新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 学案(知识点考点汇总及配套习题)

第五章计数原理
1计数原理 ................................................................................................................... - 1 -
1.1计数原理......................................................................................................... - 1 -
1.2计数原理的简单应用..................................................................................... - 9 -
2排列 ......................................................................................................................... - 15 -
2.1排列与排列数............................................................................................... - 15 -
2.2排列数公式................................................................................................... - 15 -
3组合 ......................................................................................................................... - 23 -
3.1组合 .............................................................................................................. - 23 -
3.2组合数及其性质........................................................................................... - 23 -
4二项式定理.............................................................................................................. - 31 -
4.1二项式定理................................................................................................... - 31 -
4.2二项式系数的性质....................................................................................... - 39 -
1计数原理
1.1计数原理
学习任务核心素养
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点)
2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点)1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．
一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．
1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？
2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？
1．分类加法计数原理
(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法，……在第n类办法中有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．(也称“加法原理”)
(2)分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2．分步乘法计数原理
(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·m n种方法．(也称“乘法原理”)
(2)分步乘法计数原理的理解
分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
如何区分“分类”还是“分步”？
[提示]如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同．()
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的．
()
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成．() [答案](1)×(2)√(3)√(4)√
2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只
会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是() A．5B．4C．9D．20
C[由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C．]
3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．6[完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素作为个位数字，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素作为十位数字，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．] 4．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路．如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路．
(1)如果翻山而过，有多少种不同的走法？
(2)如果绕道而行，有多少种不同的走法？
(3)从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
[解](1)分两步：
第一步，选一条上山路有2种方法；
第二步，选一条下山路有3种方法．
所以翻山而过，有2×3＝6种不同的走法．
(2)分两类：
第一类：由山北绕道，有2种走法；
第二类：由山南绕道，有3种走法．
所以绕道而行，有2＋3＝5种不同的走法．
(3)分两类：
第一类：翻山而过，有6种走法；
第二类：绕道而行，有5种走法．
所以从甲地到乙地共有6＋5＝11种不同的走法．
疑难问题
类型1分类加法计数原理
【例1】设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？
[思路点拨]
[解]选一幅画布置房间分三类计数：
第一类：选油画，有5种不同的选法；
第二类：选国画，有2种不同的选法；
第三类：选水彩画，有7种不同的选法．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.,前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏.
[跟进训练]
1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数女生人数总人数高三(1)班302050
高三(2)班303060
高三(3)班352055
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[解](1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
类型2分步乘法计数原理
【例2】某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？
[思路点拨]
[解]完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．
解决分步乘法计数问题的思考过程是
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；
(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；
(3)完成这件事共有多少种方法.
[跟进训练]
2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？
[解]完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝43＝64种投法．
类型3两个计数原理的综合应用
【例3】已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为()
A．18B．16C．14D．10
[思路点拨]
C[完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]
应用两个计数原理解决应用问题的方法
(1)分清是“分类”还是“分步”；
(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；
