课件9：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

合作探究 类型1 数乘向量的定义及其几何意义 例 1 (1)若两个非零向量 a 与(2x－1)a 方向相同，则 x 的 取值范围为___． (2)若平面内不共线的四点 O，A，B，C 满足O→B＝13O→A＋ 23O→C，则||BA→ →CB||＝______.
(3)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)， 且 AB∶AC＝2∶3. ①用B→C表示A→B； ②用C→B表示A→C.
∴a＝36λλ＋ －48bλ≠43， ∴a 与 b 共线． 当 λ＝43时，b＝0，∴a 与 b 共线．
探究 3 设两非零向量 e1 和 e2 不共线，是否存在实数 k， 使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线？ 【答案】 设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2. ∵e1 与 e2 不共线， ∴只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0，则 k＝±1.

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1．掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2．掌握向量共线定理的应用．(难点) 3．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)
基础·初探 教材整理 1 向量的数乘运算 1．定义：一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 __向__量__，这种运算叫做_向__量__的__数__乘__，记作__λ_a___． 2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当__λ_>_0__时，λa 的方向与 a 的方向_相__同___；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__反__； 当 λ＝0 时，λa＝_0_．
课堂检测
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．a＋3b
C．|3a|
D．x－1 ye(x，y∈R，且 x≠y)
【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|
不是向量．
【答案】 C
2．下列计算正确的个数是( C ) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b) －(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3
例 3 已知非零向量 e1，e2 不共线． 如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)， 求证 A、B、D 三点共线．
证明：∵A→B＝e1＋e2， B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2 ＝5(e1＋e2) ＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，且有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线．
【答案】 B
探究点 向量共线问题 探究 1 已知 m，n 是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m －8n，判断 a 与 b 是否共线？ 【答案】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到 一个实数 λ，使得 a＝λb 即可． 若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb， 即 3m＋4n＝λ(6m－8n)．
跟踪训练 1．已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明 理由． (1) 2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)－3a 的方向与 6a 的方向相反，且－3a 的模是 6a 的模的12； (3)－4a 与 4a 是一对相反向量； (4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量； (5)若 a，b 不共线，则 0·a 与 b 不共线.
(3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知． (4)假命题． ∵a－b 与 b－a 是相反向量， ∴a－b 与－(b－a)是相等向量． (5)假命题.0·a＝0，∴0·a 与 b 共线．
类型 2 向量的线性运算 例 2 (1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________. (2)已知向量 a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)， 则 x＝________.
对于任意向量 a、b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b) ＝__λ_μ_1_a_±__λ_μ_2b___．
预习自测 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于 点 O，A→B＋A→D＝λA→O，则 λ＝________.
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知A→B＋A→D＝ A→C， 又∵O 是 AC 的中点，∴AC＝2AO， ∴A→C＝2A→O，∴A→B＋A→D＝2A→O， ∴λ＝2. 【答案】 2
12b－34b＋(c＋c)＝a－14b＋2c.故选 A．
4．O 为平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝4e1，B→C＝ 6e2，则 3e2－2e1＝________． 【解析】 设点 E 为平行四边形 ABCD 的 BC 边中点， 点 F 为 AB 边中点，则 3e2－2e1＝B→E＋B→F＝B→O＝O→D. 【答案】 O→D(或B→O)
5．在四边形 ABCD 中，A→B＝a＋2b，B→C＝－4a－b，
C→D＝－5a－3b，证明：直线 AD∥BC．
证明：∵A→D＝A→C＋C→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(a＋2b)＋ (－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝ 2B→C，∴A→D与B→C共线．
又 AD 与 BC 不重合，∴直线 AD∥BC．
名师点津 1．本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共 线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问 题，也可以根据共线求参数的值． 2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向 量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
跟踪训练 3．设两个非零向量 e1，e2 不共线，已知A→B＝2e1＋ke2， C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2.问：是否存在实数 k，使 得 A、B、D 三点共线，若存在，求出 k 的值；若不 存在，说明理由．
解：(1)真命题．∵ 2>0，∴ 2a 与 a 同向， ∵| 2a|＝ 2|a|， ∴ 2a 的模是 a 的模的 2倍． (2)真命题．∵－3<0， ∴－3a 与 a 方向相反且|－3a|＝3|a|， 又∵6>0，∴6a 与 a 方向相同且|6a|＝6|a|， ∴－3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的12.
【解析】 (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋ 3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c. (2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以 2x－a－b＝ x－a－b，即：x＝0. 【答案】 (1)－a＋5b－2c (2)0
名师点津 向量数乘运算的方法： (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运 算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的 “同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
3．运算律： 设 λ，μ 为实数，则 (1)λ(μa)＝__λ_μ_a__； (2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a_； (3)λ(a＋b)＝__λa_＋__λ_b__． 特别地，我们有 (－λ)a＝_－__(λ_a_)__＝_λ_(－__a_)_，λ(a－b)＝__λ_a_－__λ_b_．
解：设存在 k∈R，使得 A、B、D 三点共线， ∵D→B＝C→B－C→D＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2， A→B＝2e1＋ke2. 又∵A、B、D 三点共线，∴A→B＝λD→B， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴2k＝＝4－λ λ，∴k＝－8， 所以存在 k＝－8，使得 A、B、D 三点共线．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用解代数方程的方法解，同时在运算过 程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练
2．化简1312（2a＋8b）－（4a －2b）的结果是(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
【解析】 原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13 (6b－3a)＝2b－a.
∵m，n 不共线，∴6－λ＝8λ3＝，4. ∵不存在 λ 同时满足此方程组，∴a 与 b 不共线．
探究 2 已知 e1，e2 是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1 －8e2，则 a 与 b 是否共线？ 【答案】 ∵e1，e2 共线， ∴存在 λ∈R，使 e1＝λe2. ∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2，
预习自测 设 a 是非零向量，λ 是非零实数，则以下结论正确的有 ________． ①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa|≥|a|； ③a 与 λ2a 方向相同； ④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确． 【答案】 ③④
教材整理 2 共线向量与向量的线性运算 1．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 _b_＝__λ_a__． 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的__线__性__运算．
(2)2
(3)解：如图 a，因为点 C 在线段 AB 的延长线上，且
AB∶AC＝2∶3，所以 AB＝2BC，AC＝3BC．
①如图 b，向量A→B与B→C方向相同，所以A→B＝2B→C； ②如图 c，向量A→C与C→B方向相反，所以A→C＝－3C→B.
名师点津 对向量数乘运算的三点说明： (1)λa 中的实数 λ 叫做向量 a 的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把 a 沿着 a 的方向或 a 的 反方向扩大或缩小． (3)当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝0.注意是 0，而不是 0.
【解析】 因为(－3)·2a＝－6a 故①正确；②中左＝
2a＋2b－2b＋a＝3a 成立，故②正确；③中左＝a＋2b
－2b－a＝0≠0，故③错误．
3.3a＋12b＋c－2a＋34b－c等于( A )
A．a－14b＋2c
B．5a－14b＋2c
C．a＋54b＋2c
D．5a＋54b
【 解 析 】 3a＋12b＋c － 2a＋34b－c ＝ (3a － 2a) ＋
【解析】
(1)由定义可知，2x－1>0，即
1 x>2.
(2)因为O→B＝13O→A＋23O→C，所以O→B－O→A＝13O→A＋23O→C－O→A，
即A→B＝23A→C，所以|A→B|＝23|A→C|， ①
同理可得|C→B|＝13|C→A|， ②
①÷②得||CA→ →BB||＝2.
【答案】
1 (1)x>2