吉林省吉林市第一中学2024届高三 数学适应性试卷(二)【含答案】

2024年吉林一中高考数学适应性试卷（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2
120A x x x =--<，(){}
2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（
）
A ．{}34x x -<≤
B ．{}34x x -≤<
C ．{}4x x ≥
D ．{}
45x x ≤<2．佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，形成一个统一的整体，气势恢宏，底面直径为8m ，高为30m ，则该建筑的侧面积为（
）
A ．
2
160m πB ．2C ．2D ．2
240m π3．已知2n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（
）
A ．24
B ．18
C ．12
D ．6
4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，“cos cos a B b A =”是“A B =”（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）
A ．0.96
B ．0.94
C ．0.79
D ．0.75
6．已知函数()f x 的定义域为(),0∞-，其导函数()f x '满足()()20xf x f x '->，则不等式
()()()2
2024202410f x x f +-+-<的解集为（
）
A ．()2025,2024--
B ．()2024,0-
C ．()
,2024∞--D ．()
,2025-∞-7．已知ϕ
为第一象限角，若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+，则π
3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（
）
A ．
1354
-B ．
1354
+C ．
3354
-D ．
3354
+8．在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面PBC ，ABC 和PBC 都是边长为
角形，若M 为三棱锥-P ABC 外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为（）
A
B C
1
D 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数12,z z 满足：1z 为纯虚数，22124z z -=-，则下列结论正确的是（）
A ．2
211
z z =-B ．237
z ≤≤C ．12z z -的最小值为3D ．123i z z -+的最小值为3
10．已知π
02
αβ<<<，且tan ,tan αβ是方程2211010x x -+=的两根，下列选项中正确的是（
）
A ．()1tan 2
αβ+=
B ．
()()
sin 6cos 11
αβαβ+=
-C ．()4tan 11αβ-=-
D ．π
24αβ+=
11．设三个向量123,,e e e 不共面，那么对任意一个空间向量a
，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，
使得：123a xe ye ze =++
成立．我们把{}
123,e e e 叫做基底，把有序实数组(,,)x y z 叫做基底
{
}
123,,e e e 下向量a
的斜坐标．已知三棱锥
πππ,,,,2,1432
P ABC PAB PAC BAC PA AB AC -∠=
∠=∠====．以A 为坐标原点，以AB 为x 轴正方向，以AC 为y 轴正方向，以AP
为z 轴正方向，以,,AB AC AP 同方向上的单位向量
123,,e e e
为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（
）
A ．(1,0,2)
BP =-
B ．PB
C 的重心坐标为112,,333G ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C ．若(1,1,1)Q ，则AQ BC
⊥D ．异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为
．
13．已知点(1,)A m
，(1,)B m ，
若圆22 :20++=C x y x 上有且只有一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的一个取值为
.（写出满足条件的一个即可）14．在ABC 中，点O 满足0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+>
（），且AO 所在直线交边BC 于
点D ，有||||||||BD AB DC AC = ，6CA CB -= ，2CA CB -= ，则||
BO BA
BA ⋅
的值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知01a <<，函数e ()(0)x a
a f x x x
-=≠.
(1)求()f x 的单调区间.
(2)讨论方程()f x a =的根的个数.
16．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，CD //AB ，∠ABC =90°，AB =2BC =2CD =4，侧面PAD ⊥面ABCD ，PA =PD
=2.
