【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)理数试题
2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 分科综合卷 理科数学(三)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 为虚数单位），其共轭复数为，则为（）B. D.【答案】C2. ，（其中，，）B.D.【答案】A为钝角，.3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）B. C.【答案】B故4. 4次，至少有3次通过的概率为（）【答案】A5. ，）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】通过归纳得，故解得.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...6. 的左顶点为为（）【答案】D7. 图像上的所有点向右平移调递增，则的最大值为（）【答案】D递增，故的最大值为8. 若输出的则判断框中应填入的条件是（）【答案】B9. 朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）A. 350升B. 339升C. 2024升D. 2124升【答案】D.10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）【答案】B，故11. 如图所示，中，）B. 2 D. 4【答案】A【解析】故四边形所成角的正切值为【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，考查两条异面直线所成的角.要求两条异面直线所成的角，思路是将它们平移到同一个平面、同一个三角形内，然后利用解三角形来求得它们所成角的大小或某个三角函数值.本题中通过平行四边形构造了线线平行，解这个直角三角形即可得到所求.12. 为函数生点对”，则实数的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A.处取得极小值.根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对，关于原点对称即为第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.14. 如图所示，的三等分点，则向量__________．【解析】设正方形的边长为【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算.由于题目所给图形为正方形，故考虑建立平面直角坐标系，利用坐标来计算会使得运算简单明了.作为正方形的边长，再根据.15.）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．设双曲线方程为，解得【点睛】本题主要考查平面解析几何的思想方法，将几何问题代数化.由于题目涉及到双曲线，故首先建立点应该在双曲线图像的上方，由此可列不等式，求得的范围，进而求得离心率的范围.16. ，则数列．【解析】当时，2为底的对数可得1为首项，2为公比的等比数列，即，因此.点睛：本题主要考查了通过数列递推式求数列的通项公式，根据通项公式的特征求数列的前1为首项，2.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ，（1（2的大小.【答案】(1)2;(2) 的大小为【解析】【试题分析】（1）利用三角形内角和定理和两角和的正弦、余弦公式，将题目所给等式化简为只含.（2又由已知【试题解析】（1因为在中，，所以（2）在中，由余弦定理，所以，所以，所以.的大小为18. 如图所示，在三棱锥中，平面（1（2的平面角的大小为.【答案】(1)见解析；（2所成角的正弦值为【解析】【试题分析】（1为直角三角形，即2），连接.【试题解析】（1所以.故，即有（2由（1）.又由（1的平面角，即，所成角的正弦值为.19. 某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量）和与它“相近”葡萄的株数，并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1关于它“相近”葡萄的株数（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）【答案】（17；（2（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）利用回归直线方程的公式，计算.利用样本方差的公式计算得方差.（2代入回归直线方程，求得对应预报变量的值，进而求得总收入.（3出期望值.【试题解析】.，故该葡萄每株收获量关于它“相近”葡萄的株数（2）由，可知当时，因此总收入为（万元）.（3）由题知，.由（1）（2），时，与之相对应的的值分别为13,12,11，，所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量20. 的焦点为.（1，且与圆定值；（2）设抛物线.【答案】（1）见解析；（2，使得四边形【解析】试题分析：(1) 1.(2)由题意可得当直线的斜率为0试题解析：，，联立1，(为定值，定值为1．（Ⅱ）当直线的斜率为0在处的切线为……①同理抛物线在，代入①式解得，所以，的中点为．方法二：，则，处的切线为方法三：，，点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.21.（1（2时，令函数在区间范围.【答案】（1；（2【解析】【试题分析】（1时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化利用导数求得其最小值为上有两个零点的条件是，解这个不等式求得.【试题解析】（1因此所求切线方程为（2因为，所以当时，在则，所以在区间上的最小值为在区间上有两个零点的条件是所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用图像得到其最小值后列不等式组来求.22. .为极点，（1的方程及直线的直角坐标方程；（2.【答案】（1（2【解析】【试题分析】（1消去参数，可得曲线后直接转化为直角坐标方程.（2. 【试题解析】（1，，点的轨迹所以直线的直角坐标方程为（2）由（1）点的轨迹1的圆，到直线的距离为上的点到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查参数方程和直角坐标方程互化，考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查圆上的点到直线距离的最大值与最小值问题.涉及三角函数的消参方法往往是利用23.（1的图像；（2的最大值为若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，将函数用分段函数表示出来来，并作出图像.（2）由（1,值.【试题解析】（1作图如下：（2）由图像可知，的最小值为4，与故不存在正数，，且.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·乌鲁木齐质检]若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|01x x <<【答案】D【解析】根据集合的交集的概念得到{} |01A B x x =<<，故答案为：D ． 2．[2018·海南期末]设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．[2018·赣州期末]()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160 B ．320 C ．480 D ．640【答案】B【解析】()()6622121x x x +-+，展开通项()666166C 21C 2kk k kk k k T x x ---+==⨯⨯，所以2k =时，2462C 2480⨯⨯=；3k =时，336C 2160⨯=，所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．4．[2018·晋城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为1个圆柱和14个球的组合体，其表面积为C ． 5．[2018·滁州期末]过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】设1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以()22222124PM PN PF PF r -=---()()()22121212464PF PF PFPF r PF PF r =-++-=++-，显然其最小值为()26254r ⨯⨯+-58=，r =B ．6．[2018·天津期末]其图象的一条对称轴在()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,2【答案】C【解析】k ∈Z k ∈Z ，k ∈Z ，∴3162k k ω+<<+，k ∈Z ． 又()f x 的最小正周期大于π，∴02ω<<． ∴ω的取值范围为()1,2．选C ．7．[2018·渭南质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）A B C D 【答案】C【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=-()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ．8．[2018·荆州中学]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．48【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S == 不满足条件 3.10S ≥，12n =，6sin 303S =⨯=；不满足条件 3.10S ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯=⨯=； 满足条件 3.10S ≥，退出循环，输出n 的值为24．故选C ． 9．[2018·昌平期末]设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <cos x x <A ．10．[2018·济南期末]欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A B C ．19D 【答案】B【解析】如图所示，1S =正，23924S π⎛⎫=π= ⎪⎝⎭圆B ．11．[2018·闽侯六中]已知()cos23,cos67AB =，()2cos68,2cos22BC =，则ABC △的面积为（ ）A ．2BC ．1D 【答案】D【解析】根据题意,()cos23,cos67AB =,则()cos23,sin23BA =-︒︒,有|AB |=1， 由于,()2cos68,2cos22BC =︒︒()=2cos68,sin 68，则|BC |=2， 则()2cos 23cos 68sin 23sin 682cos 452BA BC ⋅=-⋅+⋅=-⨯=-，可得：cos 2BA BC B BA BC⋅∠==-， 则135B ∠=，则11sin 122222ABC S BA BC B =∠=⨯⨯⨯=△，故选：D ． 12．[2018·晋城一模]已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞ B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】()'g x =()g x ∴在R 上是增函数，又()1e y f x =+-是奇函数，()1e f ∴=，()11g ∴=，原不等式为()()1g x g >，∴解集为()1,+∞，故选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水中学2018年高考理数押题试卷
