七年级数学上学期期末考试真题汇编(人教版)一元一次方程章末重难点题型(解析版)

专题09 一元一次方程 章末重难点题型（12个题型）
一、经典基础题
题型1 方程与一元一次方程的辨别
题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值
题型3 等式的性质及应用
题型4 一元一次方程中的同解问题
题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）
题型6 解方程
题型7 含参数的一元一次方程
题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
题型9 一元一次方程中的新定义问题
题型11 一元一次方程中的整体换元
题型12 一元一次方程中的实际应用
二、优选提升题
题型1 方程与一元一次方程的辨别
例1．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．x +2y =5
B ．x 2+x -1=0
C ．1x
D ．3x +1= 10
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论．
【详解】解：方程x +2y =5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A 项错误； 方程x 2+x -1=0中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B 项错误；
代数式1x 不是等式，更不是一元一次方程，故C 项错误； 方程3x +1= 10含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D 正确；故选：D ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①21x +；②171581+=-+；③1112
x x -=-；
④23x y +=中，方程共有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．2个
D ．4个
【答案】C
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答． 【详解】解：方程有③1112
x x -=-；④23x y +=，故选：C ． 【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ）
A ．2a a a +=
B ．23x +
C ．215x +=
D ．()2122x x +=+
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．
【详解】解：根据方程的定义可得：A 、C 、D 选项均为方程，
选项B 不是等式，所以不是方程，故选：B ．
【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值
【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x 的次数为1，系数不为0
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 例1．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程(2)1m x +=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）
A ．2m ≠-
B ．0m ≠
C ．2m ≠
D ．2m >- 【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程()21m x +=是关于x 的一元一次方程，∵20m +≠即2m ≠-．故选：A ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．
变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）若3x =是关于x 的方程5ax b -=的解，则622a b --的值为（ ） A ．2
B ．8
C ．－3
D ．－8 【答案】B
【分析】将x =3代入ax -b =5中得3a -b =5，将该整体代入6a -2b -2中即可得出答案．
【详解】解：将x =3代入ax -b =5中得：3a -b =5，所以6a -2b -2=2（3a -b ）-2=2×5-2=8．故选：
B ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键． 变式2．（2022·河南南阳·七年级期末）若()110m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值可以是______(写出一个即可)
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出10m -≠，即可得出答案．
【详解】解：()110m x -+=是关于x 的一元一次方程，
10m ∴-≠，解得1m ≠，m ∴的值可以是2．故答案为：2(答案不唯一)．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．
题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】
等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
例1．（2022·海南·七年级期末）已知a b =，根据等式的性质，可以推导出的是（ ） A ．21a b +=+
B ．33a b -=-
C ．232a b -=
D ．a b c c
= 【答案】B
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：a =b ，A 、a +2≠b +1，选项不符合题意；
B 、-3a =-3b ，选项符合题意；
C 、2a =2b ，∵2a -3≠2b ，选项不符合题意；
D 、当c ≠0时，a b c c =，选项不符合题意；故选：B ． 【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．
例1．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a ）（b ）中天平保持左右平衡，现要使（c ）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A ．25克
