混合差分进化算法求解柔性作业车间调度问题

佳木斯大学学报(自然科学版)Vol. 38 No. 6Nov. 2020
第 38 卷 第 6 期2020 年11月Journal of Jiamusi University ( Natural Science Edition )文章编号：1008 -1402(2020)06 -0101 -06
混合差分进化算法求解柔性作业车间调度问题1
宁桂英S 曹敦虔2
(1.柳州工学院数理教学部，广西柳州545616;2.广西民族大学理学院，广西南宁530006)
摘 要：针对柔性作业车间调度问题(Flexible Job Shop Scheduling Problem ，町SP )的求解特 点，提出了一种混合差分进化算法，该方法以最小化最大完工时间为目标，采用双向变异策略，以 一定的概率采用差分变异和遗传变异，同时在变异过程中采用特殊的解码方式;在交叉的过程中 采用改进的随机变位交叉的方式，提高了算法的性能。

最后用该算法对经典算例进行了测试并 与已有算法进行了比较，结果表明，提出的方法具有很好的稳定性和鲁棒性，是求解町SP 的一种 有效方法。

关键词：差分进化；遗传算法；柔性作业车间调度；NP-难；最大完工时间
中图分类号：TH165：TP18
文献标识码：A
0 引 言
柔性作业车间调度问题(Flexible Job - shop
Scheduling Problem , FJSP )是由 Brucker ［1］在 1990
年首次提出的，该问题是传统作业车间调度问题 (Job - shop Scheduling Problem , FSP )的延伸和拓
展。

与传统作业车间调度问题不同的是，在柔性作 业车间调度问题中，每个工件有多道工序,每道工
序可以选择加工的机床有多台，不同机床加工工序 所需要的时间不同，所以柔性作业车间调度问题可
以看成是多工件多工序排列在多机器上加工的高 维规划问题,是一种复杂的NP - hard 问题［2］。

该
问题更符合企业生产中的实际问题调度的需要，因 此，对该问题的研究具有重要的理论意义和应用价
值。

FJSP 问题自提出以来,一直是国内外学者们
所关注的热点问题，迄今为止,对该问题已有大量 的研究，在众多的研究中，经典的具有代表性的算
法有分支界定算法，但该方法的复杂度会随着问题
规模的增大而成指数级增长，因此不能满足实际问
题的需要。

近年来，随着智能算法的兴起,越来越
多的学者开始关注用智能算法解决此类问题,并取
得了一定的成果,如张超勇等提出了柔性作业车间
调度问题的两级遗传算法［3］;戴月明等提出了骨
干双粒子群算法求解柔性作业车间调度问题［4］; 吕聪等提出柔性车间调度问题的协作混合帝国算
法［5］;李帆等提出改进蝙蝠算法柔性作业车间调 度问题研究［6］;王芳等提出求解柔性流水车间调 度问题的高效分布估算算法［7］o 在以上的研究中
可以发现，学者们开始将用于研究连续性问题的智
能算法设计为研究离散型的调度问题，主要考虑对
算法的改进和与其他算法的混合以提高算法的局
部搜索能力，防止算法限于局部极优。

针对柔性车间调度问题的特点,提出了混合差
分进化算法(Hybrid Differential Evolution Algo ­
rithm, 简称HDEA)求解柔性作业车间调度问题。

首先对差分进化算法进行特殊的编码和解码，以适
合求解离散型问题;然后在变异的过程中，采用双
向变异策略，利用概率值，将遗传算法的变异和差
分进化算法的变异有机结合，增强了种群的多样
性，防止限于局部极值，利用差分进化算法的变异 策略，将全局搜索能力和局部搜索能力进行有效平 衡，提高了收敛速度和精度，同时根据问题的特点, 采用遗传算法的改进交叉方式,即采用随机变位交
叉的方式，在保证生成的新个体是有效解的同时也
增加了种群的多样性。

对14个经典测试算例和2
个实际案例进行了仿真,仿真结果表明,提出的算
① 收稿日期：2020 -09 -29
基金项目：国家自然科学基金(61165015)；广西高校科学技术研究项目(KY2015YB521)；广西高校中青年教师科研基础能力提
升项目(2019KY1098)；广西科技大学鹿山学院教学改革重点项目(2018JGZ004)。