(1)求证：BD ⊥PA ；
(2)已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P -DC -N 的余弦值为1
3
？若存在，请确定N 点位置，若不存在，请说明理由.17．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3
人做问卷调查.已知某单位有N 名员工，其中
2
5是男性，35
是女性.(1)当20N =时，求出3人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N 名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作1P ；有二项分布中（即男性员工的人数235X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
,）男性员工恰有2人
的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
24.04≈）
18．如图，已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2
，点⎫⎪⎝⎭
在C 上，A ，B 为双曲线的左、右顶点，P 为右支上的动点，直线AP 和直线x ＝1交于点N ，直线NB 交C 的右支于点Q
．
(1)求C 的方程；
(2)探究直线PQ 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；(3)设S 1，S 2分别为△ABN 和△NPQ
19．数列{}n a 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{}1n n a a +-称为{}n a 的一阶
差数列，记为(){}1
n a ，依此类推，(){}
1
n a 的一阶差数列称为{}n a 的二阶差数列，记为(
){}2
n
a ，
…．如果一个数列{}n a 的p 阶差数列(){}p
n
a 是等比数列，则称数列{}n
a 为p 阶等比数列()*
p ∈N ．
(1)已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．
（ⅰ）求()1
1a ，()1
2a ，()
1
3a ；
（ⅱ）证明：{}n a 是一阶等比数列；
(2)已知数列{}n b 为二阶等比数列，其前5项分别为203778215
1,,,,9999
，求n b 及满足n b 为整数的所有n 值．1．D
【分析】分别解二次不等式，对数不等式化简集合A ，B ，后由补集，交集定义可得答案.【详解】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．C
【分析】根据已知条件求得圆锥的母线长，进而直接根据圆锥侧面积公式求解即可.【详解】如图，由题底面直径8m AB =，高30m AO =，
所以底面半径4m r OC ==r ＝OC ＝4，母线长l AB ===．
所以圆锥的侧面积为：2πrl =．故选：C ．3．A
【分析】首先根据题意求得n ，然后结合二项式定理即可求解.
【详解】已知2n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能
()2314n =⨯-=，
从而2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为()4421442C C 20,1,2,3,4,5r
r r r r r
r T x x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，令420r -=，解得2r =，
所以展开式中的常数项为22
4C 224=.
故选：A.4．C
【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.【详解】当cos cos a B b A =，根据正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，显然A ，π
2
B ≠，则tan tan A B =，因为A ，B 为三角形内角，则A B =,则充分性成立；当A B =，因为A ，B 为三角形内角，则不会存在π2A B ==
的情况，则A ，π2
B ≠，则tan tan A B =，则sin cos sin cos A B B A =，根据正弦定理则cos cos a B b A =，故必要性成立；
则“cos cos a B b A =”是“A B =”的充分必要条件.故选：C ．5．B
【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200
988.412008001200800
⨯+⨯=++（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
22
80012001(98.4)0.5(88.4)0.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣
⎦⎣⎦++．故选：B ．6．A
【分析】令()()
2f x g x x
=
，求导可得()g x 在(),0∞-上单调递减，由已知可得()
()
()
2
2
20241(1)2024f x f x +-<
-+，可得()()20241g x g +<-，可得不等式的解集.【详解】由题意知，当(),0x ∈-∞时，()()20xf x f x '->，
令()()2f x g x x =，则()()()()()243
220x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==<，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，
不等式()()2
2024(2024)10f x x f +-+-<等价于
()
()
()
2
2
20241(1)2024f x f x +-<
-+，即为()()20241g x g +<-，所以20241
20240x x +>-⎧⎨+<⎩
，解得20252024x -<<-.
故选：A.7．D
【分析】利用三角恒等变换整理得()()f x x α=+，结合最值可得
1cos 4ϕ=
，15
sin 4
ϕ=，代入即可得结果.【详解】由题意可得：()()2cos cos 2cos cos 2sin sin cos f x x x x x x
ϕϕϕ=-+=++
()()2sin sin 2cos 1cos sin x x x ϕϕα=+++，
1
cos 4
ϕ=，
且ϕ为第一象限角，则sin ϕ=，
故πππ12cos cos cos 3332f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=-+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D.8．D
【分析】设BC 中点为T ，ABC 的外心为1O ，PBC 的外心为2O ，过点1O 作平面ABC 的垂线，过点2O 作平面PBC 的垂线，两条垂线的交点O ，则点O 即为三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出三棱锥-P ABC 外接球的半径，假设球心到平面ABC 的距离得答案．【详解】解：设BC 中点为T ，ABC 的外心为1O ，PBC 的外心为2O ，过点1O 作平面ABC 的垂线，过点2O 作平面PBC 的垂线，两条垂线的交点O ，则点O 即为三棱锥-P ABC 外接球的球心，
因为ABC 和PBC 都是边长为3PT AT ==，
因为平面PBC ⊥平面ABC ，AT BC ⊥，AT ⊂平面ABC ，平面PBC ⋂平面ABC BC =，所以AT ⊥平面PBC ，又PT ⊂平面PBC ，所以AT PT ⊥，
又121
13
TO TO AT ==
=，所以四边形12OO TO 是边长为1的正方形，
所以外接球半径R OP ==，
所以M 到平面ABC 的距离11d R OO +=≤，
即点M 到平面ABC 1.故选：D.