B ．30克
C ．40克
D ．50克
【答案】C
【分析】由图（a ）和图（b ）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1个黑圆共重30克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结果．
【详解】设一个黑三角重a 克，一个黑圆重b 克，由题意，
得5（a +b ）=150，解得a +b =30，
由图（a ）得，a +2（a +b ）=80，
即a +2×30=80，解得a =20，
∵b =30-20=10，∵a +2b =20+10×2=20+20=40，故选：C ．
【点睛】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出关系式，利用等式的性质进行计算．
例2．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x -2y =5，请用含x 的代数式表示y ，则y =_______．
【答案】52x - 【分析】先移项，再把y 的系数化为1即可．
【详解】解：移项得，−2y ＝5−x ，y 的系数化为1得，52x y -=．故答案为：52
x -． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
题型4 一元一次方程中的同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x 的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、 例1．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍，则m 的值为（ ） A ．1
2 B ．14 C ．14- D ．12
- 【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m 的值．
【详解】解：方程4x -2m =3x -1，
解得：x =2m -1，
方程x =2x -3m ，
解得：x =3m ，
根据题意得：2m -1=6m ，
解得：m =-14
．故选：C ． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）如果方程24=x 与方程的解相同，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ． 【答案】C
【分析】解方程2x =4，求出x ，根据同解方程的定义计算即可．
【详解】解：∵2x =4，∴x =2，
∵方程2x =4与方程3x +k =-2的解相同，∴3×2+k =10解得，k =4，故选：C ．
【点睛】本题考查的是同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
变式2．（2022·山东烟台·期末）若关于x 的方程()3212x k x -=+的解与关于x 的方程()821k x -=+的解互为相反数，则k =______．
【答案】15
【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k 即可；
【详解】解：()3212x k x -=+，
632x k x -=+，
623x x k -=+，
43x k =+，
34
k x +=， 解方程：()821k x -=+，
822k x -=+，
26x k =-，
62
k x -=， 根据题意列出方程36042
k k +-+=， 解得：15k =，
故答案为：15．
【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．
题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程
例1．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x 的方程的解是正整数，则整数k 可以取的值是__________．
【答案】3
310x k +=2-4-21x kx +=
【分析】把含x 的项合并，化系数为1求x ，再根据x 为正整数求整数k 的值．
【详解】解：移项、合并，得，解得：， ∵x 为正整数，k 为整数，∴解得k=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k 的值．
变式1．（2022·上海金山·八年级期末）如果关于x 的方程ax ＝b 无解，那么a 、b 满足的条件（ ）
A ．a ＝0，b ＝0
B ．a ≠0，b ≠0
C ．a ≠0，b ＝0
D ．a ＝0，b ≠0 【答案】D
【分析】根据方程无解，可知含x 的系数为0，常数不为0，据此求解．
【详解】解：∵关于x 的方程ax =b 无解，∵a =0，b ≠0，故选：D ．
【点睛】本题考查一元一次方
程的解，理解方程无解时含x 的系数为0，常数项不为0是解题关键．
变式2．（2022·湖南）关于x 的方程（a +1）x ＝a ﹣1有解，则a 的值为（ ）
A ．a ≠0
B ．a ≠1
C ．a ≠﹣1
D ．a ≠±1
【答案】C
【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．
【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 解：由关于x 的方程（a +1）x ＝a ﹣1有解，得a +1≠0，解得a ≠﹣1．故选：C ．
【点睛】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零． 变式3．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无穷多个解，则a b -=______． 【答案】259
【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a 与b 的值，即可求出所求．
【详解】解：方程整理得：（3a ﹣5）x ＝2a +3b ，
∵方程有无穷多个解，∵3a ﹣5＝0，2a +3b ＝0，解得：a ＝53，b ＝﹣109
， 则a ﹣b ＝53+109 ＝259．故答案为：259
． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
题型6 解方程
【解题技巧】
21x kx -=-12x k
=--2=-1k -
解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。