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A {x|x2x 6 0, x Z}，B {z|z x y ,x A,y A}，则Al B ()A. {0,1} B• {0,1,2} C• {0,1,2,3} D• { 1,0,1,2}1 z2.设复数z满足'2 i，则| A ()1 i zA. .5B 1C•仝D仝5 5 253.若cos( -)- ，(0,—) ，则sin 的值为（)4 3 2A. 4 2B 4 .2 C7 D辽••6 6 18 34.已知直角坐标原点O为椭圆C :2 2x y1(a b 0）的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任a2 b2取一个数e，则事件“'以e为离心率的椭圆C与圆0： 2 2 x y a b没有交点”的概率为（)Ad B 4 2C D 2 24 4 2 25.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E :2 2% y21（a 0,b 0），当其离心率e [「2,2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）a bA. [0, ] B • [―,]C • [―,]D •[―,]6 6 3 4 3 3 26.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 2，则它的表面积是（）A. (32133) .22 2B- (3 413|) 22 2c •卫.22D.13 ,22247.函数ysin x ln x 在区间［ 3,3］的图象大致为()A.函数g( x)图象的对称轴方程为 x k (k Z)12B. 函数g(x)的最大值为2.218.二项式(ax)n (a 0,b 0)的展开式中只有第 6项的二项式系数最大,bx第4项的系数的3倍，则ab 的值为( )且展开式中的第3项的系数是A . 4B12D. 169.执行如图的程序框图，若输入的x 0 , y 1 ,n 1，则输出的p 的值为(A . 81B• 2 10. 已知数列 a 1 1, a 22, 且an 2A .2016 1010 1B.100911. 已知函数 f(x)Asin( x )(Aa n 2 20170,2( 1)n , 814n N ,则S 2017的值为.2017 1010 1 D81 8)1009 20160,)的图象如图所示，令 g(x)2f(x) f '(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是()B .C . Dr'-W I I 庄C.函数g(x)的图象上存在点 P ，使得在P 点处的切线与直线I : y 3x 1平行第U 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 向量a (m, n) , b ( 1,2)，若向量a , b 共线，且a 2 b ，则mn 的值为 _______________________ .2 2x y14. 设点M 是椭圆 —2 1(a b 0)上的点，以点 M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点 F ，圆Ma b与y 轴相交于不同的两点 P 、Q ，若 PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ___________________ .2x y 3 015.设x ， y 满足约束条件 x 2y 2 0，则y 的取值范围为2x y 2 x16.在平面五边形 ABCDE 中， 已知 A 120o ， B 90o ， C 120o ， E 90o ，AB 3，AE 3， 当五边形ABCDE 的面积S [6・、,3,9、一 3)时，则BC 的取值范围为 __________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•1 *17.已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，q —，2S n S n 1 1(n 2,n N).2(1 )求数列｛a n ｝的通项公式；* 1(2)记 b n log 1 a n (n N )，求｛｝的前 n 项和 T n .2b n b n 1D.方程g(x) 2的两个不同的解分别为X i ， x 2，贝U X ! x 2最小值为一212.已知函数f(x) ax 3 3x 21，若f (x)存在三个零点，则 a 的取值范围是(A . (, 2) B . ( 2,2) C . (2,) D(2,0) U(0,2)18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB 2a , ABC 120o, AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF , BD DE , DE 2BF 2. 2a，平面BDEF 底面ABCD.（1）证明：平面AEF 平面AFC ；（2 ）求二面角E AC F的余弦值•19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1 ）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望20.已知椭圆C :与爲l(a b 0)的离心率为—，且过点，动直线I : y kx m交a b 2 22uuu uuu椭圆C于不同的两点A, B，且OA OB 0 ( O为坐标原点)•(1)求椭圆C的方程•(2)讨论3m2 2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由_ 2 221.设函数f (x) a In x x ax(a R).(1)试讨论函数f (x)的单调性；(2)设(x) 2x (a2 a)ln x，记h(x) f (x) (x)，当a 0时，若方程h(x) m(m R)有两个不相等的实根禺，X2，证明h'Q x2) 0 .2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22.选修4-4 :坐标系与参数方程x 3 cost在直角坐标系xOy中，曲线G : ( t为参数，a 0)，在以坐标原点为极点，x轴的非负y 2 si nt半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 4sin .(1 )试将曲线G i与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；(2)当a 3时，两曲线相交于A，B两点，求AB .23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) 2x 1 x 1 .(1 )在下面给出的直角坐标系中作出函数y f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x) 3的解集;(2)若函数y f (x)的最小值记为m，设a, b R，且有a2 b2 m，试证明:1 4 18 a2 1 b2 1 7、选择题 1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11 、填空题 13. 8 14. 参考答案及解析 理科数学（U ）、12: CD15.2 7 - [―,—]代.[、,3,3、3) 5 417.解：（1）当 n 2时，由— 得 2S 2 S 1 1 ，即 2a〔 2a 2又由2S n S n 1 1，① 可知2S n 1 S n 1，② ②-①得2a n 1 a n ，即也a n 1适合上式, 2 a 2 a 1三、解答题 S n 1 1 及 a 11，解得a 212 14 .且n 1时, (2)由(1)及 b n1 可知bn log 1(2)n 1 所以 ------ b n bn 11 故Tn — b n b2 1 尹2). 1 因此数列｛a n ｝是以一为首项, 21-为公比的等比数列，故21 * a n 27(nN ).log-, a n (n N2n(n 1) 1 db s b n b n 1 [(1 2）（11）（丄n 1 1 —)]1 —n 1n 118.解：（1）因为底面 ABCD 为菱形，所以AC BD ， 又平面BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF I 平面 ABCD BD，因此AC 平面BDEF ，从而AC EF . 又BD DE ，所以DE 平面ABCD ， 由 AB 2a ，DE 2BF 2、2a ， ABC 120o ， 可知 AF -4a 2 2a 2 ，6a ，BD 2a ， EF 4a 2 2a 2 . 6a ，AE 4a 2 8a 2 2.3a ，从而 AF 2 FE 2 AE 2，故 EF AF .19.解：(1)从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为 B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为卫6 14，100 25 14则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有800 14 448.251(2)这100名学生成绩的平均分为 (32 100 56 90 7 80 3 70 2 60)100因为91.3 90 ,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 (3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中 A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3又AF I AC A ，所以EF 平面AFC .又EF 平面AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC .(2)取EF 中点G ，由题可知OG / /DE ，所以OG 平面ABCD ，又在菱形 ABCD 中，OA OB ，所uuu以分别以OA ， uuu uuu OB ， OG 的方向为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz(如图示)，则 O(0,0,0),A(「3a,0,0)，C( _3a,0,0)，E(0, a,2.'2a)，F(0,a,j2a)， uuu 所以AE (0, a,2、2a) ( 3a,0,0)( , 3a, a,2 2a)， uuur _ __ uuu_AC (3a,0,0)(..3a,0,0)(2、3a,0,0)，EF (0,a, 2a)(0, a, 2 2a)(0,2a, ,2a).uur由(1)可知EF 平面AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EF (0,2a, ,2a).设平面AEC 的法向量为n (x, y, z)，r uuu冲 n AE 0 则r uuir ，即n AC 0x 0x 0r uuun EF 6a V 31 n LuiU I EF |6屈 3 .，即 y 2'2z ，令 z 2，得 y 4，91.3，2 2zAC F 的余弦值为所以 n (0,4, .2).r uuu 从而 cos n, EF故所求的二面角 E个为A 级的个数 的可能值为0, 1, 2 , 3.x2故所求的椭圆方程为 -2uuu uuu(2)设 A(x 1, %)，B(x 2, y 2)，由 OA OBy 联立方程组 x 22因此可得的分布列为:12 则 E( )0 11552兰4 7 28 133 55 可知 x-|X 2 y 1y 2 0.消去y 化简整理得 (1 2 2 22k )x 4kmx 2m2 2 由 16k m8(m 21)(122k ) 0,得 12k 2m 2，所以 X 1 X 24km1 2k2 ，X-|X 2c 2 c细2，③1 2k又由题知x 1x 2 yy 即 x 1x 2 (kx 1 m)(kx 2 m)整理为(1 k 2)x 1x2 km(x 1 X 2)c 22、2m 将③代入上式，得（1 k 2）击 km岁 3 -165 20.解：（1） c由题意可知一 a所以a 2 2 c 2 2(a 2 b 2)，即 a 22b 2，①又点P （互 2f ）在椭圆上，所以有2 4a 2 34b 2，②由①②联立，解得b 21， a 21.kx2 2化简整理得3m 2 22k 0，从而得到3m 2i 2k 22k 2 2.2i.