福建高一数学竞赛试题

2015年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合{}13A xx x N =-<∈，的子集有（ ）A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个 【答案】 C【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。

∴ A 的子集有4216=个。

2．若直线2l 与直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．1B ．23 C ．12 D ．14【答案】 D【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。

又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。

∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为1122y x =+。

∴ 2l 与坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 与坐标轴围成的三角形的面积为14。

3．给出下列四个判断：（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交。

（2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。

（3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。

（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α⊂。

其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。

对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时与a ，b 都相交。

4．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -，E 为CD 中点，则二面角1E AB B --的正切值为（ ）A ．1 B． CD．【答案】 D【解答】如图，作EF AB ⊥于F ，作1FO AB ⊥于O ，连结OE 。

由1111ABCD A BC D -为正方体，知11EF ABB A ⊥面，1EF AB ⊥。

又1AB OF ⊥。

因此，1AB OEF ⊥面，1OE AB ⊥。

∴ EOF ∠为面角1E AB B --的平面角。

设正方体棱长为a ，则EF a =，114OF A B ==。

∴tan EFEOF OF∠== 5．已知ABC △为等腰直角三角形，CA CB =，4AB =，O 为AB 中点，动点P 满足条件：2POPA PB =⋅，则线段CP 长的最小值为（ ）A． B ．2 CD ．4 【答案】 B【解答】以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系。

则(20)A -，、(20)B ，、(02)C ，。

设()P x y ，，由2PO PA PB =⋅，知22x y +=∴ 2222222()(44)(44)x y x y x x y x +=+++++-，即222222222()()8()1616x y x y x y x +=++++-，化简，得222x y -=。

∴ 222222(2)2442(1)4CPx y y y y y =+-=++-+=-+。

∴ 1y =时，CP 有最小值2。

此时，(1)P 。

6．记e a e =，b ππ=，c e π=，e d π=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a d c b <<< B ．a c d b <<< C ．b a d c <<< D ．b c d a <<<（必要时，可以利用函数()ln f x e x x =-在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数） 【答案】 A【解答】ln c π=，ln ln d e π=。

设()ln f x e x x =-，由()f x 在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，第4题 图第4题答题图得()()f f e π<，于是()ln ()ln 0f e f e e e e πππ=-<=-=。

∴ ln e ππ<，即ln ln d c <，于是d c <，e e ππ<。

又显然，e e a e d π=<=，c e b πππ=<=。

于是，a d c b <<<。

二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2x f x g x x +=+，则(1)f = 。

【答案】34【解答】依题意，有(1)(1)213f g +=+= ………… ①，13(1)(1)122f g -+-=+=。

由()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，得3(1)(1)2f g -+=。

… ② ①-②，得32(1)32f =-，3(1)4f =。

8．已知直线l ：10x By ++=的倾斜角为α，若45120α︒<<︒，则B 的取值范围为 。

【答案】 (13-，【解答】当90α=︒时，0B =；当4590α︒<<︒时，11B->，解得10B -<<；当90120α︒<<︒时，1B -<03B <<。

∴ B 的取值范围为(1)3-，。

9．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为 。

【答案】7【解答】如图，作PO ABC ⊥面于O ，则PCO ∠就是PC 与平面ABC 所成的角。

∵ PA PB ⊥，PA PC ⊥， ∴ PA PBC ⊥面。

设PA PB PC a ===，则第9题 图231133P ABC A PBC PBC V V PA S a --==⨯⨯=⨯=△。

又212ABC S a =⨯=△，213P ABC ABC V PO S PO -=⨯⨯=⨯△。

∴PO =，sin 7PO PCO PC ∠===或求出ABC △外接圆半径OC 后，再求解。

10．函数()f x =的最小值为 。

【答案】【解答】 由2223060x x x x ⎧--≥⎪⎨+-≥⎪⎩，知1332x x x x ≤-≥⎧⎨≤-≥⎩或或，3x ≤-或3x ≥。

∴ ()f x 的定义域为(][)33-∞-⋃+∞，，。

∵1y =2y =在(]3-∞-，上都是减函数，在[)3+∞，上都是增函数。

∴()f x =(]3-∞-，上是减函数，在[)3+∞，上是增函数。

∴ ()f x 的最小值是(3)f -与(3)f 中较小者。

∵(3)f -=(3)f = ∴ ()f x11．已知函数254x x y a a =+-（0a >，且1a ≠）在区间[]11-，上的最小值为54-，则254x x y a a =+-在区间[]11-，上的最大值为 。

【答案】 10【解答】设x t a =，则2254154()24x x y a a t =+-=+-在52⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上为增函数。

01a <<时，1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2541()24y t =+-在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数。

∴ 2min 5415()244y a =+-=-，12a =。

2max 541(2)1024y =+-=。

1a >时，1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2541()24y t =+-在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数。

第9题答题图∴ 2min 15415()244y a =+-=-，2a =。

2max 541(2)1024y =+-=。

12．若实数x ，y 满足条件：222304936x y x y ->⎧⎨-=⎩，则2x y -的最小值为 。

【答案】 【解答】由条件知，230x y ->，230x y +>，因此，23x y >，0x >。

由对称性，不妨设0y ≥，则22x y x y -=-。

设2x y t -=，代入224936x y -=，消x 并整理，得2282360y ty t -+-=。

………… ①由①的判别式22432(36)0t t =--≥△，得t ≤-或t ≥。

由23x y y >≥知，20t x y =->，t ≥。

又t =2840y -+=，得y =，此时x =，符合230x y ->。

∴ t 的最小值为2x y -的最小值为三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．在ABC △中，已知点(21)A ，，(28)B -，，且它的内切圆的方程为224x y +=，求点C 的坐标。

【答案】易知直线AB 于圆O 相切，直线AC 、BC 的斜率存在。

设直线AC 的方程为11(2)y k x -=-，即11120k x y k -+-=。

由直线AC 与圆O2=，解得134k =-。

∴ 直线AC 的方程为34100x y +-=。

……………………… 8分 设直线BC 的方程为28(2)y k x +=-，即22280k x y k ---=。

由直线BC 与圆O2=，解得2158k =-。

∴ 直线BC 的方程为158340x y ++=。

…………………… 12分由34100158340x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得67x y =-⎧⎨=⎩。

∴ 点C 的坐标为(67)-，。

………………………… 16分14．已知2()f x x bx c =++（b ，c R ∈，0b >），且对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立。

（1）求证：c b ≥；（2）若当c b ≠时，不等式22()()()M c b f c f b -≥-对满足条件的b ，c 恒成立，求M 的最小值。

【答案】（1）∵ 对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立，∴ 对任意实数x ，22x bx c x b ++≥+，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立。

∴ 2(2)4()0b c b ---≤△＝，即2440b c -+≤。

………………… 4分 ∴ 2444c b b ≥+≥，c b ≥。

……………………… 8分 （2）由c b ≠以及（1）知，0c b >>。

∴ 22()()()M c b f c f b -≥-恒成立，等价于22()()f c f b M c b -≥-恒成立。