作者简介：宁桂英(1979 -),女，湖北武汉人，副教授，硕士，研究方向：进化计算及应用。

102
佳木斯大学学报(自然科学版)2020 年
法在求解柔性车间调度问题时具有良好的性能和
较好的计算精度和收敛速度。

1柔性作业车间调度问题模型
1.1符号定义
为描述问题的方便，对使用的符号含义作如下 说明：
M 为可供加工的机器总数目；N 为待加工的
工件总数目；P i 为工件i 的工序数；O v 为工件i 中 的第j 道工序；T i]k 为第i 个工件的第j 道工序在机 器k 上加工时间；S l]k 为第i 个工件的第j 道工序在 机器k 上开始加工时间；C 啟为第i 个工件的第j 道
工序在机器k 上加工结束时间；C,为每个工件的
完工时间；
Xyk
{
1 ,工件i 的第j 道工序由机器k 加工 (0,否则
1.2柔性作业车间调度问题描述:
所研究的FJSP 问题描述为：
N 个不同的工件在M 台机器上加工，每个工
件有p t 道工序,每道工序可选择在不同的机器上
加工，同一道工序在不同的机器上加工对应时间可
以不同，该问题研究的目的是寻找一种合适的调度 方案，使最大完工时间(makespan )达到最小，即为 每个工件的每道工序选择可加工的机器，同时为每
台机器合理安排加工顺序。

对以上问题基于以下假设建立数学模型：
(1) 初始时刻所有待加工工件都可被加工，所
有机器均可用；
(2) 不同工件之间没有加工顺序约束，同一工
件中有工序顺序约束；
(3) 一道工序只能在可加工的机器中选择一
台机器加工,且只能被加工一次；
(4) 一台机器在同一时刻只能加工一道工序；(5) 不考虑工序加工过程中被中断情况，不考
虑在加工以外的其他耗时。

基于以上假设，建立的数学模型为：
f = min { max( CJ }
(1)
1 W i W N
M
C , =S ,+
X 切七(i =1,2,…N ，:k = 1
=1,2,...pj
(2)
C i
二 C i ,P
i
(3)
S F + 1)
M C
i ,
(4)
X 切=1
(5)
k = 1
S 啟 M C rl k
(6)
其中，式(1)为目标函数，表示使所有工件完
工时间的最大值达到最小;式(2)表示工件的最后
完工时间是该工件的开始加工时间与实际加工时
间之和;式(3)表示工件的最大完工时间是该工件
最后一道工序的完成时间;式(4)表示同一工件的
工序有顺序要求;式(5)表示一道工序只能在一台
机器加工,且只能被加工一次;式(6)表示一台机 器在同一时刻只能加工一道工序，其中C M 表示在
机器k 上前一工作的完工时间。

2差分进化混合遗传算法
差分进化算法采用实数编码，操作简单，鲁棒 性强，比现存的许多智能算法在收敛速度方面更具
竞争力，且已被证明具有很好的全局搜索能力。

遗
传算法作为一种成熟的智能算法，目前在许多方面
已得到广泛应用,而且已取得很好的效果,但在收
敛速度上遗传算法不具优势。

在遗传算法中，变异
算子是遗传算法的主要操作，能增加算法局部搜索 能力和种群多样性，因此考虑将遗传算法的变异操
作引入差分进化算法中，结合这两种算法的优势,
以解决柔性车间调度问题。

2.1双向变异策略
对基本差分进化算法的变异策略，结合DE/ rand/1/bin 变异方式和DE/best/1/bin 变异方式的
特点，提出一种新的变异方式,变异公式为：
幼(t +
1)=入切(t ) + (1 -入)X best
,)( t ) +F ( X p 1,j ( t ) - X p
2j ( t ) )
(7)
其中，A e [0,1]，且A = T - t , t 为当前进
化代数，T 为最大进化代数，F = 1 -点。

采用这种变异策略， 第一： 能保证在进化过程 中A 由1逐渐线性变化到0,当A = 1时，上式变成 DE/rand/1/bin ，此时算法具有良好的全局搜索能
力；当A = 0时，上式变成DE/best/1/bin,此时算
法具有良好的局部搜索能力;第二:标准差分进化
算法的变异算子选取[0,1]之间的具体数值，而变
异因子F 的设置，在进化前期具有较大的变异因
子,增加种群多样性,随着进化代数的增加,在进化
后期，保留最好解的条件下进行局部搜索,这种自
第6期宁桂英，等：混合差分进化算法求解柔性作业车间调度问题103
适应的设置大大提高收敛速度和精度。

在提出的算法中，采用双向变异策略，随机确定选择何种变异:首先随机生成一个随机数，当该随机数大于变异概率P m时，采用(7)式的差分进化变异，否则，采用遗传算法的随机交换两个基因位的变异。

2.2交叉方式的改进
针对离散型调度问题的特点，借鉴遗传算法交叉的理念，用新的交叉方式,将个体采用随机位交叉的交叉方式,此时对变异后的新群体分成两组进行两两配对,对每一对个体A和B,随机选择一个交叉位r(1W r W M),将两个个体的前r个基因交换。

