专题08 解三角形-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)

专题08
解三角形
考点三年考情（2022-2024）命题趋势
考点1：正余弦定理综合应用2023年天津高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年北京高考数学真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2024年天津高考数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
高考对本节的考查不会有大的变
化，仍将以考查正余弦定理的基
本使用、面积公式的应用为主．从
近三年的全国卷的考查情况来
看，本节是高考的热点，主要以
考查正余弦定理的应用和面积公
式为主．
考点2：实际应用2024年上海夏季高考数学真题2022年新高考浙江数学高考真题
考点3：角平分线、中线、高问题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题
考点4：解三角形范围与最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题
考点5：周长与面积问题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年北京高考数学真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题
考点6：解三角形中的
几何应用
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
考点1：正余弦定理综合应用
1．
（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知39,2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．
(1)若2A B =，求C ；(2)证明：222
2a b c =+3．
（2023年北京高考数学真题）在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）
A ．
π
6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5
C π
=
，则B ∠=（）A ．
10π
B ．
5
π
C ．
310
πD ．
25
π5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3
B =，2
9
4
b a
c =
，则sin sin A C +=（
）A ．
23913
B ．
3913
C ．
72
D ．
31313
6．
（2024年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92
cos 5163
a B
b
c ===，，．
(1)求a ；(2)求sin A ；
(3)求()cos 2B A -的值．
7．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知
16,2,cos 4
a b c A ===-.
(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.
考点2：实际应用
8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=
(精确到0.1度)
9．
（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
2
22222142c a b S c a ⎡⎤
⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
a ，
b ，
c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =
．
考点3：角平分线、中线、高问题
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =
．
考点4：解三角形范围与最值问题
12．
（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC
AB
取得最小值时，BD =．
13．（2022年新高考全国I 卷数学真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++．
(1)若23
C π
=
，求B ；(2)求
22
2
a b c +的最小值．14．
（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅
的取值范围是（）A ．[5,3]
-B ．[3,5]
-C ．[6,4]
-D ．[4,6]
-考点5：周长与面积问题
15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知sin 2C B ，2222a b c +-(1)求B ；
(2)若ABC 的面积为33，求c ．
16．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 32A A =．(1)求A ．
(2)若2a =2sin sin 2b C c B =，求ABC 的周长．
17．（2024年北京高考数学真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，3
sin 2cos 7
B B =
．(1)求A ∠；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13
cos 14B =
；条件③：5sin 32
c A =
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．
(1)证明：2222a b c =+；(2)若25
5,cos 31
a A ==
，求ABC 的周长．
19．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；
(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．
20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222
2cos b c a A
+-=．
(1)求bc ；(2)若
cos cos 1cos cos a B b A b
a B
b A c
--=+，求ABC 面积．
21．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC ∠；
(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.
22．（2022年新高考浙江数学高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5
a c C ==．
(1)求sin A 的值；
(2)若11b =，求ABC 的面积．
23．
（2022年新高考全国II 卷数学真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331
23
S S S B -+=．(1)求ABC 的面积；(2)若2
sin sin 3
A C =
，求b ．考点6：解三角形中的几何应用
24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 3D 为BC 中点，且1AD =．
(1)若π
3
ADC ∠=
，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．。