数学新同步课堂人教B必修三课件：第1章 1.1 1.1.1 算法的概念
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[提示] 符合算法概念，是算法．
二、算法的要求 1．写出的算法，必须能解解决决一类问题 并且能重复使用 ． 2．算法过程要能一一步步一一步步执执行，每一步执行的操作，必须确切 ，不能含混不清， 而且经过有限步步后后能得出结果． 思考：根据算法的要求，你能简要地概括一下算法有哪些特征吗？ [提示] 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
[基础自测] 1．思考辨析 (1)一个算法可解决某一类问题．( ) (2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( ) (3)同一个问题可以有不同的算法．( )
[解析] (1)√ 根据算法的概念可知． (2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无． (3)√ 例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元 法”． [答案] (1)√ (2)× (3)√
5．设计一个算法，求表面积为 16π 的球的体积． [解] 法一：S1 取 S＝16π.
S2 计算 R＝ 4Sπ(由于 S＝4πR2)． S3 计算 V＝43πR3. S4 输出运算结果． 法二：S1 取 S＝16π. S2 计算 V＝43π 4Sπ3. S3 输出运算结果．
2．任何问题都可以设计算法解决吗？ [提示] 不是．只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题 才可以设计算法来解决． 3．一个具体问题的算法是不是唯一的？如何评价一个算法的好坏？ [提示] 解决一个问题的算法可以有多个，其中结构简单，步骤少、速度快的 算法是好算法．
设计一个算法，判断大于 2 的整数是否为质数． [思路探究] 由于大于 2 的整数有无数个，但对于每一个数的判断方法是相同 的，故应设计一个可以循环的步骤．
算法的应用 下面给出一个问题的算法： 第一步，输入 x. 第二步，若 x≥4，则输出 2x－1，算法结束；否则执行第三步． 第三步，输出 x2－3x＋5. (1)这个算法解决的问题是什么？ (2)当输入 x 的值为 1 时，输出的结果为多少？
[解] (1)这个算法是求分段函数 f(x)＝2x2x－－31x，＋x5≥，4x＜4 的函数值． (2)x＝1＜4，则 f(1)＝12－3×1＋5＝3. 故当 x 输入 1 时，输出的结果为 3.
指算法的( )
A．有穷性
B．确定性
C．逻辑性
D．不唯一性
B [算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]
2．结合下面的算法：
S1 输入 x.
S2 判断 x 是否小于 0.若是，则输出 x＋2，否则执行第三步．
S3 输出 x－1.
当输入的 x 的值为－1,0,1 时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的个数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
(1)C (2)B [(1)A，B，D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而 C 只 描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法． (2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须 是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某 一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．]
2．下列可以看成算法的是( ) A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业， 之后做适当的练习题 B．今天餐厅的饭真好吃 C．这道数学题很难做 D．方程 2x2－x＋1＝0 无实数根 A [A 是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
3．算法的有限性是指( ) A．算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的 C．算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确 [答案] C
算法的概念 成按照要求设计好的有有限限的确切切的计算序列，并且这样的步骤或 序列能够解解决一类问题题
描述算法的 可以用自然语语言言和数学语言言加以叙述，也可以借助形式语言(算 方式 法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌
思考：某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第 一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是 一个算法吗？
第一章 算法初步
(新课程标准合格考不作要求) 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
学习目标：1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2.了 解算法的含义和特征．(重点)3.算法特征的使用，及算法的设计．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
一、算法的概念 由基基本本运算及规定的运算顺序 所构成的完整的解题步骤，或者看
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
输入三个数 a，b，c，并按从大到小的顺序输出 [第一步是给 a、b、c 赋值． 第二步运行后 a>b. 第三步运行后 a>c. 第四步运行后 b>c，所以 a>b>c. 第五步运行后，显示 a、b、c 的值，且从大到小排列．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里
[规律方法] 1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题， 在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想． 2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤ 普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点进行判断．
[跟踪训练] 1．下列叙述中， ①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤； ②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京； ④3x>x＋1； ⑤求所有能被 3 整除的正数，即 3,6,9,12，…. 能称为算法的有________．(填序号)
4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始 通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话． 写出一个打本地电话的算法________(只写序号)． ③②①⑤④⑥ [结合打电话的流程，顺序应为③②①⑤④⑥.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
算法的概念 (1)下列描述不能看作算法的是( ) A．解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 B．洗衣机的使用说明书 C．解方程 2x2＋x－1＝0 D．利用公式 S＝πr2 计算半径为 4 的圆的面积，就是计算 π×42
[解] S1 给定一个大于 2 的整数 n. S2 令 i＝2. S3 用 i 除 n，得到余数 r. S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的 值增加 1，仍用 i 表示． S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回 S3.
B．－1,1,0
C．1，－1,0
D．0，－1,1
C [根据 x 值与 0 的关系，选择执行不同的步骤．当 x＝－1 时，输出 x＋2， 即输出 1；当 x＝0 时，输出 x－1，即输出－1；当 x＝1 时，输出 x－1，即输出 0.]