9．ABD
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A ；借助复数的几何意义计算可得B ；借助圆与直线的距离可得C 、D.
【详解】对A ：1z 为纯虚数，∴可设()2
22111i 0,,z b b z b z =≠∴=-=-∴选项A 正确；对B ：设()2i ,R z m n m n =+∈，22124z z -=- ，则()()2
2
221444m n m n -+=-+，即()2
254m n -+=，
则2z 所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，237z ∴≤≤，∴选项B 正确；
对C ：1z 为纯虚数，1z ∴对应点在y 轴上（除去原点），
2z 所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，
12z z ∴-的取值范围为()3,+∞，12z z ∴-无最小值，选项C 错误；
对D ：()1223i 3i z z b z -+=+- ，
表示点()0,3b +到以()5,0为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，()()3i 0b b +≠ 为纯虚数或0，()0,3b +在y 轴上（除去点()0,3），
∴当3b =-时123i z z -+取得最小值3，∴选项D 正确.
故选：ABD ．10．AD
【分析】由方程解出tan ,tan αβ，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项.
【详解】tan ,tan αβ是方程2211010x x -+=的两根，又π
02
αβ<<<，解得11
tan ,tan 73
αβ=
=，()11tan tan 173tan 111tan tan 2
173αβαβαβ+
++===--⨯，A 选项正确；()()
sin sin cos cos sin tan tan 5
cos cos cos sin sin 1tan tan 11
αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=
==-++，B 选项错误；
()11tan tan 273tan 111tan tan 11
173αβαβαβ-
--===-++⨯，C 选项错误；π02αβ<<<
，()1tan 2
αβ+=，则π
02αβ<+<，有02παβ<+<，
()()()()11
tan tan 23tan 2tan 1
111tan tan 123
αββαβαββαββ+++⎡⎤+=++===⎣⎦-+-⨯
，π
24
αβ+=
，D 选项正确.故选：AD.11．AB
【分析】根据新定义判断A ，由新定义得出三点坐标，再由重心坐标公式判断B ，根据向量的数量积是否等于0判断C ，由向量的夹角公式判断D.
【详解】因为312BP AP AB e e =-=- ，所以(1,0,2)BP =-
，故A 正确；因为32AP e = ，12,AB e AC e ==
，所以(0,0,2),(1,0,0),(0,1,0)P B C ,
所以010001200,,333G ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即112,,333G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故B 正确；
因为123AQ e e e =++ ，21BC AC AB e e =-=-
，所以
()()
2212321212313ππ
·11cos cos 034
AQ BC e e e e e e e e e e e ⋅=++-=-+⋅-⋅=-+-≠ ，
所以AQ BC ⊥错误，故C 错误；
因为32AP e = ，21BC e e =-
，所以
()
32121ππ
1cos cos 22
342cos ,4
2e e e AP BC e e -⋅-=====- ，故面直线AP 与
BC D 错误.故选：AB
12．1,02⎡⎫-⎪
⎢⎣⎭
【分析】根据题意，设1t ax =+，则ln y t =，利用复合函数的单调性，可得1t ax =+在(1,2)上为减函数，且0t >恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设1t ax =+，则ln y t =，若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，利用复合函数的单调性，可得1t ax =+在(1,2)上为减函数且0t >恒成立，即0210
a a <⎧⎨+≥⎩，解得102a -≤<，即a 的取值范围为1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．
故答案为：1,02⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
．
132(答案不唯一)
【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及AB 的值，可得以AB 为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题知，圆22
:20++=C x y x ，即()2
211x y ++=，圆心为()1,0-，半径1r =，
设AB 中点为M ，因(1,)
A m ，(1,)-B
m ，则(M
，AB m =，
以AB 为直径的圆为(
)(
)22
21x y m -+=，因为圆22
:20++=C x y x 上有且只有一点P ，使得PA PB ⊥，则圆C 与圆M 相切，又
3
MC ==，
13m -+=
13m -=，
解得2m =
或4m =.
