专题04 整式的乘除(原卷版)

专题04整式的乘除
【热考题型】
【知识要点】知识点一幂的运算
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

n
m n m a a a +=·（其中m、n 为正整数）
【注意事项】
1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

例：a·a 2＝a 1＋2
＝a 3
3）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数）
【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即p
n m p n m a a a a ++=··（m，n，p 都是正整数）
考查题型一同底数幂的乘法
典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2
·a （）
A．a
B．3a
C．2a
2
D．a
3
变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）
A．8
10B．12
10C．16
10D．24
10变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（
）
A．8B．6C．5D．2
变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（）
A．0.11B．1.1
C．11
D．11000
易错点总结：
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mn
n
m a a =)((其中m，n 都是正整数).
【注意事项】
1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

2）逆用公式：m
n n m mn
a a a
)()(==【扩展】mnp
p
n m a
a =))(((m，n，p 均为正整数)
考查题型二幂的乘方
典例2．（2022·山东泰安·中考真题）计算（a 3
）2
•a 3
的结果是（）A．a
8
B．a
9
C．a
10
D．a
11
变式2-1．（2022·四川成都·中考真题）计算：()2
3a -=______．
变式2-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知1020a =，10050b =，则1322
a b ++的值是（
）
A．2
B．
5
2
C．3D．
92
变式2-3．（2020·河北·中考真题）若k 为正整数，则(++⋅⋅⋅+
个
)=（
）
A．2k
k B．21
k k +C．2k
k D．2k
k +易错点总结：
积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

n
n n b a ab ·)(=(其中n 是正整数)。

【注意事项】逆用公式：n
n n ab b a )(·=【扩展】n
n n n c b a abc ·)(=(n 为正整数)
考查题型三积的乘方
典例3．（2022·湖北武汉·中考真题）计算()3
42a 的结果是（）A．12
2a B．12
8a C．7
6a D．7
8a 变式3-1．（2022·福建·中考真题）化简()2
23a 的结果是（）A．2
9a B．2
6a C．4
9a D．4
3a 变式3-2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算()2
32x x -⋅正确的是（）
A．3
6x B．3
12x C．3
18x D．3
12x -易错点总结：
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。

n m n m a a a -=÷（a≠0，m、n 都是正整数，且m＞n）
【注意事项】
1）0不能做除数的底数。

2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3）注意指数为1的情况，如x 8÷x=x 7，计算时候容易遗漏将除数x 的指数忽略。

4）逆用公式:n m n
m a a a
÷=-（a≠0，m、n 都是正整数，并且m＞n）
【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：p
n m p
n
m
a a a a --=÷÷（a≠0，m、n、p 都
是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。

零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。

a 0
＝1（a≠0）
负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即n
n
a a 1
-=
（a≠0，n 是正整数）.【注意】：
1）a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。

例如：)0(21)2(1≠=-xy xy
xy 。

2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。

①n
m n
m
a a a +=·(其中m，n 为整数，a≠0);②mn
n m a
a =)((其中m，n 为整数，a≠0);
③n
n n b a ab ·)(=(其中n 为整数，a≠0，b≠0)。

考查题型四同底数幂的除法
典例4．（2022·河北·中考真题）计算3a a ÷得?a ，则“？”是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
变式4-1．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a 2
的是（）
A．a 3
﹣a
B．a +a C．a •a D．a 6÷a
3
变式4-2．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
变式4-3．（2022·江苏常州·中考真题）计算：42÷=m m _______．易错点总结：
考查题型五幂的混合运算
典例5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于9a 的是（）
A．36
+a a B．36
a a ⋅C．10a a
-D．182
÷a a 变式5-1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（）A．34
a a a +=B．623
a a a ÷=C．()3
25
a a =D．34
a a a ⋅=变式5-2．）
A．339
a a a ⋅=B．()3
3
28a a -=-C．()3
1024
a a a ÷-=D．()()2
224
a a a -+--=+变式5-3．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（）
A．235a a a ⋅=B．()2
35
a a =C．2
2
()ab ab
=D．6
32(0)
a a a a
=≠变式5-4．（2022·辽宁锦州·中考真题）下列运算正确的是（）A．()2
224
48ab a b -=B．633a a a -÷=-C．326
22a a a ⋅=D．336
2a a a +=变式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列运算错误．．的是（）A．336
x x x ⋅=B．826
x x x ÷=C．()2
36
x x =D．336
x x x +=
易错点总结：
知识点二整式乘除⏹
单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：
【注意】
1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。