因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。

对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。

有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。

同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。

解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。

例1．（2022·黑龙江七年级期末）解方程：（1）x ﹣2（x ﹣4）＝3（1﹣x ）； （2）． 【答案】（1）x =-2.5；（2）x =． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1，即可求出方程的解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1，即可求出方程的解．
【详解】解：（1）x ﹣2（x ﹣4）＝3（1﹣x ）
去括号得， 移项，合并得，
系数化为1得，；
（2） 去分母得，
去括号得，
移项，合并得，
系数化为1得， 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 变式1．（2022·浙江七年级期末）解方程：
（1） （2） 【答案】（1）x =；（2）x = 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可． （2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可．
2-32236
x x +-=107
-2833x x x +-
＝-25x =-2.5x =-2-32236
x x +-=2(23)(2)12x x --+=46212x x ---=710x -=107
x =-2143335
x x x ---=-0.20.40.050.20.50.03x x x ---=197
-4417
【详解】解：（1）， 去分母得45-5（2x -1）=3（4-3x ）-15x ，
去括号得45-10x +5=12-9x -15x ，
移项得-10x +9x +15x =12-45-5，
合并得14x =-38，
系数化为1得x =； （2）， 方程组化简为：， 去分母得3（2x -4）-15x =5（5x -20），
去括号得6x -12-15x =25x -100，
移项得6x -15x -25x =-100+12，
合并同类项得-34x =-88，
系数化为1得x =． 【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）；针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x =a 形式转化．
变式2．（2022·天津和平·七年级期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）． 【答案】（1）x ＝﹣1；（2）x ＝﹣3．
【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
【详解】解：（1）去分母，得2（2x ﹣1）﹣（5x +2）＝3（1﹣2x ）﹣12，
去括号，得4x ﹣2﹣5x ﹣2＝3﹣6x ﹣12，
移项，得4x ﹣5x +6x ＝3﹣12+2+2，
合并，得5x ＝﹣5，
系数化为1，得x ＝﹣1；
（2）， 整理，得15.5+x ﹣20﹣3x ＝1.5，
移项，得x ﹣3x ＝1.5﹣15.5+20，
2143335
x x x ---=-197
-0.20.40.050.20.50.03
x x x ---=2452053
x x x ---=4417
215212362x x x -+--= 3.10.20.20.0330.20.012
x x ++-=()()5 3.10.21000.20.0330.550.21000.0120.5
x x ⨯+⨯+⨯-=⨯⨯⨯
合并，得﹣2x ＝6，
所以x ＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
题型7 含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax =b 的解由a ，b 共同决定。