解：(i )由 f(x) a 21nx x 2 ax ， 可知 f'(x)2x a2x 2 ax a 2(2x a)(x a)因为函数f (x)的定义域为(0, )，所以, ①若a 0时，当x (0, a)时, f'(x) 0, 函数 f (x)单调递减, (a,)时, f'(x) 0 ,函数f (x)单调递增; ②若a 0时，当f '(x) 2x 0 在 x (0, )内恒成立，函数 f (x)单调递增;③若a 0时，当x (0, f'(x) 0,函数 f(x)单调递减，当xa (2,)时, f '(x)0，函数f (x)单调递增. (2 )证明：由题可知 h(x) f (x) (x) x 2 (2 a)x a In x(x 0)，所以 h'(x) 2x (2 2 、a 2x a )x(2 x a)x a (2x a)(x 1)a a X (0,)时，h'(x) 0 ；当 x (, 2 2 欲证 h'(Xi X2) 0，只需证 h'4 X2) h'(a )， 2 2 2 x i x 2 a 2 2. 所以当 )时，h'(x)i 时,h' 0.)0，只需证h '(又 h''(x)即h'(x)单调递增，故只需证明设X i ，X 2是方程h(x) m 的两个不相等的实根，不妨设为 X iX 2，2 “X i (2 a)x i al n X i m 则 v 7 i i， 2x 2 (2 a)x 2 a I n x 2 m 两式相减并整理得 a(x-i x 2 In x-i In x 2) 2 2^ X i X 2 2 X i2x2，从而a x i 2 x 222x i 2x 2 x 2 In x i In x 2 X i 故只需证明x i x 2 x i 2 x 22 2x i 2x 2 2 2(x i x 2 In x i In x 2)即 x 1 x 2 2 2% x 2 2为 2X 2 x i x ? In x i In x 2 因为 x-i x 2 In x i In x 2 0， 所以(*)式可化为In x i, 2x i 2x 2 In x 2 x i x 2因为0 x 1 x 2，所以0 竺1 ,X 2因此R(t)在(0,1)单调递增• 又 R(1) 0 ,因此 R(t) 0 , t (0,1),故 Int 2— , t (0,1)得证，t 1从而h'(X1 X2) 0得证.2 x 3cost2 2 22.解：(1)曲线C 1: ，消去参数t 可得普通方程为(x 3) (y 2)y 2 si nt 曲线C 2: 4sin ，两边同乘 •可得普通方程为x 2 (y 2)2 4. 把(y 2)2 4 x 2代入曲线G 的普通方程得：a 2 (x 3)2 4 x 2 13 6x ， 而对C 2有x 2 x 2 (y 2)2 4，即2x2，所以1 a 225故当两曲线有公共点时, 为[1,5].2 2 (2)当 a 3时，曲线 G ： (x 3) (y 2)9，2两曲线交点A ，B 所在直线方程为x 2.即ln$ X 2 2生2 X 2 X i X 2所以AB 2 823不妨令t —-，所以得到In t X 2 2tt t (0,1). 2t 21 4 设 R ⑴ |nt 十,t (0,1)，所以 R'(t)? r (t 1)2 3 t(t 1)2 0，当且仅当t 1时，等号成立,a 的取值范围32 2 2 2 曲线x (y 2) 4的圆心到直线 x 的距离为d —，3 3 3x, x 1 23.解：(1)因为 f (x) |2x 1 x 1 x 2, 1所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 所以 2 a ，从而 b 2 3 2 从而1 a2 1 4 b 2 1 7[(a2 1) 3x,x 1 f (x) 3的解集为[1,1] f (x)的最小值为 1 b 21 7， 22 1(b 2 1)](— a a2 b 2 1 4(a 2 0 181 b2 1 ] 7当且仅当 b 2 1 a 22肓时，等号成立即a 2 所以 1 6 1 a 2 1 b 2 4 b 7" 4时，有最小值，3 18 、工得证.1 7 i ，即 7[5 J2 當)]。
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(衡水金卷信息卷)三理科数学(附解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷信息卷）三理科数学（附解析）第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2．设为虚数单位，给出下面四个命题：；为纯虚数的充要条件为；共轭复数对应的点为第三象限内的点；的虚部为.其中真命题的个数为（）A. B. C. D.3．某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.4．在区间上随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（）A. B. C. D.5．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A. B.C. D.6．已知，，若，则在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.7．已知，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（）A. B. C. D.8．已知函数，把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍，然后将图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，若当时，方程有两个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.9．运行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.10．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11．已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（）A. B. C. D.12．已知函数的导函数为，且满足，，若函数恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题13．已知向量，，其中，且与共线，则当取最小值时，为__________．14．已知圆的方程为，过圆上一点的切线方程为.由类比法可经过椭圆上一点的切线方程为.若过椭圆的第一象限内的点的切线经过点，则的最小值为__________．15．已知，满足约束条件其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则的值为__________．16．已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．三、解答题17．已知在等差数列中，，其前项和为.等比数列的各项均为正数，且，公比为.若，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.18．已知在几何体中，四边形是边长为的正方形，且平面，，且，与平面所成角的正切值为.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小.19．某学校高三有名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取名男生，名女生期未某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.（1）试计算男生考试成绩的平均分与女生考试成绩的中位数（每组数据取区间的中点值）；（2）根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布，试计算男生成绩落在区间内的概率及全校考试成绩在内的男生的人数（结果保留整数）；（3）若从抽取的名学生中考试成绩优势（分以上包括分）的学生中再选取名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为，求的分布列与数学期望.参考数据，若，则，，.20．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆的右顶点任意作直线，交抛物线于，两点，且，其中为坐标原点.（1）试求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点、、、，试求四边形的面积的取值范围.21．已知函数，其中为实数.（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于，两点，求弦与劣弧围成的图形的面积.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.数学（理）答案1．D【解析】则故选2．B【解析】复数不能比较大小，故错误，为纯虚数，则，解得，故正确，，，为第三象限内的点，故正确，，故其虚部为，故错误故真命题个数为故选3．B【解析】设“第一个路口遇见红灯”为事件，“第二个路口遇见红灯”为事件，，则故选4．B【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆则，解得故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为故选5．C【解析】由题意可得，抛物线的焦点为双曲线的渐近线为，化简得：故则故选6．B【解析】令，则根据二项式定理，得：的通项公式为，令，得，故项的系数为，故选7．A【解析】可知的周期为，故选8．D【解析】可得根据函数的图象，可知时，有两个不同的根故选9．D【解析】第一次运行结果为，第二次运行结果为，第一次运行结果为，...可知输出结果为两式相减可得可得故选10．D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥其中，且底面，根据余弦定理可知：可知根据正弦定理可知外接圆直径，如图，设三棱锥外接球的半径为，球心为，过球心向作垂线，则垂足为的中点，在中，外接球的表面积故选点睛：本题主要考查了三视图与几何体外接球的体积问题，有一定的难度，先由三视图推得几何体为三棱锥，结合题目中的长度利用正弦定理和余弦定理解三角形，求出三角形外接圆的半径，进而求出球体的半径，需要一定的观察能力和计算能力11．C【解析】设的坐标为，，，的方程为，由，，可得，切线都过点，，故可知过，两点的直线方程为，当时，直线恒过定点故选点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系并求出直线恒过定点坐标，在解答过程中运用了求导来计算切线的斜率，然后给出切线的直线方程，由过点计算出直线的方程，从而计算出定点坐标。
衡水中学普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)数学(理)---精校Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22 2A x y log x x==--,B N =,则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}01，D ．{}-10， 2.复数()+2z x x i =+(其中i 为虚数单位,x R ∈)满足2iz+是纯虚数,则z =（ ）A ．．3 D ．33.已知2:,2028p x R x x a q a ∀∈++><；：.若“P q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．(1,3)D ． ()(), 1 3 ,+ U -∞∞4.已知双曲线()22210,02x y a b a b -=>>的离心率为e ,其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,其斜率为k ,则2e k的取值范围是（ ）A ．(B ．1⎛ ⎝⎦ C.2⎡⎣ D ．2⎡⎢⎣⎦5.电路从A 到B 上共连接着6 个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是13,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027 B ．448729 C.100243 D ．40816.已知点(),P x y ,若实数,x y 满足330103x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩,则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．134⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．534⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 7.