高考数学大一轮复习第二章第七节函数的图象教师用书理20

第七节函数的图象
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
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1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线。

首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：
y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位
a <0，左移|a |个单位
y ＝f (x －a )；
y ＝f (x )――――――――――→b >0，上移b 个单位
b <0，下移|b |个单位
y ＝f (x )＋b 。

(2)伸缩变换：
y ＝f (x )
y ＝
f (ωx )；
y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍
0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A
y ＝Af (x )。

(3)对称变换：
y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )。

(4)翻折变换：
y ＝f (x )――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图
将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)；
y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图
将x 轴下方的图象翻折到上方去
y ＝|f (x )|。

微点提醒
1．在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则。

2．注意含绝对值符号的函数图象的对称性，如y ＝f (|x |)与y ＝|f (x )|的图象一般是不同的。

3．记住几个重要结论
(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称。

(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称。

(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称。

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一 、走进教材
1．(必修1P 112A 组T 4改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地。

已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度。

现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )
A ．甲是图①，乙是图②
B ．甲是图①，乙是图④
C ．甲是图③，乙是图②
D ．甲是图③，乙是图④
【解析】 由题知速度v ＝s
t
反映在图象上为某段图象所在直线的斜率。

由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲的与图①符合，乙的与图④符合。

故选B 。

【答案】 B
2．(必修1P113B组T2改编)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
【解析】因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项符合。

【答案】 D
二、双基查验
1．(2016·大连模拟)函数y＝log2|x|的图象大致是( )
【解析】函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，再根据图象关于y 轴对称，作出y轴左侧的图象，应选C。

【答案】 C
2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【解析】由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0,0)点，排除B，D。

故选A。

【答案】 A
3．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过定点( )
A．(1，－2) B．(2，－2)
C．(3，－2) D．(4，－2)
【解析】由已知有f(4)＝2，故函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过定点(4，－2)。

故选D。

【答案】 D
4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．e x＋1B．e x－1
C．e－x＋1D．e－x－1
【解析】依题意，与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x的图象向左平移1个单位得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1。

故选D。

【答案】 D
5．若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝________。

【解析】把y＝lg(x＋1)的图象沿y轴对折得到y＝lg(－x＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得y＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的图象，∴f(x)＝lg(3－x)。

【答案】lg(3－x)
(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝
x ＋2
x －1
； (3)y ＝x 2
－2|x |－1。

【解析】 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
lg x ，x ≥1，
－lg x ，0<x <1，
作出图象如图①。

(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3
x
的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝
x ＋2
x －1
的图象，如图②。

(3)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －1 x ，x 2
＋2x －1 x。

图象如图③。

【答案】 见解析
【母题变式】 将本典例(3)改为y ＝|x 2
－2x －1|，其图象怎样画出？
【解析】 y ＝⎩⎨
⎧
x 2－2x －x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋－2<x <1＋2。

图象如下图。

【答案】 见解析
反思归纳 1.常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x
(m >0)的函数是图象变换的基础；
2．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程。

【拓展变式】 作出下列函数的图象。

(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝
x ＋2
x ＋3。

【解析】 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，
y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2－94
；
当x <2，即x －2<0时，
y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94。

∴y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94
，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋9
4
，x <2。

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)。

(2)y ＝
x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x
向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示。

【答案】见解析
【解析】当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝2x2－e x，
f′(x)＝4x－e x。

f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0，且当0<x<x0时，f′(x)<0；当x0<x≤2时，f′(x)>0。

故f(x)在(0,2]上先减后增，又f(2)－1＝7－e2<0，所以f(2)<1。

故选D。

【答案】 D
反思归纳函数图象的识别可从以下方面入手：
1．根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置；
2．根据函数的单调性，判断图象的变化趋势；
3．根据函数的奇偶性，判断图象的对称性； 4．根据函数的周期性，判断图象的循环往复。

5．取特殊值代入，进行检验。

【变式训练】 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足
为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )
【解析】 由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则d
OM
＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ，∴当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ≤12，排除B 。

故选C 。

【答案】 C
)的图象关于( )
A ．直线y ＝0对称
B ．直线x ＝0对称
C ．直线y ＝1对称
D ．直线x ＝1对称
(2)已知f (x )＝ln(1－x )，函数g (x )的图象与f (x )的图象关于点(1,0)对称，则g (x )的解析式为________。