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：
（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．
例1、（2022·江苏七年级期中）解关于的方程：
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当，即时，方程有唯一解为：； 当，即时，方程无解．
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．
变式1．（2022·上海市松江区八年级期中）解关于x 的方程：()322mx x x -=-
【答案】见解析
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：mx -3x =2（2-x ），
去括号，得mx -3x =4-2x ，
移项，得mx -3x +2x =4，
合并同类项，得（m -1）x =4，
当m -1≠0，即m ≠1时，方程的解是x =41
m -， 当m -1=0，即m =1时，方程无解．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
例1．（2022·河南·郑州七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污
b x a
=x 1mx nx -=()1m n x -=0m n -≠m n ≠1x m n
=-0m n -=m n =ax b =x a
染了看不清楚，被污染的方程是： 1
2 x -
3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，
便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
【答案】
52
- 【分析】设这个常数为a ，将x =－5代入方程中求解关于a 的方程即可．
【详解】解：设这个常数为a ，将x =－5代入方程中得：12
×(－5)－3=2（－5+1）－a ， 解得：a =52-，故答案为：52
-． 【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键．
变式1．（2022·湖南衡阳·七年级期末）关于x 的方程()3951x -=-★，∵处被盖住了一个数字，已知方程的解是5x =，那么*处的数字是（ ）
A ．－1
B ．－17
C ．15
D ．17 【答案】D
【分析】把x =5代入已知方程，可以列出关于∵的方程，通过解该方程可以求得∵处的数字．
【详解】解：将x =5代入方程，得：3（∵-9）=25-1，
解得：∵=17，即∵处的数字是17，故选：D ．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
变式2．（2022·重庆酉阳·七年级期末）刘明同学在解一元一次方程时，不小心把？处的系数弄得看不清了，他便问邻桌，但是邻桌只告诉他，该方程的解是（邻桌的答案是正确的），刘明同学便由此计算出了处的系数，那么这个系数是_________．
【答案】
【分析】设？表示的系数为a ，把x =－1代入方程中，可得，从而可求得a 的值．
【详解】设？表示的系数为a ，则原方程为
由题意，x =－1是方程的解
所以把x =－1代入方程中，得
解得：a =-5故这个系数为－5故答案为：－5．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的概念及解一元一次方程，关键是清楚解的含义．
题型9 一元一次方程中的新定义问题 ?33x x -=+x 1x =-x 5-33ax x -=+313a --=-+33ax x -=+33ax x -=+33ax x -=+313a --=-+
例1．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x 的一元一次方程a ＋x ＝b （a ≠0）
的解为b x a
=，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x ＝4的解为x ＝2且4
22=，则方程2＋
x ＝4是“商解方程”．请回答下列问题：(1)判断3＋x ＝5是不是“商解方程”． (2)若关于x 的一元一次方程6＋x ＝3（m ﹣3）是“商解方程”，求m 的值． 【答案】(1)不是 (2)m ＝
27
5
【分析】（1）求出方程的解是2x =，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于m 的方程，最后求出方程的解即可． （1）35x +=，2x =，而5
23
≠，所以35x +=不是“商解方程”；
（2）63(3)x m +=-，639x m +=-，396315x m m =--=-，关于x 的一元一次方程
63(3)x m +=-是“商解方程”，∴
3(3)3156m m -=-，解得：27
5
m =． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
变式1．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______． 【答案】
【分析】根据题意可将化为，解出即可． 【详解】解：由题意，得，，
∴可化为合并同类项，得 解得： 故答案为：-8．
【点睛】本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．
变式2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把a b c d 称为二阶行列式，且a b c
d
=ad bc -，如
12
34
-=1(4)⨯-－23⨯=－10．若
472
m
-=6，则m 的值为（ ）
A ．8
B ．－2
C ．2
D ．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m 的一元一次方程，求出m 的值即可．
m m 4.5-4-m m 5
2
4-4- 1.5-2-x x 5-2x -x 8-{}2[]5229x x --=()252129x x --+=[]x x ={}221x x -=-+{}2[]5229x x --=()252129x x --+=324x -=8x =-
【详解】根据题意得
472
m
-=-4m -2×7，∵
472
m
-=6，∵-4m -2×7=6，解得m =-5．故选：D
【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
题型11 一元一次方程中的整体换元
解题技巧：将含x 的式子当作一个整体进行求解
例1．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程13(43)2(43)x x +-=-时，不是直接给方程去括号，而是假设
43x a -=，然后把方程变形为：
132a a +=，
321a a -=，
1a =．
431x ∴-=，
解，得1x =．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程722(72)
135
x x --=-． 【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a ，将原方程转化为关于a 的方程求解即可． 【详解】解：722(72)
135
x x --=- 设7-2x=a ，则原方程变形为：
2135a a =-∵1
115
a = 解得，a =15即7-2x=15，解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 变式1．（2022·江西景德镇·七年级期末）若4x =-是关于x 的方程()10ax b a -=≠的解，则关于x 的方程()()23100a x b a ---=≠的解为______． 【答案】1
2
-
【分析】将4x =-代入方程 ()10ax b a -=≠可得41a b --=，进而代入()2310a x b ---=即
可得到()234a x b a b --=--，根据等式的性质即可求得答案． 【详解】解：将4x =-代入方程41ax b a b -=--=，
()2310a x b ---=，整理得()231a x b --=，则()234a x b a b --=--，
234x ∴-=-，解得1
2x =-，故答案为12
-．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x 的一元一次方程点
320212021x
x a +=+①与关于y 的一元一次方程
()32
32021322021
y y a --=--②，若方程①的解为2021x =，则方程②的解为______． 【答案】y =-673
【分析】根据题意得出-（3y -2）的值，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x 的一元一次方程
320212021x
x a +=+①的解为x =2021， ∴关于y 的一元一次方程
()32
32021322021
y y a --=--②中-（3y -2）=2021， 解得：y =-673，故答案为：y =-673．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3y -2）的值是解题关键．
题型12 一元一次方程中的实际应用
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。