(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.
[跟进训练]
3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
[解](1)分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．
(2)分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法．
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．
1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤．
1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()
A．24种B．16种C．12种D．10种
C[完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C．
]
2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为() A．10B．25C．52D．24
D[根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24(种)．]
3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其
中的一个讲座，不同选法的种数是()
A．81B．64C．48D．24
A[每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．]
4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车，每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．
16[利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．]
5．从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？
[解]应分三类来解决该问题．
第一类，一位数中符合要求的数有8个．
第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个位上的数字有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个．
第三类，三位数中百位上的数字为1，十位和个位上的数字都有9种选法，故三位数中，百位上的数字为1的符合要求的数有9×9＝81个；三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求．所以三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．由分类加法计数原理，符合要求的数共有8＋72＋82＝162个．
1.2计数原理的简单应用
学习任务核心素养1．进一步掌握分类加法计数原理与分步
乘法计数原理．(重点)
2．会应用两个计数原理解决实际问题．(难点)通过计数原理的实际应用，培养数学建模素养．
1．若集合A＝{a，b，c}，集合A所有子集的个数用分类计数原理如何来求？2．对于问题1中，用分步计数原理如何来求？
3．问题1、2的相同点是什么？不同点是什么？
两个计数原理的联系与区别：
原理分类加法计数原理分步乘法计数原理
相同点完成一件事
不同点
与分类有关与分步有关
每类方法都能完成这件事，它
们是相互独立的，且每一次得
到的都是最后结果，只需一种
方法就可以完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何
一步都不可能独立地完成这件事，
缺少任何一步都不可能完成这件
事，只有各个步骤都完成了，才能
完成这件事
各类方法之间是互斥的，并列
的，独立的
各步之间是有关联的，不独立的
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法．()
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，冠军不并列，共有64种可能的
结果．()
(3)由1，2，3组成的无重复数字的三位数有6个．()
(4)由1，2，3组成的含有重复数字的三位数有27个．()
[答案](1)√(2)√(3)√(4)√
2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()
A．21种B．315种C．143种D．153种
C[从不同种类的物体中按要求选取，是应用计数原理的典型题型，解答时通常按先分类再分步的程序进行．本题可分三类，即第一类不选数学，有5×9＝45种方法；第二类不选英语，有9×7＝63种方法；第三类不选语文，有7×5＝35种方法，于是所有选法N＝45＋63＋35＝143种．]
3．如图A→C有________种不同走法．
6[A→C的走法可分两类：
第一类：A→C，有2种不同走法；
第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．
根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．]
4．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级学生会选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要从学生会中选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
[解](1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘
法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．
(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．
疑难问题
类型1与数字有关的计数问题
【例1】从0到9十个数字中选出4个组成一个四位数，问组成的数字不重复的四位偶数共有多少个？
[思路点拨]本题就要根据0在末位和0不在末位的情况来解．
[解]0在末位时，十、百、千分别有9、8、7种安排方法，共有9×8×7＝504个；
0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位各有8、7种排法．
∴共有4×8×8×7＝1 792个．
由以上知，共有符合题意的偶数为1 792＋504＝2 296个．
1．对于数字问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占分类，每类中再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数；但当分类较多时，可用间接法．2．注意合理的画出示意图，直观的展出问题的实质．
[跟进训练]
1．将本例问题改为：数字不重复的四位奇数有多少个？
[解]法一：无重复数字的四位数共有9×9×8×7＝4 536个，
由本例知无重复数字的四位偶数有2 296个，
所以数字不重复的四位奇数有4 536－2 296＝2 240个．
法二：按末位是1，3，5，7，9分五类计数．
每一类都有8×8×7＝448个，
所以共有5×448＝2 240个数字不重复的四位奇数．
类型2与几何有关的计数问题
【例2】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()
A．60B．48C．36D．24
B[长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．]
两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法
[跟进训练]
2．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．
40[把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．
第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．]
类型3涂色(种植)问题
【例3】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
[思路点拨]按1，2，3，4顺序涂色时，2，3区域颜色的异同对4有影响，所以应注意分类讨论．
[解]完成该件事可分步进行．
涂区域1，有5种颜色可选．
涂区域2，有4种颜色可选．
涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选．若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260种涂色方法．
涂色(种植)问题的一般思路
(1)为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号.
(2)按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植的品种)恰当选取情况分类.
(3)利用两个原理计数.
[跟进训练]
3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，共有多少种不同的种植方法？
[解]黄瓜有3种种植方法，剩下的两块地，一块有3种种植方法，一块有2种种植方法．根据分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×3×2＝18种．
1．两个计数原理的共同点就是将“完成一件事”分解成若干个事件来完成；不同点是一个与分类有关，一个与分步有关．