已知430.355=2,22 ,=1 9111a b c g g --=+,则,a b c ，的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b << C.c a b << D ．c b a <<8.某锥体的三视图如图所示,用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分,则截面面积为（ ）A ．2 B．2．29.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）A ．1N a +B ．2N a + C.11N a +- D ．21N a +-10.将函数()y f x =的图象按以下次序变换:①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数=()y g x 的图象(如图所示，其中点2(,0)3D π-,点(,0)3E π,则函数()'()f x y f x =在区间[]02π，上对称的中心为（ ）A ．()()020ππ，，，B ．()0π， C.()()000π，，， D ．()()()00020ππ，，，，， 11.已知()()()()22+121122220,,: ,:12a c r r R C x a y r r C x a y r >>∈++-=-+-2，=r给出以下三个命题:①分别过点()(),0,,0E c F c -作1C 的不同于x 轴的切线,两切线相交于点M ,则点M 的轨迹为椭圆的一部分; ②若12,C C 相切于点H ,则点H 的轨迹恒在定圆上;③若12,C C 相离,且122r r a ==,则与12,C C 都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（ ）A ．①②B ．①③ C.②③ D ．①②③12.已知函数()221ln 323e x e f x c c n x xln ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---(其中e 为自然对数的底数)有两个极值点，则函数()()22211xg x e x c x c c =--+---的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校男女比例为2:3,从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本,若女生比男生多10 人,则m = ． 14.如图所示,已知在ABC ∆中,21,,33AE AC BD BC BE ==交AD 于点F ,AF AB AC λμ=+,则+λμ= ．15.某港口停泊两艘船,大船船速40 海里/小时,小船船速20 海里/小时,某时,大船从港口出发,沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇,最少需要的时间是______小时．16.母线长为O ,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切,这样的小球最多可放入____个.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足12a =,且1122,*n n n a a n N ++=+∈. (1)设2nn na b =证明:数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和Sn ．18.如图,在ABCD 中,30,2A AD AB =∠==,沿BD 将ABD ∆翻折到'A BD ∆的位置,使平面'A BC ⊥平面'A BD.(1)求证:'A D ⊥平面BCD ;(2)若在线段'A C 上有一点M 满足' 'A M A C λ=,且二面角M BD C --的大小为60°,求λ的值.19.我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响,把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为:风速不小于30米/秒的称为强台风,风速小于30米/秒的称为风暴,下表是2014 年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计:强台风 风暴 东部沿海 9 6 西部沿海312(1)根据上表,计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关;(2)2017 年8月23 日，“天鸽”在深圳登陆,造成深圳特大风暴,如图所示的茎叶图统计了深圳15 块区域的风速.(十位数为茎,个位数为叶)①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25 的概率;②任取3个区域进行统计,X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.82820.已知双曲线2212x y =一的左、右顶点分别为12,A A ,直线:l x p =与双曲线交于,M N ,直线2A M 交直线1A N 于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程;(2)若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切,探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是,求出此值;若不是,说明理出. 21.已知函数()xx af x e +=,其中e 为自然对数的底数,若当[] 1,1x ∈-时,()f x 的最大值为()g a .(1)求函数()g a 的解析式; (2)若对任意的1,a R k e e∈<<,不等式()g a ka t ≥+恒成立,求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为46cos sin ρθθ=+.(1)求圆M 的直角坐标方程,并写出圆心和半径;(2)若直线l 与圆M 交于,A B 两点,求AB 的最大值和最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数() f x x x a =++.(1)若不等式()221f x a ≥-对任意的x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +],求实数,a b 的值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)一、选择题1-5:ADCB 6-10:DCCDD 11、12：AD 二、填空题13.50【解析】由题意得32105055m m m -=⇒= 14.【解析】设()0,AD k AF k AD AB BD =≠=+=()1212133332AB AC AB AB AC AB AE +-=+=+,即2121+3232k AF AB AE AF k AB AE k =+⇒=,由,,F B E 三点共线,得21=132k k=,解得76k =，又214342327777AF AB AE AB AE AB AC k k =+=+=+,所以47λ=,27μ=所以67λμ==.15.3.5【解析】设港口为O ,小船行驶1.5小时到达B ,此时大船行驶到A ,大船折向按AC 方向行驶,大船与小船同时到达C 点时,用时最少.设从A 到C ,大船行驶时间为t ,则()240 2.5.5160,40,20 1.520OA AC t OC t =⨯+===⨯+.由余弦定理得()()2222 2 . 6016030201603020OA OC OC OA cos AC t t +-∙=⇒++-+,()()()224012202170276310 3.5t t t t t t =⇒+-=⇒-+=⇒=,即最少需要3.5小时.16.10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3,如图1.设球O 半径为R ,由30OCB ∠=,可得2OC R =,故2OA OC R ==,所以231,2R R R OC +==>==,故得1EC =.设小球半径为r ,同理可得'2O C r =r,故31r =,所以小球半径13r =,且4'3OO =.这时'O 到直线AO 的距离为423sin 603=这些小球相邻相切，排在一起,的圆M 上(图2),H 为相邻两球切点,12,M M 分别为相邻两球球心，设1M MH θ∠=,则1,6r sin tan MM θθ===，由三角函数性质,可知22632sin tan πθθθθθθ<<=><⇒<<<<，因为11>=，故可得能入入小球个数最多为10三、解答题17.解:(1)把2n n n a b =,代入到1122n n n a a ++=+， 得1112 122n n n n n b b ++++=+， 两边同除以12n +，得11n n b b +=+,∴{}n b 为等差数列,首项1112a b ==,公差为1, ∴()* n b n n N =∈. (2)由 22n nn n a b n an n ===>=⨯ ， ∴123122232...2nSn n =⨯+⨯+⨯++⨯()23412122232...122nn Sn n n +⇒=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减,得()()()123111-222...221 22?122* n n n n Sn n n Sn n n N +++=++++-⨯=-⨯-⇒=-⨯+∈18.解:(1)ABD ∆中,由余弦定理,可得1BD =. ∴222BD AD AB +=,∴90,90ADB DBC ∠=∴∠=. 作'DF A B ⊥于点F , ∵平面'A BC ⊥平面'A BD , 平面'A BC平面''A BD A B =∴DF ⊥平面'A BC . ∵BC ⊂平面'A BC . ∴DF BC ⊥. 又∵,CB BD BDDF D ⊥=,∴CB ⊥平面'A DB . 又∵'A D ⊂平面'A DB , ∴'CB A D ⊥. 又∵',A D BD BDCB B ⊥=,∴'A D ⊥平面CBD .(2)由(1)知,,'DA DB DA 两两垂直,以D 为原点,以DA 方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则()()(0,1,0,,'B C A . 设(),,M c y z ,则由''x A M A C y z λλ⎧=⎪=⇒=⎨⎪-=⎩(),M λ⇒.设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =,则由00m DB M DM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩0)0b a bc λ=⎧⎪⇒⎨++=⎪⎩ 取() 1-1- 0,a c m λλλλ=⇒=⇒=，.平面CBD的一个法向量可取('DA =,∴1cos ,2DA m <>=⇒=1-1=22λ±⇒∵[]01λ∈，∴λ=19.解:(l)22⨯列联表如下:强台风 风暴 合计 东部沿海 9 6 15 西部沿海 3 12 15 合计121830由22⨯列联表中数据，可得2K 的观测值222()30108-18==5 6.635()()()()12181515n ad bc K a b c d a c b d -⨯=<++++⨯⨯⨯（）所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关. (2)①风速小于25的区域有7块，2块区域风速都小于25的概率为2172515CC =故取到2个区域风速不都小于25的概率为14155-= ②达到强台风级别的区域有5块， 故0,1,2,3X =.()32410039115CP X C ===,()2145105139115C CP X C ===, ()1220105239115CCP X C ===, ()325339115CP X C ===,故随机变量X 的分布列为2445202()=0+1+2+3=191919191E X ⨯⨯⨯20.解:(1)设点()()()0,,, ,, o Q x y M p y N p y -，其中00y ≠ 由题意,得())12,A A .由11QA NA k k =⇒=，①22QA MA k k =⇒=,②两式相乘得222222yy x p =--, ∵22102p y -=， ∴22102p y =-，代入上式得X 0 1 2 3P24914591 2091 291222222112-12222p y x y x p -==-⇒+=--, 由①与0o y ≠,得0y ≠,10x =≠-⇒≠.