【解析】 (1)方法一：设t ＝x －1，则y ＝f (t )与y ＝f (－t )，关于t ＝0对称，即关于
x ＝1对称。

故选D 。

方法二：y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象分别由y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象同时向右平
移一个单位而得，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称。

∴y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称。

故选D 。

(2)设P (x ，y )为函数y ＝g (x )上任意一点，则点P (x ，y )关于点(1,0)的对称点Q (2－x ，－y )在函数y ＝f (x )图象上，即－y ＝f (2－x )＝ln(x －1)。

∴y ＝－ln(x －1)，∴g (x )＝－ln(x －1)。

【答案】 (1)D (2)g (x )＝－ln(x －1)
反思归纳 1.求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程。

一般运用相关点求轨迹的方法。

2．下列结论需记住：
(1)y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称； (2)y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称； (3)y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称； (4)y ＝f (x )与y ＝f (2m －x )的图象关于直线x ＝m 对称。

【变式训练】 (1)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称。

( )
A ．(1,0)
B ．(－1,0)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0 (2)求证：若函数f (x )满足对任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图象关于
直线x ＝a 对称。

【解析】 (1)f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由
f (2x ＋1)的图象向右平移12
个单位得到的，故关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2
，0成中心对称。

故选C 。

(2)证明：设P (x 0，y 0)为函数y ＝f (x )图象上任意一点。

则P (x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为Q (2a －x 0，y 0)。

∵f (2a －x 0)＝f [a ＋(a －x 0)]＝f [a －(a －x 0)]＝f (x 0)＝y 0， ∴点Q (2a －x 0，y 0)也在函数y ＝f (x )的图象上。

∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称。

【答案】 (1)C (2)见解析
【典例4】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2
－2x ，x <0，
画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减。

故选C 。

【答案】 C
角度二：利用图象研究函数的零点
【典例5】 (2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|x |，x ≤m ，x 2
－2mx ＋4m ，x >m ，
其中m >0。

若存
在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________。

【解析】 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，
x 2
－2mx ＋4m ，x >m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2
＋4m
－m 2
，其顶点为(m,4m －m 2
)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )。

①
当⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，
4m －m 2
≥m ，
即0<m ≤3时，函数f (x )的图象如图①所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的
图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨
⎪⎧
4m －m 2
<m ，m >0，
即m >3时，函数f (x )的图象
如图②所示，则存在实数b 满足4m －m 2
<b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意。

综上，m 的取值范围为(3，＋∞)。

【答案】(3，＋∞)
反思归纳 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系。

2．利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想。

【变式训练】(1)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝
1
f x
的单调区间表述正确的是( )
A．在[－1,1]上单调递增
B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增
C．在[5,7]上单调递增
D．在[3,5]上单调递增
(2)(2017·丹东模拟)函数f(x)＝
1
|x|－a
－b(a>0)的图象因酷似汉字的“囧”字，而被称
为“囧函数”。

则方程1|x |－1
＝x 2
－1的实数根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 (1)由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝
1
f x
在x ＝0，x ＝3，
x ＝6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B 。

(2)方程1|x |－1＝x 2－1的根个数转化为函数y ＝1|x |－1与y ＝x 2
－1的图象交点个数，作
出这两个函数的图象如图所示，图象的交点一共有3个。

故选C 。

【答案】 (1)B (2)C
1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
，x <0，
2x
－1，x ≥0
的图象大致是( )
解析 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x
的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B 。

故选B 。

答案 B
2．(2017·岳阳一中月考)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致是( )
解析 由于函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是偶函数，故其图象关于y 轴对称。

当x >0时，
f (x )＝lo
g a |x |＋1(0<a <1)是减函数；当x <0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是增函数。

再由图
象过点(1,1)，(－1,1)，可知应选A 。

答案 A
3．为了得到函数y ＝2
x －3
－1的图象，只需把函数y ＝2x
的图象上所有的点( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析 y ＝2x
―――――――――――→向右平移3个单位长度
y ＝2x －3
―――――――――――→向下平移1个单位长度
y ＝2x －3
－1。

故选A 。

答案 A
4．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________。

解析 由题意a ＝|x |＋x 。

令y ＝|x |＋x ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有
一解，则a >0。

答案 (0，＋∞)
5．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，
2|x |
，x ≤0，则函数y ＝2f 2
(x )－3f (x )＋1的零点个
数是________。

解析 方程2f 2
(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1。

作出y ＝f (x )的图象，由图象知
零点的个数为2＋3＝5。

答案 5。