2020年云南省曲靖市麒麟区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年云南省曲靖市麒麟区中考数学一模试卷
一、填空题（共6小题）.
1．﹣4的倒数是．
2．因式分解：x3+4x2+4x＝．
3．如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠2＝132°，则∠1＝．
4．函数中，自变量的取值范围是．
5．已知⊙O的半径为3，△ABC是圆的内接三角形且AB＝，则∠ACB的度数为．6．如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA ＝5，则△AOB的周长为．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．据woddometers实时数据显示，截止北京时间5月1日8时30分、全球新冠病毒感染病例突破330万例，死亡病例超过23万例，330万用科学记数法表示为m×10n，则m，n 的值分别是（）
A．3.3，6B．3.3，5C．0.33，7D．3.3，7
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形9．下列运算正确的是（）
A．2a2b3•3a﹣2b2＝6ab5B．3a（2ab+1）＝5a2b+1
C．（a2b）3＝a5b3D．
10．下列几何体中，主视图是三角形的为（）
A．B．C．D．
11．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分）35394244454850人数（人）2566876根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（）
A．B．C．3πD．
13．若关于x的方程无解，则m的值是（）
A．1B．2C．4D．6
14．一组数列：2，5，10，17，26…依此类推，第n个数是（）
A．n2+1B．n2﹣1C．n2+2D．n2﹣2
三、解答题（共9个小题，共70分）．
15．计算：．
16．如图，在∠MON的边OM、ON上分别取OA＝OB，AC＝BD．求证：AD＝BC．
17．2019年第十五届中国（深圳）文博会主题活动一一第九届全国生态旅游文化产业发展高峰论坛暨2019中国最美县城榜单发布会上，云南有7个县市被评为“2019中国最美县城”．分别是：A．景东县；B．罗平县；C．双柏县；D．香格里拉市；E沧源县；F 绥江县；C腾冲市．为了提升云南旅游发展水平，向世界推广七彩云南，某问卷调查网站在网上发起了名为“你最喜欢的云南最美县城”的问卷调查，规定参与同卷调查的每个人从这七个县城中选择一个．该网站从调查结果中又随机抽取了部分调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是，m＝；
（2）扇形统计圈中“F”对应的图心角为；
（3）补全条形统计图；
（4）若参加问卷调查的人数有120000人，请估计最喜欢县城为“B“的人数．
18．大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完，试问大、小和尚各有多少人？
19．有形状、大小和质地都完全相同的四张卡片A、B、C、D，正面上分别写有四个实数、
、、，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
（1）用面树形图成列表法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（卡片可用A、B、C、D表示）；
（2）求抽到的两个数都是无理数的概率．
20．已知，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，顶点P（3，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△MAB的面积为24，求M点的坐标．
21．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C 作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P＝，AD＝9，求⊙O的半径．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC边上的中点，DC⊥BC，与BF的延长线交
于点D，AE平分∠BAC交BF于点E．
（1）求证：AE∥DC；
（2）若BD＝，求AD的长；
（3）若∠BAC＝30°，AC＝12，点P是射线CD上一点，求CP+AP的最小值．
参考答案
一、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）．
1．﹣4的倒数是．
【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．
解：∵＝1，
∴﹣4的倒数是﹣．
2．因式分解：x3+4x2+4x＝x（x+2）2．
【分析】首先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：x3+4x2+4x
＝x（x2+4x+4）
＝x（x+2）2．
故答案为：x（x+2）2．
3．如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠2＝132°，则∠1＝84°．
【分析】首先根据平行线的性质得出∠3＝180°﹣∠2＝48°，∠1＝∠4．再根据折叠的性质，得∠AEB＝2∠3＝96°，由邻补角定义求出∠4，等量代换得到∠1．
解：∵AF∥BE，∠2＝132°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝48°，∠1＝∠4．
根据折叠的性质，得∠AEB＝2∠3＝96°，
∴∠4＝180°﹣∠AEB＝84°，
∴∠1＝84°．
故答案为：84°．
4．函数中，自变量的取值范围是x≥2且x≠4．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：要使函数有意义，则，
解得x≥2且x≠4，
故答案为：x≥2且x≠4．
5．已知⊙O的半径为3，△ABC是圆的内接三角形且AB＝，则∠ACB的度数为45°或135°．
【分析】当点C在优弧AB时，如图，由⊙O的半径为3，得到BC＝10，∠BAC＝90°，当点C在劣弧AB时，解直角三角形即可得到结论．
解：当点C在优弧AB时，如图，
∵⊙O的半径为3，
∴BC＝6，∠BAC＝90°，
∵AB＝3，
∴AC＝＝3，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
当点C在劣弧AB时，
∠C′＝180°﹣45°＝135°，
综上所述，∠ACB的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°．
6．如图所示，点A是反比侧函数图象上一点．过点A作AB⊥x轴于点B．若OA ＝5，则△AOB的周长为12．
【分析】设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，在直角△AOB中利用勾股定理即可求得a2+b2的值，利用完全平方式即可求得a+b的值，即直角三角形的两直角边的长，则周长即可求得．
解：设A的坐标是（a，﹣b），则ab＝12，
∵OA＝5，
∴a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
