完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

完全平方公式
【知识梳理】
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）
【考点剖析】
一．完全平方公式（共21小题）
1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）
A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2
C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；
B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；
C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；
D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．
【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．
【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2
＝[（a﹣2b）﹣3c]2
＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2
＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．
【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵a+b＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，
即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．
【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．
【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．
【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．
【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，
2a2+7ab+2b2
＝2（a2+b2）+7ab
＝2×22+7×3
＝44+21
＝65．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．
【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．
8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）
＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2
＝﹣3x2+4xy+3y2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．
9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）
＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2
＝﹣2a2+ab﹣3b2．
【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．
【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．
故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．
【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）
＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）
＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6
＝﹣2x2﹣25x+31．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；
②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；
③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；
④a2+4a2＝5a2，原计算错误．
所以小刚做对的题数是0个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．
13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．
【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2
＝10x2+12xy+10y2
＝10（x2+y2）+12xy
＝10（x+y）2﹣8xy，
当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．
故答案为：304．
【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2
＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2
＝8x2．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）ab．
【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；
（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，
∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，
∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．
【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）
＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²
＝2x²+7xy﹣15y²．
【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．
【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），
2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，
2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，
﹣13x＝﹣33，
∴x＝．
【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．
19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．
【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．
【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2
∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．
x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．
20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．
【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），
当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）
若有其他方法，可参照答案，给分．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：
计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；
第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；
第三步：32＝9
第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．
（1）依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；
第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；
第三步：12＝1
492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．
（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．
（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．
（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．
（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：6×（6+1）＝42；
第二步：3×7＝21
第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．
写出上述过程所依据的计算公式．
（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．
【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；
（2）同理可得结论；
（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；
（4）代入（2）中的公式可得结论；
（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；
（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【解答】解：（1）依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；
第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；
第三步：12＝1；
第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．
故答案为：25，1，1；
（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．
故答案为：25，n，n；
（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，
右边＝n2﹣100n+2500，
∴左边＝右边，
∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；
（4）562＝（50+6）2＝（25+6．
（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；
故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；
（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]
＝（10a+b）（10a﹣b+10）
＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b
＝100a2+100a+10b﹣b2，
右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）
＝100a（a+1）+b（10﹣b）
＝100a2+100a+10b﹣b2，
∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．
【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．
二．完全平方公式的几何背景（共5小题）
22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．
A．25B．10a C．25+5a D．25+10a
【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．
【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）
新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2
所以增加的面积＝（10a+25）cm2．
故本题选D．
【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．
23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）
A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2
【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．
【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．
∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．
故选：C．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．
24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）
A．B．
C．4a2+b2D．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．
【解答】解：（）2
＝
＝++，
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．
25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．
【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．
【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），
所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，
故答案为：4a2+4ab+b2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．
【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．
【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．
空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+
【答案】C
【分析】根据完全平方公式判断即可．
【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；
C ：()()()2
477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；
D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C ．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（ ）
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴
()()2
2
22252325619
x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，
故选：C ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）
①()2
3320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．
【详解】解：①
()252
3630
x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；
②22222
()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；
③2468
2366x x x x ⋅=≠，原计算错误；
④
()2
2222
(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．
综上，四个计算都是错误的， 故选：D ．
【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．