2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。

考查题型六单项式乘单项式
典例6．3()()a b -⋅-的结果是（）
A．3ab
-B．3ab
C．3a b
-D．3a b
变式6-1．（2022·陕西·中考真题）计算：()
2323x x y ⋅-=（
）A．336x y B．236x y -C．33
6x y -D．33
18x y 变式6-2．（2022·湖南常德·中考真题）计算434x x ⋅的结果是（）
A．x B．4x
C．7
4x D．11
x 易错点总结：
⏹单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【注意事项】
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。

（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：mc
mb ma c b a m -+-=+--)(3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。

考查题型七单项式乘多项式
典例7．（2022·山东临沂·中考真题）计算()1a a a +-的结果是（）A．1
B．2
a C．22a a
+D．21
a a -+变式7-1．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中1
2
x =
．变式7-2．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．例先去括号，再合并同类项：m （A ）−6(+1)．
解：m （A ）6(1)m -+2
666m m m =+--=
．
易错点总结：
多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【注意事项】
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。

多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

考查题型八多项式乘多项式
典例8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：(2)(32)2(2)x x x x +--+，其中1x =．
变式8-1．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了()n
a b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8
a b +展开式的系数和是（）
A．64B．128
C．256
D．612
易错点总结：
⏹单项式÷单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⏹
多项式÷单项式
【解题思路】
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。

考查题型九多项式/单项式除单项式
典例9．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（）
A．2()a ab a a b +÷=+B．22a a a ⋅=C．222
()a b a b +=+D．325
()a a =变式9-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（）
A．2m +2n ＝2m +
n B．3﹣2
＝﹣9C．（2x ）3
＝8x
3
D．10b 6
÷2b 2
＝5b
3
变式9-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）
A．2ab ab b
÷=B．222
()a b a b -=-
C．448235m m m +=D．33
(2)6-=-a a 易错点总结：
知识点三乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a 2－b 2(特征：用相同项的平方减相反项的平方。

)【扩展】常见平方差公式的变形
1位置变化：如2
2))((b
a a
b b a -=+-+2系数变化：如2
222259)5()3()53)(53(y x y x y x y x -=-=-+3指数变化：如4
6
2
22
32
3
2
3
)()())((n
m n m n m n m -=-=-+4符号变化：如2
2
))(--(a b b a b a -=-（相同项为b,“相反项”为a）5增项变化：如2
2
)())((n
p m p n m p n m -+=+-++6
增因式变化：如8
844444422224
4
2
2
))(())()(())()()(-(b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a -=+-=++-=+++【注意事项】
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。

