广东省汕头市2008届高三统一模拟考试数学(理)试卷.doc

数学理科
本试卷分选择题和非选择题两部分；共6页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：略。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 。

锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是底面积，h 是高。

第I 卷 选择题（共40分）
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卡上。

） 1. 对于下列命题：
①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤，②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（ ）。

A. ① 假 ② 真
B. ① 真 ② 假
C. ① ② 都假
D. ① ② 都真
2. 条件语句
的一般格式是（ ）。

3. 复数(3)(2)i m i +-+
对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ）。

A. 23
m <
B. 1m <
C. 213m <<
D. 1m >
4. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随即调查了50
名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。

根据条形图可得这50名
学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）。

A. 0.6 小时
B. 0.9 小时
C. 1.0 小时
D. 1.5 小时
时间(小时)
5. 有一圆柱形容器，底面半径为10cm ，里面装有足够的水，水面高为12cm ，有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没，结果水面高为15cm ，若五棱锥的高为3πcm ，则五棱锥的底面积是（ ）。

A. 100π cm 2
B. 100 cm 2
C. 30π cm 2
D. 300 cm 2
6. 据新华社2006年5月18日报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆。

台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断。

某路边一树干被台风吹断后，折成与底面成45 角，树干也倾斜为与底面成75 角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树杆底部的距离是（ ）。

A.
米
B.
C.
米
D.
7. 某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（ ）。

A. 120
B. 98
C. 63
D. 56
8. 具有性质：1
()()f f x x
-=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函
数：
①1y x x =-，②1
y x x =+，③ y =
中满足“倒负”变换的函数是（ ）。

A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. 只有①
第II 卷 非选择题（共110分）
二、填空题（每小题5分，共30分，答案必要时用含π、e 、根式的式子表示，不得取近似值。

）
9. 设函数()x
f x e =，则1
()f x dx ⎰=_____________。

10. 函数2y a x =与y x a =+的图像恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是_____________。

11. 设双曲线的两个交点分别为1F 、2F ，过2F 作双曲线实轴所在直线的垂线交双曲线于点P ，若2122PF F F =，则双曲线的离心率是_____________。

12. 设P 是ABC ∆内一点，ABC ∆三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三边的距离
,(01)0,(1)1
,(1)x x x x x
<<=->
依次为a l 、b l 、c l ，则有
a b c
A B C
l l l h h h ++=__________________________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

选做题：以下13、14、15三题中选做两题。

13. (坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中，点A (1,)4
π
到直线sin 2ρθ=-的距离是_________________。

14. (不等式选讲选做题) 若不等式1
21x a x
+
>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。

15. (几何证明选讲选做题)
如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ， 若AD =1，30ABC ∠= ，则圆O 的面积是_________________。

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

）
16. （本小题满分12分）
已知：关于x 的函数2()2sin cos cos (12sin )sin (0)f x x x x ϕϕπϕ=+--<<。

(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期和值域； (Ⅱ) 若函数()f x 图像的一条对称轴是8
x π
=，求tan()3
π
ϕ+
的值。

17. （本小题满分12分）
己知：在[0,1]上连续且单调的函数()y f x =，满足(0)0,(1)0f f <>，方程
()0f x =的根等可能地为区间[0,1]内的任意一个实数。

在[0,1]内任取一个数c (记为一次实验)，那么c 将区间[0,1]分成[0,]c 和[0,]c 两部分。

(Ⅰ) 写出一次实验后保留区间[0, c ]的概率；
(Ⅱ) 写出一次实验且实验点为c 时所保留区间ξ的分布列；
(Ⅲ) 求一次实验且实验点为c 时保留的搜索区间的期望长度E ξ,求期望长度E ξ的最小值。

18. （本小题满分14分）
已知：四棱锥A-BCDE 底面BCDE 是菱形，∠EBC=600，AB ⊥平面BCDE ，AB=BD=2。

(Ⅰ) 求证：平面ACE ⊥平面ABD
(Ⅱ) 求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值。

19. （本小题满分14分）
已知：数列
{}n a 的前
n 项和为
n
S ，且满足
222113,2,0,2,3,4...n n n n S S n a a a n --==≠=。

(Ⅰ) 设1n n n C a a +=+，求1C 、2C ，并判断数列{}n C 是否为等差数列，说明理
B
C D
F
E A
由；
(Ⅱ) 求数列11{(1)}n n n a a ++-的前2k +1项的和21k T +。

20. （本小题满分14分）
已知：函数ln (0)
()ln()(0)x x x f x x x x >⎧=⎨-<⎩
(Ⅰ) 判断函数()f x 的奇偶性； (Ⅱ) 求()f x 的单调区间；
(Ⅲ) 若关于x 的方程()1kf x =恰有三个不同的根，求实数k 的取值范围。

21. （本小题满分14分）
已知：点P 是椭圆22
143
x y +
=上的动点，1F 、2F 是该椭圆的左、右焦点。

点Q 满足PQ 与1F P
是方向相同的响亮，又2PQ PF = 。

(Ⅰ) 求点Q 的轨迹C 的方程； (Ⅱ) 是否存在该椭圆的切线l ，使以l 被曲线C 截得的弦AB 为直径的圆经过点
2F ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

理科数学参考答案
9. 1e -
10. 1a > 11.
2
12. 1,
1a b c d
A B C D
l l l l h h h h +++= 13. 22
+
14. 13a <<
15. 4π 三、解答题 16.
(Ⅰ) [1,1]- (Ⅱ) 2-17. (Ⅰ) c
(Ⅱ)
(Ⅲ) 当12c =时，E ξ有最小值12
18. (Ⅰ) 略
(Ⅱ)
19.
(Ⅰ) {}n C 不是等差数列 (Ⅱ) 221182416k T k k +=++
20.
(Ⅰ) ()f x 是奇函数
(Ⅱ) ()f x 的单调减区间为11(,0),(0,)
e e -，单调增区间为11
(,),(,)e e
-∞-+∞
(Ⅲ) k e <-或k e > 21.
(Ⅰ) 22(1)16x y ++=
(Ⅱ) 不存在直线l 满足条件。