2022高三总复习数学 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用(含解析)

函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用

A 级——基础达标

1．(2021·黄冈中学高三模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π

6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦

⎤0，π

2上的最小值为( ) A ．－32

B ．－12

C ．1

2

D ．

32

解析：选A 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π

6个单位长度得到y ＝

sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π

3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－3

2

.

2．(2021·福州市适应性考试)在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，h (x )＝cos ⎝⎛⎭

⎫x －π

7的部分图象如图所示，则( )

A ．a 为f (x )的图象，b 为g (x )的图象，c 为h (x )的图象

B ．a 为h (x )的图象，b 为f (x )的图象，c 为g (x )的图象

C ．a 为g (x )的图象，b 为f (x )的图象，c 为h (x )的图象

D ．a 为h (x )的图象，b 为g (x )的图象，c 为f (x )的图象

解析：选A f (x )，g (x )，h (x )的最大值分别为2，1,1，由于图象a 的最大值最大，故a 为f (x )的图象；g (x )，h (x )的最小正周期分别为π，2π，图象b 的最小正周期比c 小，故b 为g (x )的图象，c 为h (x )的图象．故选A ．

3．(多选)(2021·哈尔滨市高考模拟)将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π

3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )具有以下哪些性质( )

A ．最大值为3，图象关于直线x ＝－π

3对称

B ．图象关于y 轴对称

C ．最小正周期为π

D ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称

解析：选BCD 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π

3个单位长度， 得到y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π

3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象．

对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝－π3时，g (x )＝3

2，不是最值，故g (x )的

图象不关于直线x ＝－π

3

对称，故A 错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为

2π

2

＝π，故C 正确； 当x ＝π

4

时，g (x )＝0，故函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称，故D 正确． 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，写出一个满足要求的函数f (x )的解析式 ．

解析：函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，则5π6－π6＝kT 2，k ∈Z ， 不妨设k ＝1，则5π6－π6＝T

2，

解得T ＝

4π3，所以ω＝2πT ＝32

， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫3

2x ＋φ， 由f ⎝⎛⎭⎫π6＝0可得32×π

6＋φ＝k π，k ∈Z ， 不妨取k ＝1，代入可得φ＝3π

4

， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32

x ＋3π

4. 答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32

x ＋3π

4(答案不唯一)

5．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π

3，则为了得到曲线C 1，首先要把C 2上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移 个单位长度．(本题所填数字要求为正数)

解析：因为曲线C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2·12

x ＋2π3－π6， 所以先将C 2上各点的横坐标变为原来的1ω＝1

12＝2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y

＝sin ⎝⎛⎭⎫2·12x ＋2π3向右平移π

6

个单位长度． 答案：2

π

6

6．(2021·福州市适应性考试)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝－2，则|x 1

－x 2|的最小值为 ．

解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故g (x )的周期为π，且g (x )max ＝2，g (x )min ＝－ 2.因为g (x 1)g (x 2)＝－2，所以g (x 1)＝－g (x 2)＝2，或g (x 1)＝－g (x 2)＝－2，所以|x 1－x 2|＝π2＋k π，k ∈N ，所以|x 1－x 2|min ＝π

2

.

答案：π

2

7．(2021·长沙一模)若f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＞0)的图象关于直线x ＝

π

12

对称，且当φ取最小值时，存在x 0∈⎝⎛⎭

⎫0，π

2，使得f (x 0)＝a ，则a 的取值范围是 ． 解析：∵函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＞0)的图象关于直线x ＝π12对称，∴π6＋φ＝k π＋π

2(k ∈

Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又φ＞0，∴当φ取最小值时，φ＝π

3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.∵x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2x 0＋π3∈⎝⎛⎭

⎫

π3，4π3，∴－3＜f (x 0)≤2，即a 的取值范围是(]

－3，2. 答案：(]－3，2

8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π

12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭

⎫π

3，5.