2 汇交力系

几何法 直接图解法
按比例换算得之
定量
间接图解法
利用三角形公式计算得之
定性
几何法解题的主要步骤如下：
1、根据题意合理选取研究对象，并画出其简图。
2、画受力图。 3、作力多边形或力三角形。 4、求出未知量。 （1）直接图解法：按比例作封闭力多边形，直接量 出所求的未知量（大小和方向）。 （2）间接图解法：定性作封闭的力多边形，由图形 几何关系利用三角形求出未知量。 作封闭力多边形时，力的平移（其方向不变），但作 图顺序由已知力到未知力进行，但最终结果与顺序无关， 根据失序规则，可以确定未知力的方向。
（2-10）
由式（2-10），得合力矢的大小及方向余弦为
FR FR FR
2 x
F F F
2 2 R x R y R z 2 2 y z
2
F F F
cos FR , i FR x FR FR y FR FR z FR F FR F y FR F z FR
2.3.1.1 直接投影法 已知F与坐标轴正向的夹角分别为、、 ， 则
Fx Fco s Fy F cos F F cos z
（2-4）
Fx F i Fy F j F F k z
（2-5）
力在某一轴上的投影，等于该力与沿该轴方向的单 位矢量之标积。
2.1.2 力的多边形规则
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称 为力多边形（Force polygon） 。
F2
b F3 c F4 d a F1 o FR FR F4 F3 F1
F2
对空间汇交力系，仍可接上述确定力的多边形， 且主矢仍由式（2-1）确定。但空间汇交力系的力多 边形是空间折线多边形。给实际作图带来困难。
x
（2-11 ）
cos FR , j cos FR , k
（2-12）
例2-2 如图所示平面汇交力系，已知： F1 20kN F2 30kN
F3 10kN F4 25kN 试求汇交力系的合力矢。
解 (1)求合力矢FR在坐标轴上的投影：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 10 3 15 5 2 12.5 2 12.93 kN
FRx F1 cos 60 F2 cos 30 F3 cos 45 F4 cos 45 10 15 3 5 2 12.5 2 11.23kN
F2 60 O 45 F3 y FR F1 x F4
30º 45
(2)求合力矢FR的大小及方向余弦
FR 12.93 11.23 17.13 kN 12.93 cos FR , i 0.75 17.13 11.23 cos FR , j 0.66 17.13 FR , i 40.99 合力矢F上的投影 F x 、F y 、F z ， 则可求得力F 的大小及方向余弦为
F Fx2 Fy2 Fz2
Fy Fx Fz cos , cos , cos F F F
（2-8） （2-9）
2.3.2 汇交力系合成的解析法
设刚体上作用有汇交力系F1、F2、…、Fn 。在刚体 上n个力的汇交点处建立标准正交坐标系{ 0；i、j、k }。 则力矢F1、F2、…、Fn可表示为
2.2 汇交力系平衡的几何法 设刚体上作用n个作用线汇交与同一点的汇交力系 F1、F2、…、Fn，则该刚体平衡的必要与充分条件为 合力矢等于零矢量。
FR F1 Fn F 0
（2-2）
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件：
力多边形自行封闭。
求解平面汇交力系平衡问题的方法： 解析法（下一节详述）
B
F1 F 1 L
C F3 F2
2
y
F 0
z
F2 cos 45 F3 cos cos 45 0
0

3
K y
F1 cos 45 F2 cos 45 F3 sin F 0
G
x
H
z A D C F3 F2 2
其中
2 cos 3
sin 1 3
B F1 F 1 L
2 汇交力系
2.1 汇交力系合成的几何法 2.1.1 合成的几何法
F1
A
F2 b F3 c
a FR1 FR2
F1
o FR d
F2
FR F3
F4
F4
FR = F1 + F2 + F3 + F4
FR F1 Fn Fi F
i 1 n
（2-1）
汇交力系一般可合成为一合力，合力的作用线通 过力系的汇交点，合力矢FR等于力系各力的矢量和。
例2-3 如图所示简易起重设备，重力G = 20 kN的重 物吊在钢丝绳一端，钢丝绳另一端绕过定滑轮A接在绞 车D上。A、B、C处为铰链连接。不计滑轮和各杆重力。 试求重物匀速提升时，杆AB、AC作用于滑轮上的力。
B
30º 30º
A FAB A
FT2 FT1
C
G
D
FAC
解：取滑轮作为研究对象，作其受力图。
对于平面汇交力系，可取力系作用面为坐标平面 Oxy，则 Fz 0 有意义的平衡方程只有两个，即
F F
x y
0 0
（2-14）
平衡方程式（2-13）虽然是在直角坐标系下推导 的，但在实际应用中，三根投影轴并不限定必须相互 垂直，只要三个投影轴既不共面，又不相互平行即可。 根据这一原则，可恰当选取投影轴，以简化计算。
例2-1 如图所示托架。A为铰链，B、C为固定铰支 座，在托架的C处作用有力F，F = 10 kN，不计各杆重。 试求AB、AC杆所受的力。 B A
FB
30
o
B
30
o
A
FC
C
F
F C
a F b
FB
FC
30
o
c
解：
(1) 取整个托架作为研究对象。 (2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出闭合力三角形。 (4) 解出：FC 2F 20 kN, FB 3F 17.3kN。
2 2
FR , j 49.01
2.3.3 汇交力系平衡的解析法 设在刚体上作用汇交力系F1，F2，…，Fn，则由式 （2-2）汇交力系平衡的必要与充分条件 FR 0 及式（2-11）得
F F F
x y
z
0 0 0
（2-13）
汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标轴上的投影的代数和均为零。
2.3 汇交力系合成与平衡的解析法 2.3.1 力在坐标轴上的投影 按照矢量的运算规则，可将一个力矢分解成两个或 两个以上的分力。最常用的是将一个力分解成为沿直角 坐标轴x、y、z的三个分力。
F Fx i Fy j Fz k
（2-3）
i、j、k是沿坐标轴正向的单位 矢量， Fx、Fy、Fz分别是力F在x、y、 z轴上的投影。
FAB 54.64 kN
（与假设相反）
例 2-4 杆系由球形铰链连接，位于正方体的对角线上， 如图所示。在节点B沿 BG边铅直向下作用力F。如球形铰 链H、K和L固定，杆重不计，求各杆的内力。 解 ： 取节点B为研究对象，作受力图 列平衡方程有
z A D
F
F
x
0
F1 cos 45 F3 cos cos 45 0
2.3.1.2 二次投影法 若已知的是力F与坐标轴z的夹角为j ，以及力F 在平行于xy平面上的投影F′与x轴正向的夹角q 。 则力F在坐标轴上的投影为
Fx F cos q F sin j cos q Fy F sin q F sin j sin q Fz F cos j
y
建立坐标系Axy，列平衡方程有
Fy 0 F
x
FAB FAC
FT2
A
FT1
x
0
FT1 FT 2 cos30o FAC cos60o 0
（1） （2 ）
FT 2 cos60o FAB FAC cos30o 0
联解式（1）、式（2）得
FAC 74.64 kN

3
K y
G
x
H
联解上面三式，得
（拉力） （压力） F3 3F F1 F2 2F
F1 F1 x i F1 y j F1 z k Fn Fn x i Fn y j Fn z k
由式（2-1）可得汇交力系的合力矢为
FR ( F1 x Fn x ) i ( F1 y Fn y ) j ( F1 z Fn z )k = ( Fx ) i + ( Fy ) j ( Fz )k FR x i FR y j FRz k