故△AOB的周长是：7+5＝12．
故答案是：12．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．据woddometers实时数据显示，截止北京时间5月1日8时30分、全球新冠病毒感染病例突破330万例，死亡病例超过23万例，330万用科学记数法表示为m×10n，则m，n 的值分别是（）
A．3.3，6B．3.3，5C．0.33，7D．3.3，7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将330万用科学记数法表示为3.3×106，则m，n的值分别是3.3，6．
故选：A．
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
9．下列运算正确的是（）
A．2a2b3•3a﹣2b2＝6ab5B．3a（2ab+1）＝5a2b+1
C．（a2b）3＝a5b3D．
【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案．
解：A、2a2b3•3a﹣2b2＝6b5，故此选项错误；
B、3a（2ab+1）＝6a2b+3a，故此选项错误；
C、（a2b）3＝a6b3，故此选项错误；
D、a4÷a6＝，正确．
故选：D．
10．下列几何体中，主视图是三角形的为（）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的观察角度，从物体的正面观察，即可得出答案．
解：A、其三视图是矩形，故此选项错误；
B、其三视图是三角形，故此选项正确；
C、其三视图是矩形，故此选项错误；
D、其三视图是正方形形，故此选项错误；
故选：B．
11．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分）35394244454850
人数（人）2566876根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6＝40，
得45分的人数最多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：＝45，
平均数为：＝44.425．
故错误的为D．
故选：D．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（）
A．B．C．3πD．
【分析】连接OC、OD、OE、BE．根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝180°﹣99°＝81°，由圆周角定理得到∠EOC＝2∠EBC＝162°．结合垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理求出∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，那么∠DOE＝108°，最后利用弧长计算公式求出的长．
解：如图，连接OC、OD、OE、BE．
∵∠EDC＝99°，
∴∠EBC＝180°﹣99°＝81°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝162°．
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴点A平分，
又点D平分，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC，
∵∠EOC＝∠EOA+∠AOD+∠DOC＝162°，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，
∴∠DOE＝108°，
∵直径AB＝10，
∴的长是：＝3π．
故选：C．
13．若关于x的方程无解，则m的值是（）
A．1B．2C．4D．6
【分析】方程两边都乘以x﹣1，化分式方程为整式方程，再由分式方程无解得出x＝1，代入整式方程求解可得．
解：方程两边都乘以x﹣1，得：x+1+2（x﹣1）＝m，
根据题意知x＝1，
将x＝1代入整式方程，得：m＝2，
故选：B．
14．一组数列：2，5，10，17，26…依此类推，第n个数是（）
A．n2+1B．n2﹣1C．n2+2D．n2﹣2
【分析】先观察前5个数分别可由1、2、3、4、5怎么表示，得出一个规律：每个数可用其序号的平方数加1得到，再按此规律写出第n个数便可．
解：2＝12+1；
5＝22+1；
10＝32+1；
17＝42+1；
26＝52+1；
…
由上可知，第n个数为：n2+1．
故选：A．
三、解答题（共9个小题，共70分）．
15．计算：．
【分析】首先根据乘方的意义、负整数指数幂的性质、零次幂的性质和绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
解：原式＝1+4+1+﹣1＝5+．
16．如图，在∠MON的边OM、ON上分别取OA＝OB，AC＝BD．求证：AD＝BC．
【分析】先由OA＝OB，AC＝BD得出OC＝OD，则可用SAS判定△AOD≌△BOC，然后由全等三角形的性质可得答案．
【解答】证明：∵OA＝OB，AC＝BD，
∴OA+AC＝OB+BD，
即OC＝OD．
又∵∠AOD＝∠BOC，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC．
17．2019年第十五届中国（深圳）文博会主题活动一一第九届全国生态旅游文化产业发展高峰论坛暨2019中国最美县城榜单发布会上，云南有7个县市被评为“2019中国最美县城”．分别是：A．景东县；B．罗平县；C．双柏县；D．香格里拉市；E沧源县；F 绥江县；C腾冲市．为了提升云南旅游发展水平，向世界推广七彩云南，某问卷调查网站在网上发起了名为“你最喜欢的云南最美县城”的问卷调查，规定参与同卷调查的每
个人从这七个县城中选择一个．该网站从调查结果中又随机抽取了部分调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是2000，m＝30；
（2）扇形统计圈中“F”对应的图心角为18°；
（3）补全条形统计图；
（4）若参加问卷调查的人数有120000人，请估计最喜欢县城为“B“的人数．
【分析】（1）根据G的人数和所占的百分比求出总人数，再用D的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）用360°乘以F”所占的百分比即可得出答案；
（3）用总人数减去其它县市的人数求出E的人数，从而补全统计图；
（4）用总人数乘以最喜欢县城为“B“的人数所占的百分比即可．
解：（1）这次调查的样本容量是：300÷15%＝2000；
m%＝×100%＝30%，则m＝30；
故答案为：2000，30；
（2）“F”对应的图心角为：360°×＝18°；
故单位：18°；
（3）沧源县的人数有：2000﹣200﹣450﹣200﹣600﹣100﹣300＝150（人），补全统计
（4）根据题意得：
120000×＝27000（人），
答：最喜欢县城为“B“的人数是27000．
18．大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完，试问大、小和尚各有多少人？
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据“有100个和尚分100只馒头正好分完，大和尚一人分3只小和尚3人分一只”列出方程，解方程即可．
