力的函数。因此，变形能对载荷的偏导数都是以内力分量对载荷偏 导数的形式出现的。在各种受力变形情况下，卡氏定理的相应形式如下。
① 对于轴向拉伸或压缩变形有
i
U Fi
Fi
l
FN2 (x)dx 2EA
FN (x) FN (x) dx l EA Fi
dU=
U Fi
dFi
。于是梁内的变形
能应为
U1
U
dU
U
U Fi
dFi
（b）
（b）
（c）
当 首 先 作 用 dFi 时 ， 其 作 用 点 沿 dFi 方 向 的 位 移 为 d i ， dFi 做 功 为
1
2 dFi
di
。然后再作用
F1
，
F2
，…，
Fn
时，外力做功为
n i 1
1 2
Fi
i
。不过
② 对于圆轴扭转变形有
i
U Fi
Fi
T
2
(x)dx
l 2GIp
T (x) T (x) dx l GIp Fi
③ 对于弯曲变形有Leabharlann iU FiFi
l
M
2 (x)dx 2EI
M (x) M (x) dx
l EI
Fi
④ 对于组合变形有
i
U Fi
FN (x) FN (x) dx l EA Fi
F
F
（2）根据卡氏定理求节点 C 的铅垂位移。
CV
U F
F
F2 NAC
lAC
2EA
F2 NBC
lBC
2EA
FNAClAC FNAC FNBClBC FNBC
EA F
EA F
CV
1 EA
(0.897F)
l cos 45
(0.897)
0.732F
l cos 30
0.732
1.76Fl EA
Fl 3 3EI
（3）根据卡氏定理求 A 截面的转角，可得
U M (x) M (x) 1
θA M0 l
EI
M 0
dx EI
l 0
(M0
Fx)
1
dx
M0l EI
Fl 2 2EI
例 10-12 图 10-24 所示构架，在节点 C 处受铅垂方向的集中力 F 作用，已 知两杆的抗拉、压刚度 EA 相等。试求节点 C 处的铅垂位移和水平位移。
1 2
dFi
d i
，化简后得到
i
U Fi
式（10-14）称为卡氏第二定理，简称卡氏定理。
（10-14）
应用卡氏定理计算线弹性体的位移需注意以下几点。
（1）在证明卡氏定理时，因为并未说明 Fi 是一个集中力还是一个力偶，所 以应该把 Fi 理解为广义力，把 i 理解为广义位移。当 Fi 为集中力，相应的 i 为 集中力作用点沿集中力作用方向的线位移；当 Fi 为集中力偶时，相应的 i 为沿 集中力偶转向的角位移。
（a）
（b） 图 10-24
（c）
（d）
解 （1）求各杆的轴力，并对 F 求偏导数。
节点 C 的的受力分析如图 10-24（b）所示，根据节点 C 的平衡条件，得
FNAC
sin 60 sin 75
F
0.897F
，
FNBC
sin 45 sin 75
F
0.732F
FNAC 0.897 ， FNBC 0.732
在 F1 ， F2 ，…， Fn 作用过程中，在 Fi 方向（亦即 dFi 方向）发生位移 i ，因
而 dFi 又完成了 dFii 的功。这样，按第二次序加载，弹性体内的变形能是
U2
1 2
dFi
di
dFi
i
U
由于变形能与加载次序无关，两种加载次序在弹性体内产生的变形能应相
等，即 U1
U2
。略去二阶微量
T (x) T (x) dx l GIp Fi
M (x) M (x) dx
l EI
Fi
（3）利用卡氏定理计算线弹性体上一点（或一截面）的位移时，在该点（或 该截面）必须有与之相应的外力（集中力或集中力偶）作用。
（4）利用卡氏定理计算线弹性体没有外力作用的位移（或所要求的位移与 加力方向不一致）时，需在求位移处虚设一个与所求位移相应的附加外力 F 。
(↓)
上式结果是正值，表示 C 点的铅垂位移方向与集中力 F 的方向一致。
（3）根据卡氏定理求节点 C 水平方向的位移。 因为在节点 C 的水平方向没有载荷作用，因此需要在原构架的 C 点沿所求位 移方向附加一水平集中力 F ，如图 10-24（c）所示。 根据节点 C 的平衡条件，如图 10-24（d）所示，求各杆的轴力并对 F 求偏导 数，得