故点Q 的轨迹方程为221(0,0)2x y x y +=≠≠. (2)设点()(),0,0A m n m n ≠≠,过点A 作椭圆的切线， 则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k ,则切线方程为()y n k x m y kx n km -=-⇒=+-,代入到椭圆方程整理， 得()()()222124220.kx k n km x n km ++-+--=()()()222216 41+22- -2 =0k n km k n km ⎡∆-⎤⎣⎦=-即()2222210m k mnk n --+-=.这个关于k 的一元二次方程的两根即为AB k 与AD k , 由1AB AD k k ∙=-,得22221131n m n m -=-⇒+=-. 设O 为坐标原点,故可知OA =同理,得OA OB OC OD ====即点O 为矩形ABCD 外接圆的圆心,其中AC 为直径,大小为 故矩形ABCD对角线长为定值21.解:(1)由题意，得()1'xa xf x e --=当11a -≤-,即2a ≥时,()()0f x f x ≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数， 所以()f x 最大值为()()()11g a f e a =-=-.当111a -<-<,即02a <<时,当()1,1x a ∈--时,()()'0,f x f x >单调递增; 当()1,1x a ∈-时,()()'0,f x f x <单调递减， 所以()f x 的最大值为()()11a g a f a e -=-=.当11a -≥,即0a ≤时,()()'0,f x f x ≥在[]1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11ag a f e+==. 综上得() -1),21,02 1,0e a a g a ea a a a e ⎧⎪≥⎪=-<<⎨⎪+⎪≤⎩（(2)令()()h a g a ka t =--.①当02a <<时,()()()11'a a h a g a ka t e ka t h a e k --=--=--⇒=-,由()'0h a =,得1a lnk =+, 所以当()0,1a lnk ∈+时,()'0h a <; 当()1,2a lnk ∈+时,()'0h a >,故()h a 最小值为()()110 h lnk k k lnk t t kln k +=-+-≥⇒≤-. 故当1k e e<<且t klnk ≤-时,()g a ka t ≥+恒成立. ②当2a >,且t klnk ≤-时,()()()()h a g a ka t a e k e t =-+=---. 因 为0e k ->, 所以()h a 单调递增，故()()()()222 2ln min h a h e k e t e k e kln k e k k k ==---≥--+=-+. 令()2 p k e k kln k =-+, 则()'10p k lnk =-≤,故当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，()p k 为减函数，所以()()p k p e >, 又()0p e =, 所以当1k e e<<时,()0h a >, 即()0h a ≥恒成立. ③当0a ≤,且t klnk ≤-时，()()()11h a g a ka t a k t e e=-+=-⎛⎫ ⎪⎭-⎝+,因为10k e-<, 所以()h a 单调递减， 故()()110min h a h t klnk e e==-≥+. 令()1m k kln k e=+, 则()'10m k lnk =+≥,所以当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()p k 为增函数， 所以()1(0)m k em >=, 所以()0h a >,即()0h a ≥. 综上可得当1k e e<<时,“ t kln k ≤-”是“()g a ka t ≥+g(a) 成立”的充要条件. 此时2tk k ln k ≤-. 令()2q k k ln k =-,则()()'2 21 1q k kln k k k n k =--=-+, 令()'0q k =,得1-2k e =故当112,k e e --⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()'0q k >;当12k e e -⎛⎫⎪⎝∈⎭，时,()'0q k <,所以()q k 的最大值为1-212q e e⎛⎫ =⎪⎝⎭，当且仅当11--221,2k e t klnk e ==-=时,取等号，故tk 的最大值为12e. 22.解:(1)24 64 6 cos sin cos sin ρθθρρθρθ=+⇒=+2246x y x y ⇒+=+ 22 2)(3)13x y ⇒-+-=（.圆心为(2,3),.(2)把直线l 的参数方程代入圆M 的标准方程, 得()()22122313tcos tsin αα+-++-=, 整理得()22 2110t cos sin t αα-+-=,()22 2 440cos sin αα∆=++>,设,A B 两点对应的参数分别为12,t t , 则12122 2,11t t sin cos t t αα+=+=-.所以12AB t t =-==因为[]21,1sin a ∈-,所以AB ∈⎡⎣,即AB 的最大值为最小值为23.解:(1)对(), ()|x R f x x x a x x a a ∀∈=++≥-+=当且仅当()0x x a +≤时取等号， 故原条件等价于21a a ≥-,即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤, 故实数a 的取值范围是(],1-∞.(2)由210a x x a -≥++≥,可知210a -≥, 所以12a ≥’ 故-0a <.故()2,,02,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩,的图象如图所示，由图可知222152(3)212a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⇒⎨⎨++=-=-⎩⎪⎩。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(三)数学(理)试题含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ） A ．BCD ．6()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） ABCD 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）ABC ．19D11．已知()cos23,cos67AB =︒︒，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（ ） A ．2BC ．1D．212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学(三)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23z i i +=+（i 为虚数单位），其共轭复数为z ，则z 为（ ）A ．7155i - B ．7155i -- C ．7155i + D ．7155i -+ 2.已知()1cos 3πα-=，2sin 23πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中，α，(0,)βπ∈），则()sin αβ+的值为（ ）A ．9 B ．9+C ．9- D ．9-3.已知集合{}2340A x R x x =∈--≤，{}B x R x a =∈≤，若A B B =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,∞+B ．[)4,∞+C ．(),4-∞D ．(],4-∞4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ） A ．512625 B ．256625 C.64625 D ．641255.已知222351+2=6⨯⨯，2223471236⨯⨯++=，223245912346⨯⨯+++=，，若()22222*1234385n n N +++++=∈，则n 的值为（ ）A ．8B ．9 C.10 D ．116.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若=0NM NF ⋅，则椭圆的离心率为（ ）A D 7.将函数()sin 2f x x =图像上的所有点向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C.6π D ．2π 8.如图是计算()11111223341n n ++++⨯⨯⨯+的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．98?n >B ．99?n > C.100?n > D ．101?n >9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ）A ．350升B ．339升 C.2024升 D ．2124升 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）AB D11.如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，P 为边AB 的中点，现将DAP ∆绕直线DP 翻转至'DA P ∆处，若M 为线段'A C 的中点，则异面直线BM 与'PA 所成角的正切值为（ ）A ．12 B ．2 C.14D ．4 12.若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”.若函数()f x =322,0692,0x x x x a x <⎧⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C.4 D ．6第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()3212x x +-的展开式中含2x 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上的靠近点C 的四等分点，点G 为边AE 上的靠近点A 的三等分点，则向量FG 用AB 与AD 表示为 ．15.已知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，60ABC ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC （包含端点D ，C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足11a =，()21122n n n a a a n --=+≥，若()*1112nn n b n N a a +=+∈+，则数列{}n b 的前n 项和n S = ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos cos A A C -()cos sin sin A A C ++=D 为边AB 上一点，2BC =，BD =（1）求BCD ∆的面积；（2）若DA DC =，求角A 的大小.18.如图所示，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4AB =，PA =45PAB ∠=.