3．输入一个 x 值，利用 y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整： S1 输入 x； S2 ________； S3 计算 y＝－x－1； S4 输出 y.
[规律方法] 给出一个算法，其功能往往并不显而易见，这时我们可以结合具 体数值去执行一下，进而总结其算法功能，还可以用此算法解决同类问题.
[跟踪训练] 3．下面算法要解决的问题是________． S1 输入三个数，并分别用 a、b、c 表示． S2 比较 a 与 b 的大小，如果 a<b，则交换 a 与 b 的值． S3 比较 a 与 c 的大小，如果 a<c，则交换 a 与 c 的值． S4 比较 b 与 c 的大小，如果 b<c，则交换 b 与 c 的值． S5 输出 a、b、c.
①②③ [根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④， 3x> x＋1 不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的 有限性矛盾．]
算法的设计 [探究问题] 1．算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？ [提示] 它们之间是一般与特殊的关系，要设计出解决某一类问题的算法，可 以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路进行设计，且此类问题中 的任何一个具体问题都可以利用这类问题的算法来解决．
[解] 因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他 人，所以只能让两 个小孩先过河，渡河的方法与步骤为： 第一步，两个小孩子同船渡过河； 第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人独自划船渡过河； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩再同船划船渡过河去；
第六步，一个小孩划船回来； 第七步，余下的一个大人独自划船渡过河； 第八步，对岸的小孩划船回来； 第九步，两个小孩再同船划船渡过河去．
当 x≥－1 时，计算 y＝x＋1，否则执行 S3 [含绝对值的函数的函数值的算法 要注意分类讨论思想的应用，本题中当 x≥－1 时 y＝x＋1；当 x＜－1 时 y＝－ x－1，由此可完善算法．]
4．已知长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，写出求对角线长 l 的算法如下： S1 输入长、宽、高即 a，b，c 的值． S2 计算 l＝ a2＋b2＋c2的值． S3 ________. 将算法补充完整，横线处应填________． 输出对角线长 l 的值 [算法要有输出，故第三步应为输出结果 l 的值．]
[规律方法] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： 1认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； 2借助有关变量或参数对算法加以表述； 3将解决问题的过程划分为若干步骤； 4用简练的语言将这个步骤表示出来.
[跟踪训练] 2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或 两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳．同学们现在想一想，他们怎样 渡过河去？请写一写你的渡河方案．
二、算法的要求 1．写出的算法，必须能解解决决一类问题 并且能重复使用 ． 2．算法过程要能一一步步一一步步执执行，每一步执行的操作，必须确切 ，不能含混不清， 而且经过有限步步后后能得出结果． 思考：根据算法的要求，你能简要地概括一下算法有哪些特征吗？ [提示] 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
[基础自测] 1．思考辨析 (1)一个算法可解决某一类问题．( ) (2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( ) (3)同一个问题可以有不同的算法．( )
[解析] (1)√ 根据算法的概念可知． (2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无． (3)√ 例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元 法”． [答案] (1)√ (2)× (3)√
5．设计一个算法，求表面积为 16π 的球的体积． [解] 法一：S1 取 S＝16π.
S2 计算 R＝ 4Sπ(由于 S＝4πR2)． S3 计算 V＝43πR3. S4 输出运算结果． 法二：S1 取 S＝16π. S2 计算 V＝43π 4Sπ3. S3 输出运算结果．
2．任何问题都可以设计算法解决吗？ [提示] 不是．只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题 才可以设计算法来解决． 3．一个具体问题的算法是不是唯一的？如何评价一个算法的好坏？ [提示] 解决一个问题的算法可以有多个，其中结构简单，步骤少、速度快的 算法是好算法．
设计一个算法，判断大于 2 的整数是否为质数． [思路探究] 由于大于 2 的整数有无数个，但对于每一个数的判断方法是相同 的，故应设计一个可以循环的步骤．
算法的应用 下面给出一个问题的算法： 第一步，输入 x. 第二步，若 x≥4，则输出 2x－1，算法结束；否则执行第三步． 第三步，输出 x2－3x＋5. (1)这个算法解决的问题是什么？ (2)当输入 x 的值为 1 时，输出的结果为多少？
[解] (1)这个算法是求分段函数 f(x)＝2x2x－－31x，＋x5≥，4x＜4 的函数值． (2)x＝1＜4，则 f(1)＝12－3×1＋5＝3. 故当 x 输入 1 时，输出的结果为 3.
指算法的( )
A．有穷性
B．确定性
C．逻辑性
D．不唯一性
B [算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]
2．结合下面的算法：
S1 输入 x.
S2 判断 x 是否小于 0.若是，则输出 x＋2，否则执行第三步．
S3 输出 x－1.