2
14．2
【分析】由题干条件得到点O 为ABC 的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案.
【详解】0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+> （），变形为0BA BO BC BA B B A C
λλλ-=+>- （），即(
)
BA BC BA BC BO BA BA BA BC BA BC λλλ⎛⎫ ⎪=-++=+ ⎪⎝⎭ ，其中BA BA 表示BA 方向上的单位向量，BC BC
表示BC 方向上的单位向量，故O 在ABC ∠的平分线上，
在ABD △中，由正弦定理得
sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠，因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，
故sin sin sin sin BD CAD AB ADC AB BAD CD ADB AC AC
∠∠⋅=⋅=∠∠，
因为||||||||
BD AB DC AC = ，所以sin sin CAD BAD ∠=∠，故CAD BAD ∠=∠，故AD 平分BAC ∠，
故点O 为ABC 的内心，
过点O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，作OG ⊥AC 于点G ，
则,,CF CG AE AG BE BF ===，因为2CA CB -= ，所以2AE BE -=，又6CA CB BA -== ，所以4,2AE BE ==，由向量数量积得
cos BO BA BO BA ABO ⋅=⋅∠ ，故2||
cos BO BA BA BO ABO BE ⋅=∠== .故答案为：2
【点睛】方法点睛：点O 为ABC 所在平面内的点，且0OA OB OC ++= ，则点O 为ABC 的
重心，
点O 为ABC 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅ ，则点O 为ABC 的垂心，
点O 为ABC 所在平面内的点，且OA OB OC == ，则点O 为ABC 的外心，
点O 为ABC 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++= ，则点O 为ABC 的内心.
15．(1)减区间为：(),0-∞，()0,1；增区间为：()1,+∞.
(2)0
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为()e x a
a f x x
-=（0x ≠）.所以：()()22
e x 1e ·e x a x a x a a a x a
f x x x ----='-=.由()0f x '>⇒1x >，又函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
所以函数在(),0-∞和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.
（2）因为01a <<，所以：当0x <时，()e 0x a
a f x x
-=<，方程()f x a =无解；当0x >，函数在()0,1上递减，在()1,+∞递增，
所以()()10min 1e a f x f a ae a -==>=，所以方程()f x a =无解.
综上可知：方程()f x a =的根的个数为0.
16．(1)证明见解析
(2)存在，N 为PM 的中点
【分析】（1）先证明AD ⊥BD ，PE ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面PAD ，从而BD ⊥PA ；（2）建立坐标系，用向量法求解即可
【详解】（1）取AD 的中点E ，连接PE ，
CD //AB ，90ABC ∠= ，
BC CD ∴⊥，
2BC CD == ，
45BD CBD ∠∴== ，
∴∠DBA =45°，
AD ∴==∴AD 2+BD 2=AB 2，
∴AD ⊥BD ，
∴PA =PD ，E 是AD 的中点，
∴PE ⊥AD
∵平面PAD ⊥半面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD =AD ，PE ⊂半面PAD ，PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，
BD ⊂Q 平面ABCD ，
∴PE ⊥BD
又,AD PE E AD ⋂=⊂平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，
∴BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD
∴BD ⊥PA .