（1）证明：AC ⊥平面PCB ；（2）若二面角A PB C --的平面角的大小为60，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值. 19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量y （单位：kg ）和与它“相近”葡萄的株数x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1）求该葡萄每株的收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程及y 的方差2s ； （2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为21m ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，其回归直线y b x a ∧∧∧=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线():0l y kx a a =+>与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若直线l 过焦点F ，且与圆()2211x y +-=交于D ，E （其中A ，D 在y 轴同侧）两点，求证：AD BE ⋅是定值；（2）设抛物线C 在点A 和点B 处的切线交于点P ，试问在y 轴上是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()21ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2+cos ,sin P αα（α为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()512f x x x =-+--.（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数()y f x =的图像；（2）记函数()y f x =的最大值为M ，是否存在正数a ，b ，使2a b M +=，且123a b+=，若存在，求出a ，b 的值，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:CABAC 6-10:DDBDB 11、12：AA二、填空题13.18 14.55126FG AB AD =-- 15.1] 16.21121n -- 三、解答题17.解：（1）由()sin cos cos A A C -+()cos sin sin A A C +=可知sin cos cos cos A C A C -cos sin sin sin A C A C ++=，即()()sin cos A C A C +-+=sin cos B B ⇒+=sin 22B B ⎫+=⎪⎪⎭sin 14B π⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭. 因为在ABC ∆中，()0,B π∈，所以424B B πππ+=⇒=，所以1sin 2BCD S BC BD B ∆=⨯⨯12sin 24π=⨯⨯=22=. （2）在BCD ∆中，由余弦定理，可知2222cos DC BD BC BD BC B =+-⨯⨯8422cos4π=+-⨯⨯8422=42=+-⨯⨯， 所以2DC =，所以DC BC =，所以4BDC π∠=. 又由已知DA DC =，得8A π∠=， 故角A 的大小为8π.18.解：（1）在PAB ∆中，因为4AB =，PA =45PAB ∠=， 所以由余弦定理，可知2222cos PB AB AP AB AP PAB =+-⨯⨯⨯∠163224162=+-⨯⨯=， 所以4PB =.故222PB BA PA +=，即有PB BA ⊥. 又因为平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB平面ABC AB =，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，所以PB AC ⊥. 又因为AC CB ⊥，PBCB B =，所以AC ⊥平面PBC .（2）过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，连接AD . 由（1），知AC ⊥平面PBC ，BD ⊂平面PBC ， 所以AC BD ⊥.又PCAC C =，所以BD ⊥平面PAC ，因此BPD ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角. 又由（1）的证明，可知PB ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，PB BA ⊥， 故ABC ∠即为二面角A PB C --的平面角，即60ABC ∠=. 故在Rt ACB ∆中，由4AB =，得2BC =.在Rt PBC ∆中，PC ==且42PB BC PC BD BD ⨯=⨯⇒⨯=BD ⇒=因此在Rt PBD ∆中，得5sin 45BD BPD PB ∠===， 故直线PB 与平面PAC19.解：（1）由题意，可知()112356746x =+++++=， ()11513121097116y =+++++=. ()()()()613422iii x x y y =--=-⨯+-⨯+∑()()()()11112234-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=34-，()()()()62222213211i i x x=-=-+-+-++∑222328+=，所以()()()6162134172814iii i i x x y y b x x∧==--==-=--∑∑， 所以17111114147a yb x ∧∧=-=+⨯=， 故该葡萄每株收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程为17111147y x ∧=-+. y 的方差为()()()222211511131112116s ⎡=-+-+-+⎣()()()22210119117117⎤-+-+-=⎦.（2）由17111147y x =-+，可知当2x =时，171119421477y =-⨯+=，因此总收入为941010001000013.437⨯⨯÷≈（万元）. （3）由题知，2,3,4x =.由（1）（2），知当2x =时，13.42y ≈，所以13y =；当3x =时，5111117112.2114714y =-+=≈，所以12y =； 当4x =时，341117711777y =-+==， 即2,3,4x =时，与之相对应的y 的值分别为13,12,11， 又()()41132164P y P x =====， ()()81123162P y P x =====， ()()41114164P y P x =====， 所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y 的分布列为()111131********E y =⨯+⨯+⨯=.20.解：由题知抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y .由24x yy kx a⎧=⎨=+⎩2440x kx a ⇒--=， 则()2160k a ∆=+>，且124x x k +=，124x x a =-.（1）若直线l 过焦点F ，则1a =，所以124x x k +=，124x x =-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1F ，半径为1， 又由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+， 故可得11AD AF y =-=，21BE BF y =-=， 所以()()121211AD BE y y kx kx ⋅==++()212121k x x k x x =+++=224411k k -++=. 故AD BE ⋅为定值1.（2）假设存在点Q 满足题意，设()00,Q y ， 由22144x y y x =⇒=，因此1'2y x =. 若四边形APBQ 为菱形，则//AQ BP ，//BQ AP ， 则102112AQ y y k x x -==，201212BQ y y k x x -==， 则101212y y x x -=，201212y y x x -=， 则12y y =，所以0k =，此时直线AB 的方程为y kx a a =+=，所以()A a -，()B a .则抛物线在点()A a -处的切线为y a =-，① 同理，抛物线在点B处的切线为y a =-，②联立①②，得()0,P a -. 又线段AB 的中点为()0,R a ，所以点()0,3Q a .即存在点()0,3Q a ，使得四边形APBQ 为菱形，此时0k =.21.解：（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++. 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-.（2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x-+-=-=. 因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时，1x =， 且当11x e<<时，()'0g x >；当1x e <<时，()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22g e m e =+-， ()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+210e <， 则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ， 故()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()21101120g m g m e e =->⎧⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）设点(),P x y ，所以2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）， 消去参数，得()2221x y -+=， 即P 点的轨迹C 的方程为()2221x y -+=直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4ρθρθ⇒+=4x y ⇒+=, 所以直线l 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由（1），可知P 点的轨迹C 是圆心为()2,0，半径为1的圆， 则圆心C 到直线l的距离为1d r ==>=.所以曲线C 上的点到直线l1.23.解：（1）由于()512f x x x =-+--24,12,1226,2x x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩.作图如下：（2）由图像可知，当12x -≤≤，()max 2f x =，即得2M =.假设存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b +=， 因为12122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22()242b a a b =++≥+≥，当且仅当2222,0a b b a a b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩121a b ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩时，取等号， 所以12a b +的最小值为4，与123a b+=相矛盾， 故不存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b +=成立.。
河北省衡水中学2018届高三高考押题(三)理数试题
理数试卷（三）
第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.已知复数 z
1 3 i ，则 z | z | =（ 2 2
B．
）
A．
1 3 i 2 2
2
1 3 i 2 2
线）的点的个数的估计值为（附：若 X ~ N ( , ) ，则 P ( X ) 0.6827 ，
2
P( 2 X 2 ) 0.9545 .（
）
A.906
B．1359
C.2718
D.3413 ）
7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2 的半圆，则该几何体的表面积是（
A． 80 8
B． 80 4
C． 80 8
D． 80 4
8.已知数列 {an } 中， a1 1 ， an 1 an n .若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第 2018 项，则判 断框内的条件是（ ）
A． n 2016?
B． n 2017 ?