解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得
3x+（100﹣x）＝100，
解得x＝25，
100﹣x＝75．
答：大和尚有25人，则小和尚有75人．
19．有形状、大小和质地都完全相同的四张卡片A、B、C、D，正面上分别写有四个实数、、、，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
（1）用面树形图成列表法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（卡片可用A、B、C、
（2）求抽到的两个数都是无理数的概率．
【分析】（1）根据题意，作出树状图，列出所有的情况即可得答案，
（2）根据（1）的树状图，分析可得情况的总数目与都是偶数的情况数目，进而计算可得答案．
解：（1）根据题意，作出树状图可得：
分析可得，共有12种结果，并且每种结果的可能性相等．
（2）根据（1）的树状图，
可得，卡片B、C上的和都是无理数，
P（取到的两个数都是无理数）＝＝．
20．已知，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，顶点P（3，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△MAB的面积为24，求M点的坐标．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝3，求出点A、B的坐标即可求解；
（2）设点M的坐标为：（m，m2﹣6m+5），则△MAB的面积＝AB×|y M|＝×4×|m2﹣6m+5|＝24，即可求解．
解：（1）∵顶点P（3，﹣4），故函数的对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
∴点A、B到对称轴的距离均为2，
故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（5，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（5﹣3）2﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；
（2）设点M的坐标为：（m，m2﹣6m+5），
△MAB的面积＝AB×|y M|×4×|m2﹣6m+5|＝24，
解得：x＝7或﹣1（不合题意的值已舍去），
故点M的坐标为：（﹣1，12）或（7，12）．
21．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣（x﹣100）2+6400，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x+180；
（2）由题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣（x﹣100）2+6400，
∵﹣1＜0，
故当x＜100时，w随x的增大而增大，而30≤x≤80，
∴当x＝80时，w有最大值，此时，w＝6000，
故销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润6000元．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C
作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P＝，AD＝9，求⊙O的半径．
【分析】（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP＝∠D＝90°，即可．
（2）先利用锐角三角函数求出PD，进而求出AP，再由OC∥AD，推出，由此即可计算．
解：（1）结论：PC是⊙O的切线．
理由：连接OC．如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠CAB，
又∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥PD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，AD＝9，tan∠P＝，
∴PD＝＝12，AP＝15，
设半径为r，
∵OC∥AD，
∴，即，
解得r＝，
故半径为．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC边上的中点，DC⊥BC，与BF的延长线交于点D，AE平分∠BAC交BF于点E．
（1）求证：AE∥DC；
（2）若BD＝，求AD的长；
（3）若∠BAC＝30°，AC＝12，点P是射线CD上一点，求CP+AP的最小值．
【分析】（1）延长AE交BC于点N，根据等腰三角形的性质和平行线的判定即可证明；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质可得BN＝CN，再根据平行线等分线段定理可得BE＝DE，从而可以△AEF≌△CDF，再证明四边形AECD是平行四边形，即可得AD ＝CE＝BD；
（3）在∠ACD外作∠DCG＝30°，过CD上一点P′作P′M′⊥CM于点M′，连接AP′，过点A作AM⊥CG交CD于点P，由“垂线段最短”可得，当A、P、M三点共线且AM⊥CM时，CP+AP最小，再根据等腰三角形的性质可得∠ACM＝∠ACD+∠DCM＝45°，根据等腰直角三角形的性质即可求出AM的长，进而得结论．
解：（1）证明：如图，延长AE交BC于点N，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，
∵DC⊥BC，
∴AE∥CD；
（2）连接CE，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴BN＝CN，
又AN∥CD，
∴BE＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴CE＝BD，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
∵AE∥CD，
∴∠EAC＝∠DCA，∠AED＝∠CDE，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF，又AF＝CF，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE＝BD，
即BD＝2AD，
∴AD＝4；
（3）在∠ACD外作∠DCG＝30°，
过CD上一点P′作P′M′⊥CM于点M′，
连接AP′，过点A作AM⊥CG交CD于点P，
在Rt△CP′M′和Rt△CPM中，∠DCG＝30°，
∴P′M′＝CP′，PM＝CP，
∴CP′+AP′＝P′M′+AP′，
CP+AP＝PM+AP＝AM，
由“垂线段最短”可知：
P′M′+AP′≥AM，
∴当A、P、M三点共线且AM⊥CM时，CP+AP最小，
∵∠BAC＝30°，AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝15°，
∵AE∥CD，
∴∠DCA＝∠EAC＝15°，
∴∠ACM＝∠ACD+∠DCM＝45°，
在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，
∴AM＝6，
∴CP+AP的最小值为6．。