4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为
b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的
有（ ）.
① ()2
28a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④
【答案】A
【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，
∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，
∴a2+2ab+b2=132，
∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确， 由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，
∴，
∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确， 故选：A ．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．
5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（ ）2cm ．
A ．25
B ．10a
C ．255a +
D ．2510a +
【答案】D
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：22
(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2
cm ，
故选：D ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（ ） A ．0 B ．3
C ．20052
D ．200532⋅
【答案】B
【分析】根据已知，得到(
)()2
22230
a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出(
)()()2
22
1110
a b c −+−+−=，
然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出2011
20112011a
b c ++的值．
【详解】解：3a b c ++=，222
3a b c ++=，
()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，
()()()2222121210
a a
b b
c c ∴−++−++−+，
()()()2
2
2
1110
a b c ∴−+−+−=，
10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，
0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，
故选B ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出
()
()()2
22
1110
a b c −+−+−=是解题关键．
二、填空题
7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）
【答案】6x （答案不唯一）
【分析】利用完全平方公式解答即可．
【详解】解：()2
296131x x x ++=+．
故答案为：6x （答案不唯一）
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________． 【答案】6±
【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，
6k ∴=±
故答案为：6±．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________． 【答案】2±
【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()2
2239369
x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．
【详解】解：由完全平方公式可知
()2
2239369
x mx x x x −+=±=±+，
36m ∴−=±，解得2m =±，
故答案为：2±．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．
10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______． 【答案】5
【分析】首先将22
a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．
【详解】∵3a b +=，2ab =，
∴
22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22
a b +变形为2()2a b ab +−．
11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________． 【答案】8
【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据22
20a b +=，即可得到ab 的值．
【详解】解：∵6a b +=，22
20a b +=，
∴222
()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，
∴8ab =， 故答案为：8．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
【答案】2
【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出2
2
1
m m +的值． 【详解】∵1
2m m +=， ∴21
(
)4m m +=， ∴22
1
24m m ++=， ∴22
1
2m m +=
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________． 【答案】10
【分析】根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵3x y −=，22
29x y +=，
∴
()()2
22292920
x y x y xy −−+=−=−=−
∴10xy =， 故答案为：10．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
【答案】 14 194
【分析】根据完全平方公式得出
2
2
2111
2x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅
⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2
424211x x x x ⎛⎫
+=+− ⎪⎝⎭ 221
2x x ⋅⋅，代入求出即可．
【详解】解： 1
4x x +
=，
∴2
116
x x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，
∴221
216x x ++
=，
∴
221
14x x +
=
∴2
221196
x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
∴441
2196x x ++=
∴
441
194x x +
=．
故答案为：14；194．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注
意：完全平方公式为
()2
22
2a b a ab b +=++和
()2
22
2a b a ab b −=−+．
本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累
1
x x +
的变化方式．
15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−
【分析】根据完全平方式的一般形式22
2a ab b ±+求解即可．
【详解】解：
216x ax ++是一个完全平方式，
248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,
故答案为：8±．
【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．
【答案】7
【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程2
310x x −+=两边同时除以字母x 得：1
30x x −+
=，
1
3x x ∴+
=
21
()9
x x ∴+=
221
29x x ∴++
=
2217x x ∴+
=
故答案为：7．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．
17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()2
22m m m −++值为___________． 【答案】14
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解：
()()
2
22m m m −++
22244m m m m =−+++ 2224m m =++
∵2
5m m +=，
∴原式
()
2=24=254=14
m m ++⨯+．
故答案为：14．
【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式
()2
22
2a b a ab b ±=±+是
解题关键．
18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2
222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()2
2
2
x y y z z x −+−+−的最大值是______． 【答案】12
【分析】根据已知条件化简
()()()222
x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进
而即可求解．
【详解】∵
222
4y x z ++=， ∴
()()()222
x y y z z x −+−+−
222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−
()
2222x y z xy yz xz =++−−−
()
82xy yz zx =−++；
∵
()2
222222x y z x y z xy xz yz
++=+++++，
∴
()(
)2
222
222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+
∴原式=()
2
2228x y z x y z +++−++
()
2
12x y z =−++， ()
2
x y z ++≥，
∴原式12≤．
故原式的最大值是12； 故答案为：12．
【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．
三、解答题
【答案】2
2
2x y +，4
2
【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．
【详解】解：22
()[2()]x y x x x y −−−+
22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++
222x y =+，
把1
2x =
，=2y −代入得，
原式
2
2
2
211122(2)244
242x y ⎛⎫
=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()2
24321x x x +−−−． 【答案】97x −
【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：
()()()2
24321x x x +−−
224386441x x x x x =−+−−+−
97x =−．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2． 【答案】912.04
【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：2
30.2
()
2
300.2=+
22302300.20.2=+⨯⨯+
900120.04=++
912.04=
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握
2
222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+． 【答案】
3
2x =
【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．
【详解】解：22
(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，
2221441233x x x x x +−−−+=−，
14123x x −−+=−， 23x −=−，
解得：
32x =
．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为2
68cm ．
【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．
【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为2
16cm ， ∴1016a b ab +==，，
正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22
a b +，
∵
()()
2
2222
21021668cm
a b a b ab
+=+−=−⨯=
．
∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为2
68cm．
【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452
cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452
cm，这时原来边长是多少呢？
【答案】6cm；9cm
【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452
cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．
【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22
345
x x
+=+
，解得：6
x=．
∴正方形原来的边长为6cm．
设原来正方形的边长为y cm，则()22
345
y y
−=−
，解得：9
y=．
∴正方形原来的边长为9cm．
【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．
【答案】(1)12
(2)①6；②17 (3)9
2
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；
（3）表示两个正方形的面积
1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算
阴影部分面积．
（1）
∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=， 又∵
2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，
∴12xy =；
（2）
①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；
②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；
（3）
∵AB ＝6，
∴22()6AC BC +=，
∴22236AC AC BC BC ++=，
又∵1218S S +=，
∴2218AC BC +=，
∴9AC BC =，
∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．
【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．
26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；（2）28．
【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，
a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）
∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，
则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，
a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主
要围绕图形面积展开分析．。