当输入的 x 的值为－1,0,1 时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的个数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
(1)C (2)B [(1)A，B，D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而 C 只 描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法． (2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须 是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某 一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．]
2．下列可以看成算法的是( ) A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业， 之后做适当的练习题 B．今天餐厅的饭真好吃 C．这道数学题很难做 D．方程 2x2－x＋1＝0 无实数根 A [A 是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
3．算法的有限性是指( ) A．算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的 C．算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确 [答案] C
算法的概念 成按照要求设计好的有有限限的确切切的计算序列，并且这样的步骤或 序列能够解解决一类问题题
描述算法的 可以用自然语语言言和数学语言言加以叙述，也可以借助形式语言(算 方式 法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌
思考：某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第 一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是 一个算法吗？
第一章 算法初步
(新课程标准合格考不作要求) 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
学习目标：1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2.了 解算法的含义和特征．(重点)3.算法特征的使用，及算法的设计．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
一、算法的概念 由基基本本运算及规定的运算顺序 所构成的完整的解题步骤，或者看
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
输入三个数 a，b，c，并按从大到小的顺序输出 [第一步是给 a、b、c 赋值． 第二步运行后 a>b. 第三步运行后 a>c. 第四步运行后 b>c，所以 a>b>c. 第五步运行后，显示 a、b、c 的值，且从大到小排列．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里
[规律方法] 1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题， 在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想． 2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤ 普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点进行判断．
[跟踪训练] 1．下列叙述中， ①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤； ②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京； ④3x>x＋1； ⑤求所有能被 3 整除的正数，即 3,6,9,12，…. 能称为算法的有________．(填序号)
4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始 通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话． 写出一个打本地电话的算法________(只写序号)． ③②①⑤④⑥ [结合打电话的流程，顺序应为③②①⑤④⑥.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
算法的概念 (1)下列描述不能看作算法的是( ) A．解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 B．洗衣机的使用说明书 C．解方程 2x2＋x－1＝0 D．利用公式 S＝πr2 计算半径为 4 的圆的面积，就是计算 π×42
[解] S1 给定一个大于 2 的整数 n. S2 令 i＝2. S3 用 i 除 n，得到余数 r. S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的 值增加 1，仍用 i 表示． S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回 S3.
B．－1,1,0
C．1，－1,0
D．0，－1,1
C [根据 x 值与 0 的关系，选择执行不同的步骤．当 x＝－1 时，输出 x＋2， 即输出 1；当 x＝0 时，输出 x－1，即输出－1；当 x＝1 时，输出 x－1，即输出 0.]
3．输入一个 x 值，利用 y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整： S1 输入 x； S2 ________； S3 计算 y＝－x－1； S4 输出 y.
[规律方法] 给出一个算法，其功能往往并不显而易见，这时我们可以结合具 体数值去执行一下，进而总结其算法功能，还可以用此算法解决同类问题.
[跟踪训练] 3．下面算法要解决的问题是________． S1 输入三个数，并分别用 a、b、c 表示． S2 比较 a 与 b 的大小，如果 a<b，则交换 a 与 b 的值． S3 比较 a 与 c 的大小，如果 a<c，则交换 a 与 c 的值． S4 比较 b 与 c 的大小，如果 b<c，则交换 b 与 c 的值． S5 输出 a、b、c.
①②③ [根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④， 3x> x＋1 不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的 有限性矛盾．]
算法的设计 [探究问题] 1．算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？ [提示] 它们之间是一般与特殊的关系，要设计出解决某一类问题的算法，可 以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路进行设计，且此类问题中 的任何一个具体问题都可以利用这类问题的算法来解决．
[解] 因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他 人，所以只能让两 个小孩先过河，渡河的方法与步骤为： 第一步，两个小孩子同船渡过河； 第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人独自划船渡过河； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩再同船划船渡过河去；
第六步，一个小孩划船回来； 第七步，余下的一个大人独自划船渡过河； 第八步，对岸的小孩划船回来； 第九步，两个小孩再同船划船渡过河去．
当 x≥－1 时，计算 y＝x＋1，否则执行 S3 [含绝对值的函数的函数值的算法 要注意分类讨论思想的应用，本题中当 x≥－1 时 y＝x＋1；当 x＜－1 时 y＝－ x－1，由此可完善算法．]
4．已知长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，写出求对角线长 l 的算法如下： S1 输入长、宽、高即 a，b，c 的值． S2 计算 l＝ a2＋b2＋c2的值． S3 ________. 将算法补充完整，横线处应填________． 输出对角线长 l 的值 [算法要有输出，故第三步应为输出结果 l 的值．]
[规律方法] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： 1认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； 2借助有关变量或参数对算法加以表述； 3将解决问题的过程划分为若干步骤； 4用简练的语言将这个步骤表示出来.
[跟踪训练] 2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或 两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳．同学们现在想一想，他们怎样 渡过河去？请写一写你的渡河方案．