C. n 2015?
5 AB 2 AE ， AD 3 AF ， AM AB AC ( , R) ，则 =（ 2 1 3 A． B．1 C. D．-3 2 2
）
6.在如图所示的正方向中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N ( 1,1) 的密度曲
垂直平分线过点 B ，则双曲线的离心率为 16.已知下列命题： ①命题“ x R ， x 3 5 x ”的否定是“ x R ， x 3 5 x ”；
衡水中学2018年高考理数押题试卷
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A B =I （ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}- 2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ） A ．5 B ．15C ．55D ．5253.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ） A ．426- B ．426+ C ．718D ．23 4.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A ．24 B ．424- C ．22D ．222-5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90o的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率[2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A ．313(3)2222π+++ B ．3133()22242π+++ C ．13222π+ D ．13224π+ 7.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 8.二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 9.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A ．81B ．812 C ．814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯C ．201710101⨯-D ．10092016⨯ 11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()x k k Z ππ=-∈C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,2)- C ．(2,)+∞ D ．(2,0)(0,2)-U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量(,)a m n =r ，(1,2)b =-r ，若向量a r ，b r 共线，且2a b =r r，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=o，90B ∠=o，120C ∠=o，90E ∠=o，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*121(2,)n n S S n n N -=+≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记*12log ()n n b a n N =∈，求11{}n n b b +的前n 项和n T .18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=o，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，222DE BF a ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集； （2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案及解析 理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD二、填空题13. 8-e << 15. 27[,]5416. 三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =.又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故*1()2n n a n N =∈. （2）由（1）及*12log ()n n b a n N =∈，可知121log ()2nn b n ==，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅11111[(1)()()]2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=o，可知AF =，2BD a =，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥. 又AF AC A =I ，所以EF ⊥平面AFC . 又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA u u u r ，OB uuu r ，OG u u u r的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示），则(0,0,0)O ，(3,0,0)A a ，(3,0,0)C a -，(0,,22)E a a -，(0,,2)F a a ，所以(0,,22)(3,0,0)AE a a a =--u u u r(3,,22)a a a =--，(3,0,0)(3,0,0)AC a a =--u u u r (23,0,0)a =-，(0,,2)(0,,22)EF a a a a =--u u u r(0,2,2)a a =-. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)EF a a =-u u u r. 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即32200x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，即220y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得4y =， 所以(0,4,2)n =r.从而cos ,n EF n EF n EF⋅<>=⋅r u u u rr u u u r r u u u r 3363a ==. 故所求的二面角E AC F --的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则()012335555E ξ=⨯+⨯+⨯316511+⨯=.20.解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，① 又点P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412kmx x k+=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=， 即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21.解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->，所以'()2(2)a h x x a x=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==.所以当(0,)2a x ∈-时，'()0h x <；当(,)2a x ∈-+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02ah =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20ah x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩， 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<，即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 设22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos 2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==.23.解：（1）因为()211fx x x =-++3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而 2222142[(1)(1)]117a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++ 2222214(1)18[52]7117b a a b ++=+⋅=++. 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
衡水中学2018年高考押题理数(三)答案
5 3 15
所以 X 的分布列为：
所以 E( X ) 0 1 9 2 4 17 . 15 15 15
20.解：（1）以 BC 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 | AB | | AC | 6 | BC | ，
所以点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的椭圆.
所以 2a 6 ， 2c 3 2 ，
一、选择题
1-5:CADBA
二、填空题
6-10:BBBBB
参考答案及解析 理科数学（Ⅲ）
11、12：DC
13.2
14. 4 3
10
15.
2
16.②
三、解答题
17.解：（1）因为 an1 Sn1 Sn ，所以 n(Sn1 Sn ) (n 2)Sn n(n 1) ，
即 nSn1
2(n
1)Sn
（2）
f (x) | 2x a 4 (1 6a 2b2 b4) | 2 | x (2a3b 2ab3 1) | | 2x a4 (1 6a2b2 b4) | | 2x 2(2a3b 2ab3 1) | | [2x 2(2a3b 2ab3 1)] [2x a4 (1 6a2b2 b4)] | | (a b)4 1| 1 . 即 fmax (x) 1 .
消去 y ，得 (m2 1 2mx1)x2 2m(1 x12 )x (2mx1 x12 m2x12) 0 .
所以
x1x2
2mx1 x12 m2x12 m2 1 2mx1
，
同理
x1x3
2mx1 x12 m2x12 m2 1 2mx1
x1x2
，
所以 x2 x3 ，或 x1 0 .
所以 g(x)min g(0) 0 ，所以 f (x) x2 x .
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学(三)-含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ． 3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C ．a b >D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ．4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称 【答案】A【解析】由题意得π22T =，πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，所以2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，即()232k k ϕππ+=+π∈Z ，2ϕπ<，6ϕπ∴=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．4π3B ．5π3C ．2π23+D ．2π43+【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为14π5π2π233⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭，故选B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ） （参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 602S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin 303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．21+ D ．31+【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=， 解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b-=，将P 点坐标代入得22141a b -=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得21a =-，故离心率为12121ca ==+-，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -的体积为932，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则213932342r r ⨯⨯=，3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx =∈R ，()()10g x x x=<，()2eln h x x =，有下列命题：①()()()F x f x g x =-在31,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =-． 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】①()()()21F x f x g x x x =-=-，31,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在31,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在e x =处有公共点，因此存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为()e e y k x -=-，即e e y kx k =-+，由()()e ef x kx k x ≥-+∈R ，可得2e e 0x kx k -+-≥，当x ∈R 恒成立，则()22e0k ∆=-≤，只有2e k =，此时直线方程为2e ey x =-，下面证明()2e eh x x ≤-，令()()2e e G x x h x =--2e e 2e ln x x =--，()()2e ex G x x-'=，当e x =时，()0G x '=；当0x e <<时，()'0G x <；当x e >时，()'0G x >；当x e =时，()G x '取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()2e e 0G x x h x ∴=--≥，则()2e e h x x ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线2e e y x =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水中学2018年高考押题理数(三)试卷
2 )( x0
p) 2
是抛物线 C
上一点，圆 M
与线
段 MF 相交于点 A ，且被直线 x p 截得的弦长为 3 | MA | ，若=2，则 | AF | =（ ） 2
A． 3 2
B．1
C.2
D．3
11.若定义在 R 上的可导函数 f (x) 满足 f (1) 1，且 2 f '(x) 1 ，则当 x [ , 3 ] 时，不等式 22
23. 选修 4-5：不等式选讲.
已知 a ， b 为任意实数.
（1）求证： a4 6a2b2 b4 4ab(a2 b2 ) ；
（2）求函数 f (x) | 2x a 4 (1 6a 2b2 b4) | 2 | x (2a3b 2ab3 1) | 的最小值.
表 2：女生身高频数分布表
（1）求该校高一女生的人数；
（2）估计该校学生身高在[165,180) 的概率； （3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 X 表示身高在[165,180) 学生的 人数，求 X 的分布列及数学期望. 20. ABC 中，O 是 BC 的中点，| BC | 3 2 ，其周长为 6 3 2 ，若点 T 在线段 AO 上，且| AT | 2 | TO | . （1）建立合适的平面直角坐标系，求点 T 的轨迹 E 的方程； （2）若 M ， N 是射线 OC 上不同的两点，| OM | | ON | 1 ，过点 M 的直线与 E 交于 P ，Q ，直线 QN 与 E 交于另一点 R ，证明： MPR 是等腰三角形. 21. 已知函数 f (x) ex x2 a ， x R ，曲线 y f (x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y bx .