（2）延长BC ，AD ，设BC 的延长线和AD 的延长线交点为M ，连接PM ，
则平面PAD 和平面PBC 的交线l 为直线PM ，
以B 为原点，以BM ､BA ､平面ABCD 的过点B 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B -xyz
，
则(2,0,0),(2,2,0),(4,0,0)P C D M
，
(0,2,0),(1,1,(3,3,CD PD PM ∴==-=- ，
设(3,3,)PN PM λλλ==- ，
则(31,13))DN PN PD λλλ=-=--- ，
设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =r ，则0CD ⋅= m ，0m PD ⋅=uuu r r ，
即1111200
y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩令11z =
可得m =r ，
设平面CDN 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0n CD ⋅= ，0n DN ⋅= ，
即222220(31)(13))0y x y z λλλ=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩
，
令2x
131n λλ-⎫=⎪-⎭ ，cos ,m n m n m n ⋅∴= 1321λ-+=若二面角P -DC -N 的余弦值13
，
13
=
解得：12λ=或34
λ=，令0m n ⋅=r r 可得13201λλ-+=-，解得35
λ=，故当305
λ<<时，二面角P -DC -N 为锐二面角，当315
λ<≤时，二面角P -DC -N 为钝二面角，12
λ∴=，即在直线l 上存在点N ，当N 为PM 的中点时，二面角P -DC -N 的余弦值为13.17．(1)分布列见解析，数学期望为6
5
(2)N 至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）当20N =时，男性员工有8人，女性员工有12人.
X 服从超几何分布，0,1,2,3X =，
()312320C 220110C 114057P X ====，()12812320C C 528441C 114095
P X ====，()21812320C C 336282C 114095P X ====，()38320C 56143C 1140285
P X ====，∴X 的分布列为X
0123P 11574495289514285
数学期望为()11442814601235795952855E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.（2）()()()()2123
55131232C C 111855551C 2512126
N N N N N N N N P N N N N N ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⋅----，2
2232336C 0.28855125P ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，
由于120.001P P -≤，则()()
211850.2880.0012512N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-≤--，即()()211828950.28925121000
N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅≤=--，即()()2128925289512100018720
N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⨯=--，
由题意易知()()120N N -->，从而()()27201289125N N N N ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭
，化简得21475780N N -+≥，
又0N >，于是578147N N
+
≥.由于函数578y x x =+
在24.04x =≈处有极小值，从而578y N N =+
当25N ≥时单调递增，又578142146.07147142+≈<，578143147.04147143
+≈>.因此当143N ≥时，符合题意，而又考虑到25N 和35
N 都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是145N =.即N 至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
18．(1)221412
x y -=(2)直线PQ 过定点（4，0）
，理由见解析(3)10,3⎛⎤ ⎝⎦
【分析】（1）因为离心率2c e a ==，将点43,23⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程得22164133a a -=，又222c a b =+，解得a ，b ，即可得出答案．
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为x my n =+，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得12y y +，12y y ，写出直线AP 的方程，进而可得N 点的坐标，又N ，B ，Q 三点共线，
则BQ NB k k =，解得n ，即可得出答案．
（3）设△ABN 和△NPQ 的外接圆半径分别为R 1，R 2，由正弦定理可得12||||2,2sin sin AB PQ R R ANB PNQ ==∠∠，又sin sin ANB PNQ ∠=∠，
12||||R AB R PQ ==，设直线PQ 的方程为4x my =+，与双曲线C 的方程，可得12y y +，12y y ，由韦达定理得m 的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案．
【详解】（1）因为离心率2c e a
=
=，所以222,3c a b a ==双曲线的方程为22
2213x y a a
-=，
将点⎫⎪⎝⎭代入双曲线方程得22164133a a -=，所以22241,4,12a b a
===，所以双曲线C 的方程为22
1412
x y -=．（2）直线PQ 过定点()4,0，理由如下：
设()()1122,,,P x y Q x y ，
直线PQ 的方程为x my n =+，联立22
1412x y x my n ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，
整理得()
2223163120m y mny n -++-=，则222221163120,,3131mn n y y y y m m -∆>+=-=--，直线11:(2)2
y AP y x x =++，所以1131,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，又N ，B ，Q 三点共线，
所以BQ NB k k =，即2121322
y y x x =--+，
即()()21122320y x y x ++-=，
即()()21122320y my n y my n ++++-=．
因为()()21212
3126n y y mny y -+=-，所以()()
2
12123126n y y my y n -+=-，
代入上式得()()()()1224420n n y n n y ----+=，所以4n =．所以PQ 过定点()4,0.
