高斯小学奥数四年级下册含答案第12讲_直线形面积计算综合提高

第十二讲直线形面积计算综合提高
我们已经学过了基本直线形面积计算公式及其反求、等积变形、格点图形面积、割补法巧算面积等几何知识，本讲就是在之前学习的基础上，加强对基本公式、一些常见模型的掌握以及对画辅助线解决几何问题的过程深刻理解，并在此基础上学习勾股定理．
1. 面积计算公式
2. 常见模型
在计算一些不规则图形的面积时，往往需要利用一些技巧把不规则图形变成规则图形来求解．常用的技巧有割补和平移，在割补和平移的同时往往需要连辅助线，画辅助线巧妙的解决问题是几何学习中的重点、也是一大难点．
我们在之前学过的“等积变形”一讲中已经学习过了这一模块中的基本知识点，如下图所示：
上面两个图形中，阴影部分面积都是其所在平行四边形面积的一半．一些特殊的平行四边形（如长方形、正方形）中存在这样的基本模型．
A
D
三角形面积=底×高÷2
阴影部分面积是长方形面积的一半 阴影部分面积是长方形（平行四边形）面积的一半
正方形面积=对角线的平方÷2
阴影部分面积是大正方形面积的一半
2S ah =÷
三角形 2
S a =
22
S b =÷ 正方形 a 等腰直角三角形
22
=÷S a
24=÷S b
例题1
如图，正方形ABCD 面积为20，E 是BC 上任意一点，DF 与
AE 垂直．已知AE 长5，求DF 长度．
「分析」已知正方形面积，我们可以计算出哪一块图形的面积呢？
练习1
如图，长方形ABCD 的长BC 为15，AE =6，DF =10．那么AB 长多少？
例题2
如图，在长方形ABCD 中，三角形ADE 的面积为20平方厘米，三角形BEF 的面积为12平方厘米．求三角形CDF 的面积． 「分析」你能找出图中哪些图形面积是长方形的一半吗？哪些与题目所给的20、12以及△CDF 有关系呢？ 练习2
如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 两条边上的点．已知△AFM 面积为12，△BNF 面积为8，△CEN 面积为11．那么△DEM 的面积是多少？
12
8 11
A
B
C
D
E
F M
N
勾股定理
如右图所示的直角三角形ABC 中，∠A =90°，直角边AC 与直角边AB
长度的平方和等于斜边BC 长度的平方．即：
反之，若三角形三边符合上述等式，则此三角形为直角三角形，BC 为斜边． 勾股图与弦图
勾股图法：如上左图，小正方形内接于大正方形中，所截得的4个全等直角三角形的边长均已标出．大正方形的面积为()2
a b +，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积．
因此有：()
2
2224222
ab
a b a ab b ab c +-
=++-=，所以222c a b =+． 弦图法：如上右图，将大正方形分成4个全等的直角三角形和1个小正方形，各边长均已在图中标出．小正方形的面积加上4个全等的直角三角形的面积就等于大正方形的面积．
因此有：()2
2224222
ab
a b a ab b ab c -+
=-++=，所以222c a b =+．
a
a
b
C
B
例题3
（1）如右上图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知AB =5cm ，BC =12cm ，求AC 的长度．
（2）如右下图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知BC =40cm ，AC =50cm ，求AB 的长度．
「分析」直接应用勾股定理公式进行计算吧！注意：是2次方而不是乘2哦！
练习3
如图所示，其中AC 的长为12，BC 的长为16，BD 的长是15，那么AD 的长是多少？
例题4
如图，请根据所给出的条件，计算出大梯形的面积．（单位：厘米）
「分析」要求梯形面积，就必须知道梯形的高，好好思考一下，能根据直角三角形的两条直角边计算出梯形的高吗？梯形的高与直角三角形有什么关系呢？ 练习4
如图，请根据给出的数据，求出直角三角形的斜边上的高的长度．
A B
5
12
D
3 4
接下来我们看两道比较复杂的题目，要解决它们，我们需要灵活应用前面所学的模型与方法，有时甚至需要我们自己画辅助线构造如上模型． 例题5
如图，四边形ABCD 和AEFG 分别是长方形和正方形．已知正方形的边长是10，△DFG 的面积是18．求长方形ABCD 的面积．
「分析」你能从这个复杂的图中找出基本的“一半”关系吗？ 例题6
如图，四边形ABCD 各边的边长均已标在图中，其中∠A = 90°，求四边形ABCD 的面积．
「分析」有90°直角，能否应用勾股定理呢？这个图中有直角三角形吗？ 课堂内外
勾股定理