2．在解决组数问题，选(抽)问题，涂色(种植)问题时，一定要分清完成一件事是做什么？是分类还是分步？为何分类、分步等问题．
1．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等
6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有() A．24种B．36种C．48种D．72种
B[分两类：
(1)第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种；
(2)第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24种．
∴共有36种．]
2．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况的种数有()
A．16种B．15种C．14种D．13种
D[四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．] 3．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．
1 359[渐升数由小到大排列，形如
12××
的渐升数共有：6＋5＋4＋3123×，个位可从4，5，6，7，8，9六个数字选一个，有6种等；形如
134×
的渐升数共有5个；形如
135×
的渐升数共有430个，因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359．]
4．圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为________个．
2n(n－1)[2n个等分点可以组成n条直径，对每一条直径，其余的(2n－2)个等分点均可作为直角顶点，因此可以组成的直角三角形共有2n(n－1)个．] 5．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢
琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
[解]由题意知，在艺术小组的9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：
①若“多面手”入选，则有6＋2＝8种选法；
②若“多面手”不入选，则有6×2＝12种选法．
因此选法共有8＋12＝20种．
2排列
2.1排列与排列数
2.2排列数公式
学习任务核心素养
1．了解排列及排列数的概念．(重点)
2．掌握排列数公式．(难点)1．通过排列及排列数的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助排列数公式的应用，培养数学运算素养．
1．从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，用枚举法，写出所有不同的结果．
2．在问题1中，2
1与
1
2是不同结果吗？这说明什么问题？
1．排列
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N
＋
)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题．
2．排列数及排列数公式
排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N
＋
)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法A m n
排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)阶乘式A m n＝
n！
(n－m)！
性质A0n＝10！＝1
备注n，m∈N
＋
，m≤n
两个排列相同的条件是什么？
[提示]这两个排列的元素完全相同，且元素排列的顺序也相同．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1，2，3与3，2，1是同一个排列．()
(2)求集合{a，b，c}二元子集个数是一个排列问题．()
(3)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()
(4)A x10中的x满足x∈{}
n∈N|n≤10．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．从4名学生中选出2名学生当正、副班长，共有选法种数为()
A．4B．6C．8D．12
D[共有A24＝4×3＝12种选法．]
3．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
720[问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，共有A310＝10×9×8＝720种分法．]
4．解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6A2x．
[解]由排列数公式得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5
或x＝2 3，
∵x≥3，且x∈N*，
∴原方程的解为x＝5．
疑难问题
类型1排列的定义
【例1】判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去种树和种菜，共有多少种选法；
(2)选10人组成一个学习小组，共有多少选法；
(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员，共有多少种选法；
(4)某班40名学生在假期相互通信，共需写多少封信．
[思路点拨]解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
(2)中不存在顺序问题，不属于排列问题；
(3)中每个人的职务不同，例如甲当班长与甲当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
(4)中A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(1)、(3)、(4)属于排列问题．
1．保证是排列问题应满足两个条件：
(1)元素互异；(2)元素有序．
2．判断一个具体问题是否为排列问题的思路
[跟进训练]
1．判断下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中抽出2名学生开会，共有多少种抽法；
(2)从2，3，5，7，11中任取两个数相除，共有多少种不同的商；
(3)以圆上的10个点为端点作弦，可以得到多少条弦．
[解] (1)选出同学甲、乙与乙、甲开会是同一回事，所以与两名学生的先后顺序无关，所以(1)不是排列问题． (2)由于2÷3≠3÷2，所以本题与两数的顺序有关，是排列问题．
(3)因为弦AB 与弦BA 是同一条弦，所以本题不是排列问题． 类型2 排列数的计算或化简
【例2】 计算或化简下列各式： (1)A 215；(2)A 88；(3)A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1
；(4)1！＋2·2！＋…＋n ·n ！；(5)12！＋23！＋…＋n －1n ！． [思路点拨] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑排列数之间的关系，化简可减少运算量．
[解] (1)A 215＝15×14＝210；
(2)A 88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320；
(3)A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1
＝(n －1)！[n －1－(m －1)]！·(n －m )！·1(n －1)！ ＝(n －1)！(n －m )！·(n －m )！·1(n －1)！
＝1； (4)1！＋2·2！＋…＋n ·n ！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1；
(5)∵n －1n ！＝1(n －1)！－1n ！
，
∴12！＋23！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋…＋1(n －1)！－1n ！
＝1－1n ！．
1．排列数的第一个公式A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点．
2．排列数的第二个公式A m n ＝n ！(n －m )！
，适用于与排列数有关的证明，解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N ＋”的运用．
3．常见技巧
(1)n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！；
(2)n －1n ！＝1(n －1)！－1n ！
； (3)A m n ＝n A m －1n －1．
[跟进训练]
2．(1)计算A 316－A 66A 35
； (2)已知A m －1n ＝5×6×7×…×2 020，求m ，n 的值．
[解] (1)原式＝16×15×14－6×5×4×3×2×15×4×3
＝4×14－12＝44． (2)∵5×6×7×…×2 020中最大的数为2 020，共有2 020－5＋1＝2 016个数， ∴5×6×7×…×2 020＝A 2 0162 020，
∴m －1＝2 016，n ＝2 020，
∴m ＝2 017，n ＝2 020．
类型3 简单的排列问题
[探究问题]
1．6个人站成一排照相，问有多少种不同的排法？
[提示] 共有A 66＝6×5×4×3×2×1＝720种．
2．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的。