2）公式中的字母a、b 可以是一个数、一个单项式、一个多项式。

所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

考查题型十运用平方差公式进行计算
典例10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（）
A．13
B．8
C．－3
D．5
变式10-1．（2022·山西·中考真题）化简216
39
a a ---的结果是（）
A．
1
3
a +B．3a -C．3
a +D．13
a -变式10-2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（）A．a ²+a ³=a 6
B．（ab ）2=ab 2
C．（a +b ）²=a ²+b ²
D．（a +b ）（a -b ）=a ²-b 2
变式10-3．（2022·天津·中考真题）计算1)的结果等于___________．
变式10-4．（2022·四川广安·中考真题）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2
+2b +9的值为________．
变式10-5．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中1
1,2
x y ==
．变式10-6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a ，b 的正方形秧田A ，B ，其中不能使用的面积为M ．
(1)用含a ，M 的代数式表示A 中能使用的面积___________；(2)若10a b +=，5a b -=，求A 比B 多出的使用面积．
易错点总结：
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a 2＋2ab＋b 2
（a－b）2＝a 2－2ab＋b 2
【扩展】
扩展一(公式变化)：()2
2
2
2a b a b ab +=+-()2
2a b ab
=-+扩展二：2
222)
()(22b a b a b a -++=+()
()2
2
4a b a b ab
+=-+扩展三：4
)()(22b a b a ab --+=
【补充】：
2
()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=± 33223
()33a b a a b ab b ±=±+±
2222()222a b c a b c ab ac bc
++=+++++考查题型十一运用完全平方公式进行计算
典例11．（2022·江西·中考真题）下列计算正确的是（）
A．236
m m m ⋅=B．()m n m n --=-+C．2()m m n m n
+=+D．222
()m n m n +=+变式11-1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（）A．24
B．
44
3
C．
163
D．4
-变式11-2．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（
）
A．222()2a b a ab b +=++B．222()2a b a ab b -=-+C．22
()()a b a b a b +-=-D．222
()ab a b =变式11-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：()2
2x y +=（）A．22
44x xy y ++B．22
24x xy y ++C．22
42x xy y ++D．22
4x y +变式11-4．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2
=25，（x﹣y）2
=9，则xy=___．变式11-5．（2022·四川乐山·中考真题）已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．
变式11-6．（2022·江苏泰州·中考真题）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠用“＜”表示
a b c 、、的大小关系为________.
变式11-7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设5a 是一个两位数，其中a 是十位上的数字（1≤a ≤9）．例如，当a ＝4时，5a 表示的两位数是45．(1)尝试：
①当a ＝1时，152
＝225＝1×2×100＋25；②当a ＝2时，252
＝625＝2×3×100＋25；
③当a ＝3时，352＝1225＝
；
……(2)归纳：5a 与100a (a ＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若25a 与100a 的差为2525，求a 的值．变式11-8．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22
212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．变式11-9．（2022·江苏常州·中考真题）计算：
(1)201(3)3---+π；
(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．
变式11-10．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x +
1x
＝3，求下列各式的值：(1)（x ﹣1x ）2；(2)x 4+41x ．
变式11-11．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．
例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；
又如：4325M =，∵225229+=，2943≠，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c d G M +=，()()()
103a c b d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．
易错点总结：
整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。

考查题型十二整式的混合运算
典例12．（2022·广东广州·中考真题）已知T =()()()2
2
32323a b a b a b a +++-+(1)化简T ；
(2)若关于x 的方程2210x ax ab +-+=有两个相等的实数根，求T 的值．
变式12-1．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a +2b ）2
+（a +2b ）（a -2b ）+2a （b -a ），其中a
b 变式12-2．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值．变式12-3．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：()()()2
443x x x +-+-，其中2310x x -+=．
变式12-4．（2022·贵州安顺·中考真题）(1)计算20(1)( 3.14)2sin 601π-+-++-︒(2)先化简，再求值：2(3)(3)(3)2(1)x x x x x +++--+，其中12
x =．易错点总结：
知识点四因式分解（难点）
概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

【注意事项】
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。

2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。

4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝（a＋b）
2a 2－2ab＋b 2＝（a－b）
2
考查题型十三因式分解典例13．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（
）A．21(1)1
x x x x --=--B．221(1)x x -=-C．26(3)(2)x x x x --=-+D．2(1)x x x x
-=-变式13-1．（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（
）A．()1
ax ay a x y +=++B．()333a b a b +=+C．()22444a a a ++=+D．()
2a b a a b +=+变式13-2．（2022·广西河池·中考真题）多项式244x x -+因式分解的结果是(
)
A．x （x ﹣4）+4B．（x +2）（x ﹣2）C．（x +2）2D．（x ﹣2）2变式13-3．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是()
A．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）
B．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2）
变式13-4．（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a 2+2a 分解因式得（）
A．a （a +2）B．a （a ﹣2）C．（a +2）2D．（a +2）（a ﹣2）
变式13-5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式()()()()()()
234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()
24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将222ax a ab bx b +--+因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和()b a b >，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．
易错点总结：。