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五．既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五．两矩共长二十有五，是谓积矩．”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”．在公元前7至6
世纪一中国学者陈子，
24 C
曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．”
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”．在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
作业
1.如图，ABCD是长方形，EF与宽平行，GH与长平行，AB的长是8厘米，BC的长是6
厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米．？
2.如图，已知平行四边形面积为60平方厘米，那么长方形面积是多少平方厘米？
3.已知甲、乙从同一位置出发，甲往西走了5米，乙往南走了12米，这时甲、乙相距多
少米？
4. 如下图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，BC =5，AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长多
少？
5. 如图，已知大梯形的下底为35，根据图中给出的条件，请求出大梯形的面积．
C
B
N
M
A
第十二讲 直线形面积计算综合提高
1. 例题1
答案：3.2
详解：正方形边长为4，面积为16；三角形ADE 面积是正方形的一半，为8．三角形面积等于2AE DF ⨯÷，所以DF 长为825 3.2⨯÷=．
2. 例题2
答案：32平方厘米
详解：ADE BEF DEF ++面积和是长方形的一半；CDF DEF +面积和是长方形的一半；比较可得，CDF 面积恰好等于ADE 与BEF 面积和，为201232+=平方厘米． 3. 例题3
答案：13厘米；30厘米
详解：（1）222512AC +=，AC =13；（2）2224050AB +=，AB =30． 4. 例题4
答案：60平方厘米
详解：画如图虚线，原图中的直角三角形直角边分别是6、8，所以斜边是10，即梯形上底为10；梯形的高即为直角三角形的高，如图虚线，高为6810 4.8⨯÷=厘米；梯形面积为()1015 4.8260+⨯÷=平方厘米．
5. 例题5
答案：64
详解：
如图，连接DE ．首先，三角形ADE 与DFG 的面积和为正方形AEFG 的一半，等于50；其中DFG 面积为18，所以ADE 面积为32；而三角形ADE 面积为长方形ABCD 的一半，所以长方形面积为64．
E
6. 例题6
答案：96
详解：如图，连接BD ．ABD 中，BD 为10．BCD 中，三边分别为10、24、26，有222102426+=，所以BCD 为直角三角形．三角形BCD 面积为10242120⨯÷=，三角形ABD 面积为68224⨯÷=，所以ABCD 面积为1202496-=． 7. 练习1
答案：4
详解：三角形AED 面积为610230⨯÷=，则长方形面积为60，长为15，所以宽AB 为60154÷=.
8. 练习2
答案：9
详解：AMF BNF MENF ++面积和是长方形的一半；DME CNE MENF ++面积和是长方形的一半；比较可得，AMF BNF +面积恰好等于DME CNE +，所以DME 面积为128119+-=平方厘米．
9. 练习3
答案：25 简答：2221216AB +=，AB =20；2222015AD +=，AD =25．
10. 练习4
答案：2.4
简答：直角三角形直角边分别是3、4，所以斜边是5，高为345 2.4⨯÷=厘米．
11. 作业1
答案：24 简答：四个阴影三角形面积分别等于各自所在的长方形面积的一半，所以阴影部分总面积即为大长方形ABCD 的一半，为68224⨯÷=平方厘米．
12. 作业2
答案：60
简答：长方形和平行四边形面积都等于直角三角形的两倍，所以他们面积相等．
24 C
13.作业3
答案：13
简答：甲往西走了5米，乙往南走了12米，两个人的方向垂直，所以此时两人的距离即为两条直角边长分别为5和12的直角三角形的斜边长度，等于13．
14.作业4
答案：4
简答：AC=12，BC=5，所以斜边AB=13；AM=AC=12，所以BM=1；而BN=BC=5，所以514
=-=-=．
MN BN BM
15.作业5
答案：360
简答：直角三角形两条直角边分别是15、20，根据勾股定理可得斜边（即梯形上底）为25，因此斜边上的高（即梯形的高）为20152512
⨯÷=．而梯形面积为()
+⨯÷=．
2535122360。