例1．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍． 【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图： (2)相等关系为（请填空）：____________． 【建模解答】（请你完整解答本题） 【答案】(1)见解析
(2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15分钟可以追上队伍．
【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；
（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解． （1）解：根据题意，画出示意图如图：
（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；设通讯员用x 小时可以追上学生队伍，根据题意可得：44126030x x ⨯+=，解得：x =14，1
4
×60=15(分钟) ，答：通信员用15分钟可以追上队伍． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键． 变式1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A ，B 两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A 衣服赚25%，每件B 衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A 衣服的成本价是480元． ②每件B 衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔 A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【分析】设赚钱的衣服的进价为x 元，赔钱的衣服的进价为y 元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x 元，
依题意，得：600﹣x ＝25%x ，解得：x ＝480，故①正确；
设赔钱的衣服的进价为y 元，600﹣y ＝﹣25%y ，解得：y ＝800，故②正确；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 变式2．（2022·江苏南京·初一期末）列方程解应用题： 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完． 【答案】６小时，过程见详解．
【分析】设还需x 小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答即可．
【解析】解：设还需x 小时可以抽完，由题意得：
66
1243040
x x x ++++=，解得：=6x ，答：还需6小时可以抽完．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决问题的关键．
1．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：
①32x y -=，②2230x x --=，③2
11x =-，④312x -=，⑤2
53
m m -=中，一元一次方程的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：在下列方程：①32x y -=，②2230x x --=，③211x =-，④3
12x -=，⑤2
53
m m -=中， ④312x -=，⑤2
53
m m -=是一元一次方程，共2个,故选B 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ） A ．由a b =，得
44a b
=- B ．由33x y -=-，得x y =- C ．由14
x
=，得
14x = D ．若()()
2211m a m
b +=+，则a b =
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判定即可．
【详解】解：A ．由a b =，得44
a b
=--，原式错误，故此选项不符合题意； B ．由33x y -=-，得x y =，原式错误，故此选项不符合题意； C ．由14
x
=，得4x =，原式错误，故此选项不符合题意；
D ．若()()
2211m a m b +=+，则a b =，正确，故此选项符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022·浙江金华·七年级期末）已知21000x y +=，则代数式202142x y --的值为（ ） A ．3021 B ．1021 C ．21 D ．4021
【答案】C
【分析】将21000x y +=变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解． 【详解】将等式21000x y +=两边乘以2-，得422000x y --=-， 则代数式2021422021200021x y --=-=，故答案为：C ．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
4．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x 方程ax=b 在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你
根据以上知识作答：已知关于x 的方程 •a= ﹣ （x ﹣6）无解，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．±1
D ．a≠1 【答案】A
【详解】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x ﹣（x ﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，x=，因为无解，所以a ﹣1=0，即a=1．故选A ．
点睛：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值． 5．（2022·重庆巴南·七年级期末）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ） A ． B ．
C ．32
D ．64
【答案】D
【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k 的式子表示x ，再根据条件，得到满足条件的k 值，进而即可求解．
【详解】由，解得：，
∵关于的方程的解为整数， ∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k 看作常数，掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
6．（2022·山东七年级期末）关于x 的方程有负整数解，则符合条件的整数m 的值可能是（ ） A ．-1
B ．3
C ．1
D ．2
b a 3x 2x 1
6
3
1
a -4-2-1-k x 22143
x k x k
x -+-=-k 32-16-22143
x k x k x -+-=-122k x -=x 22143
x k x k
x -+-
=-k 4-2-4-2-15142323mx x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】由题意可得，根据关于x 的方程有负整数解可得2与
是倍数关系，进而求解即可得．
【详解】解：由可得：，
∵关于x 的方程有负整数解，且m 为整数， ∴或-2，∴或-1，故选：A ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 7．（2022·江苏南通市·七年级期末）在有理数范围内定义运算“☆”：1
2b b a a -=+☆，如：
()1313112
---=+=-☆．如果()21x x =-☆☆成立，则x 的值是（ ）
A ．1-
B ．5
C ．0
D ．2
【答案】B
【分析】根据新定义1
2
b b a a -=+☆，将()21x x =-☆☆变形为方程，解之即可．
【详解】解：∵12b b a a -=+☆，∴()21x x =-☆☆可化为111222
x x ---+=+，解得：x=5，
故选B ．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
8．（2022·山东青岛·一模）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不
清楚，被污染的方程是2
3x ﹣2＝14
x +
，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此
方程的解是x ＝﹣6，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ） A ．﹣9
2
B ．﹣29
C ．﹣9
D ．﹣2
【答案】A
【分析】设被污染的常数为a ，将x =-6代入原方程得到关于a 的一元一次方程，从而可求得a 的值．
【详解】解：设被污染的常数为a ． 将x =-6代入得：-4-2=32-+a ， 解得：a =-9
2
．故选：A ．
2
1
x m =-15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1m -15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2
1
x m =-15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
11m -=-0m =
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解和一元一次方程的解法，根据方程的解的定义得到关于x 的方程是解题的关键．
9．（2022·河北沧州·七年级期末）规定符号(),a b 表示a ，b 两个数中较小的一个，规定符号[],a b 表示a ，b 两个数中较大的一个，例如：()3,11=，[]3,13=.则()112,3,3
4⎡⎤-+--=⎢⎥⎣⎦
______；
若()[],23,14m m m m -+---=-，则m 的值为______. 【答案】 9
4
- 1
【分析】根据定义得出（-2，3），[-1
3，-14
]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
根据定义可得关于m 的一元一次方程，再解方程即可求出m 的值． 【详解】解：由题意可知：
(−2，3)+[−1 3
，−1
4]
=-2+（-1
4）
=-94
； 根据题意得： m -2+3×（-m ）=-4， 解得m =1． 故答案为：-9
4
；1．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解（a ，b ）与[a ，b ]表示的意思是解答此题的关键．
10．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）已知5是关于x 的方程0ax b +=的解，则关于x 的方程()80a x b ++=的解是__________． 【答案】x =-3
【分析】把x =5代入方程0ax b +=，解得50a b +=，得到5b a =-，把5b a =-代入方程
()80a x b ++=即可解题．
【详解】解：把x =5代入方程0ax b +=， 解得50a b +=， 5b a ∴=-，
5b a =-代入方程()80a x b ++=得
()850a x a +-=。