衡水中学2018年高考理数押题试卷
衡水中学2018年高考理数押题试卷D 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A ．313(3)2222π++ B ．3133()22242π++C ．222+ D ．132247.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)nax a b bx +>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A ．81B ．812C ．814D ．81810.已知数列11a =，22a=，且222(1)nn n aa +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ） A ．201610101⨯- B ．10092017⨯ C ．201710101⨯-D ．10092016⨯11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为22C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x axx =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,2)-C ．(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b =，则mn 的值为 ． 14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则yx 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=，90B ∠=，120C ∠=，90E ∠=，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}na 的前n 项和为nS ，112a =，*121(2,)nn S S n n N -=+≥∈.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）记*12log ()nn b a n N =∈，求11{}n n b b+的前n 项和nT .18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF，BD DE ⊥，222DE BF a==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F--的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数ξ的分布列与数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点322P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程. （2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x aa xϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x xh +>.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集； （2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m+=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案及解析 理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD二、填空题13. 8- 14. 625122e -<< 15. 27[,]5416. 3,33)三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121nn S S -=+及112a =， 得2121SS =+，即121221a aa +=+，解得214a=.又由121nn S S -=+，① 可知121n n SS +=+，② ②-①得12n naa +=，即11(2)2n na n a+=≥.且1n =时，2112aa=适合上式，因此数列{}na 是以12为首项，12为公比的等比数列，故*1()2nn a n N =∈.（2）由（1）及*12log ()nn b a n N =∈，可知121log ()2n nbn==，所以11111(1)1n n b bn n n n +==-++，故2231111nn n n Tb b b b b b +=++⋅⋅⋅11111[(1)()()]2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++.18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 由2AB a =，222DE BF a==，120ABC ∠=，可知22426AF a a a=+，2BD a =，6EF a==，224823AE a a a=+=，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.又AFAC A=，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O ，3,0,0)A a ，(3,0,0)C a ，(0,,2)E a a -，(0,2)F a a ，所以(0,,22)3,0,0)AE a a a =--(3,,2)a a a =--，(3,0,0)3,0,0)AC a a =-(3,0,0)a =-，(0,2)(0,,2)EF a a a a =--(0,2,)a =.由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)EF a a =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3220x y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即20y zx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令2z =4y =，所以(0,2)n =.从而cos ,n EF n EF n EF⋅<>=⋅363a==.故所求的二面角E AC F --的余弦值为3.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3. 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===，214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===.因此可得ξ的分布列为：则72814()012335555E ξ=⨯+⨯+⨯412316511+⨯=. 20.解：（1）由题意可知2ca=，所以222222()ac a b ==-，即222ab =，① 又点23(22P 在椭圆上，所以有2223144ab+=，②由①②联立，解得21b=，22a=，故所求的椭圆方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=， 可知12120x xy y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k mm k ∆=--+>，得2212km +>，所以122412km x xk +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=， 即1212()()0x xkx m kx m +++=，整理为221212(1)()0kx x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322mk -=.21.解：（1）由22()ln f x ax x ax=-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==.因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->，所以'()2(2)a h x x a x=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==.所以当(0,)2a x ∈-时，'()0h x <；当(,)2a x ∈-+∞时，'()0h x >；当2ax =时，'()02a h =.欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20ah x x =+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x xa+>.设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩，两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-，即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x xx x -+-<，所以(*)式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+，即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201xx<<，不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 设22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增. 又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈，故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4xy +-=. 把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136ax x x=-+-=-，而对2C 有222(2)4xx y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5]. （2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=，两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4xy +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =， 所以482493AB =-=.23.解：（1）因为()211f x x x =-++3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232ab +=，从而227112ab +++=，从而2222142[(1)(1)]117a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++2222214(1)18[52]7117b a a b ++=+⋅=++.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立，即216a=，243b=时，有最小值，所以221418117a b +≥++得证.。
衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学(三)
衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学(三)2018高校招生全国统考模拟理数（三）一、选择题：1.已知复数z满足z(2+i)=3+i（i为虚数单位），其共轭复数为z，则z为（）A。
7-1iB。
-7-1iC。
5+5iD。
-5+5i2.已知cos(π-α)=1/2，sin(α+β)=3/2（其中，α，β∈(0,π)），则sin(α+β)的值为（）A。
-4/3B。
5/6C。
-5/6D。
4/33.已知集合A={x∈R|x-3x-4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A。
(4,+∞)B。
[4,+∞)C。
(-∞,4)D。
(-∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为0.8，连续测试4次，至少有3次通过的概率为（）A。
0.5512B。
0.5664C。
0.625D。
0.91255.已知1+2=2×3×5×4×7×9×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20×21×22×23×n，其中n∈N*，且1^2+2^2+3^2+。
+n^2=385，则n的值为（）A。
8B。
9C。
10D。
116.已知椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（a>b>0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM×NF=0，则椭圆的离心率为（）A。
√2-1B。
2/√2C。
√2/2D。
1/√27.将函数f(x)=sin^2x图像上的所有点向右平移π/4个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间[0,a]上单调递增，则a的最大值为（）A。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(三)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合(
){
}2
2 2A x y log x x
==--,B N =,则A
B =（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}01，
D ．{}-10， 2.复数()+2z x x i =+(其中i 为虚数单位,x R ∈)满足
2i
z
+是纯虚数,则z =（ ） A
．
3.已知2
:,2028p x R x x a q a ∀∈++><；：.若“P q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．(1,3) D ． ()(), 1 3 ,+ U -∞∞
4.已知双曲线()22210,02x y a b a b -=>>的离心率为e ,其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
,其斜率为k ,则2
e k
的取值范围是（ ）
A
．(
B
．1⎛ ⎝⎦
C.2⎡⎣ D
．2⎡⎢⎣
⎦ 5.电路从A 到B 上共连接着6 个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是1
3
,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A 到B 连通的概率是（ ）
A ．
1027 B ．448729 C.100243 D ．4081
6.已知点(),P x y ,若实数,x y 满足330
103
x y x y x ++≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥-⎩
,则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）
A ．124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．134⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， C.524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．534⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 7.已知4
30.35
5
=2,2
2 ,=1 9111a b c g g --=+,则,a b c ，的大小关系是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b << C.c a b << D ．c b a <<
8.某锥体的三视图如图所示,用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分,则截面面积为（ ）
A ．2
B ．2
．2
9.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）
A ．1N a +
B ．2N a + C.11N a +- D ．21N a +- 10.将函数()y f x =的图象按以下次序变换:①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6
π
个单位，得到函数=()y g x 的图象(如图所示，其中点2(,0)3D π-,点(,0)3E π,则函数()
'()
f x y f x =在区间[]02π，上对称的中心为（ ）
A ．()()020ππ，，，
B ．()0π， C.()()000π，，， D ．()()()00020ππ，，，，， 11.已知()()()()2
2+1211222
20,,: ,:1
2
a c r r R C x a y r r C x a y r >>∈++-=-+-2
，=r 给出以下三个命题:
①分别过点()(),0,,0E c F c -作1C 的不同于x 轴的切线,两切线相交于点M ,则点M 的轨迹为椭圆的一
部分; ②若12,C C 相切于点H ,则点H 的轨迹恒在定圆上;
③若
12,C C 相离,且122r r a ==,则与12,C C 都外切的圆的圆心在定椭圆上.
则以上命题正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③ C.②③ D ．①②③
12.已知函数()22
1ln 323e x e f x c c n x xln ⎛⎫ ⎪⎝
⎭=---(其中e 为自然对数的底数)有两个极值点，则函数
()()22211x g x e x c x c c =--+---的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1 C.2 D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某学校男女比例为2:3,从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本,若女生比男生多10 人,则m = ．
14.如图所示,已知在ABC ∆中,21
,,33
AE AC BD BC BE =
=交AD 于点F ,AF AB AC λμ=+,则+λμ= ．
15.某港口停泊两艘船,大船船速40 海里/小时,小船船速20 海里/小时,某时,大船从港口出发,沿东偏北
60°方向行驶2.5小时后,小船开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇,最少需要的时间是______小时．
16.
母线长为
O ,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切,这样的小球最多可放入____个.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 满足12a =,且1122,*n n n a a n N ++=+∈. (1)设2n
n n
a b =
证明:数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和Sn ．
18.如图,在ABCD 中
,30,2A AD AB =∠==,沿BD 将ABD ∆翻折到'A BD ∆的位置,使平面
'A BC ⊥平面'A BD
.
(1)求证:'A D ⊥平面BCD ;
(2)若在线段'A C 上有一点M 满足' 'A M A C λ=,且二面角M BD C --的大小为60°,求λ的值. 19.我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响,把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为:风速不小于30米/秒的称为强台风,风速小于30米/秒的称为风暴,下表是2014 年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计
:
(1)根据上表,计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关;
(2)2017 年8月23 日，“天鸽”在深圳登陆,造成深圳特大风暴,如图所示的茎叶图统计了深圳15 块区域的风速.(十位数为茎,个位数为叶)
①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25 的概率;
②任取3个区域进行统计,X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20.已知双曲线2
212
x y =一的左、右顶点分别为12,A A ,直线:l x p =与双曲线交于,M N ,直线2A M 交直线1A N 于点Q .
(1)求点Q 的轨迹方程;
(2)若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切,探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是,求出此值;若不是,说明理出. 21.已知函数()x
x a
f x e +=
,其中e 为自然对数的底数,若当[] 1,1x ∈-时,()f x 的最大值为()g a . (1)求函数()g a 的解析式; (2)若对任意的1
,
a R k e e
∈<<,不等式()g a ka t ≥+恒成立,求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数),以原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为46cos sin ρθθ=+. (1)求圆M 的直角坐标方程,并写出圆心和半径;。