2020版新一线数学二轮专题复习艺术专用课件：第七章立体几何第3节

第七章
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解析：当 m⊥n，m⊥α，n∥β 时，两个平面的位置关系不确定， 故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
答案：②③④
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解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定 理中，条件“线在面外”易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
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[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错
误的打“×”．
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行．(
)
(2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有
无数条．(
)
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3．(2019·蚌埠模拟)对于空间的两条直线 m，n 和一个平面 α，下 列命题中的真命题是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 m∥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
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高考总复习 第七章 立体几何
第3节 直线、平面平行的判定与性质
艺考生数学
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1．直线与平面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图形
性质
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条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α， a∥b
a∥α
结论 a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥α，a⊂β， α∩β＝b
从而点 C 到平面 C1DE 的距离为41717.
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[命题角度 2] 用线面平行证明线线平行 2．如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩 形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面．
(1)求证：EA⊥EC； (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. 求证：EF∥AB.
a∥b
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2.面面平行的判定与性质
判定
定义
定理
性质
图形
条件 α∩β＝∅ 结论 α∥β
a⊂β，b⊂β， α∥β，α∩γ
a∩b＝P，a∥ ＝a，β∩γ＝b
α，b∥α
α∥β
a∥b
α∥β，a⊂β a∥α
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1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面．
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[证明] (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，则 GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别为 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
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(2)过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H， 由已知可得 DE⊥BC，DE⊥C1C，所以 DE⊥平面 C1CE，故 DE ⊥CH，
从而 CH⊥平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离．
由已知可得 CE＝1，C1C＝4，所以 C1E＝ 17，故 CH＝41717，
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跟踪训练 (2020·桂林、贺州、崇左二联)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
平面 PAC⊥平面 ABCD，且 PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形 ABCD 满 足 BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点 E，F 分别为侧棱 PB，PC 上 的点，且PPEB＝PPCF＝λ(λ≠0)．
解析：D [根据线面平行的判定与性质定理知，选 D.]
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2．下列命题中，正确的是( ) A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 a∥α，b⊂α，则 a∥b C．若 a∥α，b∥α，则 a∥b D．若 a∥b，b∥α，a⊄α，则 a∥α
解析：D [A 中还有可能 a⊂α，B 中还有可能 a 与 b 异面，C 中还有可能 a 与 b 相交或异面，只有选项 D 正确．]
4．若直线 a∩b＝A，a∥平面 α，则 b 与 α 的位置关系是 ________ .
解析：因为 a∥α，∴a 与平面 α 没有公共点，若 b⊂α，则 A∈α， 又 A∈α，此种情况不可能．∴b∥α 或 b 与 α 相交．
答案：b∥α 或 b 与 α 相交
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(1)求证：EF∥平面 PAD； (2)当 λ＝12时，求点 D 到平面 AFB 的距离． [思维导引] (1)由PPEB＝PPCF，得 EF∥BC，由 BC∥AD，得 EF∥ AD，即可证得 EF∥平面 PAD；(2)根据等体积法求点到平面的距离．
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2．已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列 命题正确的是( )
A．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不．平．行． ，则在 α 内不．存．在． 与 β 平行的直线 D．若 m，n 不．平．行． ，则 m 与 n 不．可．能． 垂直于同一平面
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[小题查验] 1．下列命题中正确的是( ) A．若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何 平面 B．若直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α
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∵平面 PAC⊥平面 ABCD，且平面 PAC∩平面 ABCD＝AC，PA ⊥AC，
∴PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC.又 AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥ AB，
∴BC⊥平面
PAB，∴BC⊥PB，∴在
Rt△PBC
中，EF＝12PC＝
6 2.
连接 BD，DF，设点 D 到平面 AFB 的距离为 d，
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考点三 面面平行的判定与性质(师生共研) [典例] 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分 别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
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解析：D [A 项，α，β 可能相交，故错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m⊂ α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误；D 项，假设 m，n 垂直于同 一平面，则必有 m∥n，∴原命题正确，故 D 项正确．]
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3．(2016·全国Ⅱ卷)α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，有下 列四个命题：
①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β. ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. ③如果 α∥β，m⊂α，那么 m∥β. ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相 等． 其中正确的命题有 ________ (填写所有正确命题的编号)．
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(2)∵CD∥AB，AB⊂平面 ABE. ∴CD∥平面 ABE. 又∵平面 CDE∩平面 ABE＝EF.∴CD∥EF. 又∵CD∥AB.∴EF∥AB.
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判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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(1)证明：MN∥平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离．
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解： (1)证明：连结 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中 点，所以 ME∥B1C，且 ME＝12B1C，又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND＝12A1D.
△BDD1 的中位线，则 BD1∥EO，
而 BD1⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE，
所以 BD1∥平面 ACE.
答案：平行
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考点一 平行关系的基本问题(自主练透) [题组集训]
1．设 m，n 是不同的直线，α，β 是不同的平面，且 m，n⊂α， 则“α∥β”是“m∥β 且 n∥β”的( )
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在等腰三角形 BAF 中，BF＝AF＝ 26，AB＝1，
∴S△ABF＝ 45， 又 S△ABD＝1，点 F 到平面 ABD 的距离为 1，
∴由 VF－ABD＝VD－AFB，得13×1×1＝13×d× 45，
解得
d＝4
5
5，即点
D
到平面
AFB
的距离为4 5
5 .
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解析：D [对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误； 对 B，直线 m 与 n 可能平行，也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的两直线平行， 故选 D.]
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：A [若 m，n⊂α，α∥β，则 m∥β 且 n∥β；反之若 m，n ⊂α，m∥β 且 n∥β，则 α 与 β 相交或平行，即“α∥β”是“m∥β 且 n∥β”的充分不必要条件．]
2．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相 平行． 6．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条直线，那么这两个平面平行．
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(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行．(
)
(4)若两个 平面平 行， 则一个 平面 内的直 线与 另一个 平面 平
行．( )
(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平
行或异面．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
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证明：(1)∵E 是半圆上异于 A，B 的点， ∴AE⊥EB. 又∵平面 ABCD⊥平面 ABE， 平面 ABCD∩平面 ABE＝AB，CB⊥AB， ∴CB⊥平面 ABE. 又∵AE⊂平面 ABE，∴CB⊥AE. ∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面 CBE. 又∵EC⊂平面 CBE.∴AE⊥EC.
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解：(1)∵PPEB＝PPCF＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC. ∵BC∥AD，∴EF∥AD. 又 EF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD. (2)∵λ＝12，∴F 是 PC 的中点，在 Rt△PAC 中， PA＝2，AC＝ 2，∴PC＝ PA2＋AC2＝ 6， ∴PF＝12PC＝ 26.
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考点二 线面平行的判定与性质(多维探究) [命题角度 1] 用线线平行证明线面平行 1．(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是 菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1， A1D 的中点．
5．[教材改编]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为 ______ .
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解析：连接 BD，设 BD∩AC＝O，连接 EO，
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在△BDD1 中，E 为 DD1 的中点，O 为 BD 的中点，所以 EO 为