（3）设△ABN 和△NPQ 的外接圆半径分别为12,R R 由正弦定理可得12||||2,2sin sin AB PQ R R ANB PNQ
==∠∠，又sin sin ANB PNQ ∠=∠，所以21||||R AB R PQ =
12||||
R AB R PQ ==．设直线PQ 的方程为x ＝my +4，
与C 的方程联立2241412
x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()223124360m y my -++=，则1212222436,3131
m y y y y m m +=-=--，又21212310Δ000m x x x x ⎧-≠⎪>⎪⎨>⎪⎪+>⎩，即()()()()21212310Δ0440440m my my my my ⎧-≠⎪>⎪⎨++>⎪⎪+++>⎩
，解得2103
m ≤<，又因为2
21||1213m PQ m +=⋅-，
()()222134110,33131m m m -⎛⎤==-+∈ ⎥++⎝⎦
．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系，关键是利用
()()
212123126n y y my y n -+=-代换整理得直线过定点解决第2问.
19．(1)（ⅰ）()112a =，()124a =，()138a =；（ⅱ）证明见解析
(2)当()91,N n k k =+∈时，n b 为整数.
【分析】（1）（ⅰ）根据(){}
1n a 的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造()112n n n n a a a a +--=-即可证明；
（2）由题意{}n b 的二阶等差数列{}
(2)n b 为等比数列，设公比为q ，可得(2)1243n n b -=⨯，结合()11119b =进而可得(
)124127n n b n -=⨯-+，从而分析n b 为整数当且仅当14127n --为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.
【详解】（1）（ⅰ）由11a =，121n n a a +=+易得2343,7,15a a a ===，……由一阶等差数列的定义得：
()21112a a a =-=，()31224a a a =-=，()41
338a a a =-=.（ⅱ）因为121n n a a +=+，所以当2n ≥时有121n n a a --=，所以1122n n n n a a a a +--=-，即()112n n n n a a a a +--=-，
即()()1112,2n n a a n -=≥，又因为11a =，故(){}
1n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即{}n a 是一阶等比数列.
（2）由题意{}n b 的二阶等差数列{}
(2)n b 为等比数列，设公比为q ，则(2)123b =，4q =，所以(2)1243
n n b -=⨯.由题意()11
119b =，所以()()()()()()1111211111111124199n n k k k k k n n b b b b b --+=-===-⨯+=++∑∑，所以()()()
11111111214127n n k k k k k n n b b b n ---+==+-+=
==⨯-+∑∑，即()
124127n n b n -=⨯-+.所以n b 为整数当且仅当14127
n --为整数.由已知1n =时符合题意，2,3,4,5n =时不合题意，
当6n ≥时，()111223311111141131C 3C 3C 3C 3n n n
n n n n n ---------=+-=⨯+⨯+⨯+
+⨯ ，所以原题等价于12113C 9C 27
n n --+为整数，因为()()()()121131113413C 9C 271829
n n n n n n --⎡⎤-----+⎣⎦==⨯①，显然()311n --含质因子3，所以n 1-必为9的倍数，
设()19,N n k k -=∈，则91n k =+，将91n k =+代入①式，当k 为奇数时，()311n --为偶数，①式为2的倍数；当k 为偶数时，n 为奇数，n 1-为偶数，①式为2的倍数，又因为2与9互质，所以①为整数.
综上，当()91,N n k k =+∈时，n b 为整数.
【点睛】方法点睛：
（1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；（2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析.。