交换过程为了保证个体的有效性，采用下面方法进行：比如要交换A(j)和B(j),则在A中寻找B(j)在A中的位置k,将A(j)和A(k)交换,这实际上是个体内部基因位交换，即工件各工序之间的一个重新排列,保证了个体的有效性。

例如：以3工件9工序为例,A和B为交叉前的编码个体,若随机产生的r=3,则交换A和B的前三个元素，因为B的第一个元素是3,对应着A中的第一个3的位置,所以实际交换的是A的第一个和第三个元素，同样的方法交换剩余两个元素,交换后得到新的个体A,如下图所示：
可以看出,对编码A实施交叉，实际上是A内部个体位之间的交换，保证了生成个体的有效性。

对B 也实施同样的交叉,交换后得到新的个体B,如上图所示。

2.3编码和解码
根据求解FJSP问题的需要，设置了特殊的编码和解码方式。

首先对町SP的编码分为三个部分:工序编码向量，机器编码向量和时间编码向量。

其中工序的编码向量为所有工件工序的总长度之和，由于每道工序所能选择的机器和每台机器对应加工的时间是已知的，所以一旦工序编码确定，根据编码去选择可加工的机器编码，此时对应的时间编码就确定了。

在进化过程中，只有工序编码参入变异、交叉操作,机器编码和时间编码不参入进化操作,而是采用贪婪的搜索方式,根据工序编码寻找对应的每个工序可使用的机器编号,而且在选择机器时，总是在可选择机器中选择加工该工序结束时刻最早的，如果有多台可选择机器同时结束加工时间，则选择加工时间最少的机器进行加工，这样减少解码时间，提高了效率。

现以3工件3机器为例给出具体的编码和解码方法，每个工件的工序数，加工时间和可加工机器如下表1:
表13工件3机器对应加工时间
上表中3工件总共有7道工序。

对应工序编码方式为：
工件工序
机器
123 J|O||213
I2
1-2 O I3531
J2O2I-23
O22435 J3O3I2-4
O32312
当工序对应编码选择(7)式进行变异操作后,生成新的个体为
2233
0.150.96 1.3720.48 1.67 1.85
解码方法：
将新生成的个体编码进行升序排列，记录排序后的各分量在原来个体中的位置,再将变异前的个体相应位置上的分量放在排序后的位置上，升序后的个体和对应位置如下表：
解码后的个体为：
0.150.480.96 1.37 1.67 1.852
523674
这种解码方式保证变异操作之后个体的有效性。

233
2
104
佳木斯大学学报（自然科学版）2020 年
3差分进化混合遗传算法求解柔性
车间调度问题步骤
step1:设置种群规模M ，最大进化代数T ，变
异概率P m ，选择式（1）为适应度函数，随机生成工 序初始编码；
step2 :按照2.1双向变异策略进行变异操作,
对依概率选择了（7）式变异后的个体,需要按照2. 3进行解码，解码后与参入遗传算法的随机交换两
个基因位变异后的个体一起构成新的种群;
step3 :将step2中新的个体按照2. 2进行交叉
操作;
step4：选择：比较交叉后的新个体和原来旧个
体的适应度值,选择适应度值较优的进入下一代；
step5：判断是否达到最大进化代数，若是，则
进化终止，输出最优解，否则，转到step2o
4实例仿真及结果分析
为了测试算法在柔性作业车间调度问题求解
中的性能，首先选取Kacem 问题［9］提出的4个基
准测试算例,这些算例通常被用来测试算法的性 能。

规模分别为4 x6,8 x8,10 X10和15 X10,其
中4 x6和8 x8是部分柔性问题,4x6有12道工 序,8 x8有27道工序，10 x 10和15 x 10是全柔
性问题，10 x 10有30道工序，15 x 10有56道工
序。

设置种群规模为50,最大进化代数50代，通
过实验测试观察:变异概率P ” e ［0. 1,0. 3］之间
的随机数时，算法运行最佳。

与比较的文献一致,
每个算例独立运行10次，表2给出了 10次中算法 得到的最优解，并与文献算法所得结果进行了比
较。

表2 Kacem 问题计算结果与文献结果的比较
从表2可以看出，对被测试的四个问题，前三 个算例本文算法都能很快找到最优解，文献［10］, ［11］最差，对于较大规模的算例四,算法找到结果
仅次于文献［5］,但收敛速度胜于文献［5］,文献
问题
文献
文献文献文献文献本文算法n x m [10][11]
[5][12][13]HDEA
4x6
----17--
--
178 x815
151417141410x1077
7
87
7
15 x10
23
1211--
1312
［5］进化300代，由于文献［5］未给出更大规模的
算例结论，所以也无法再与该算法比较。

文献
［13］的HGW0算法是目前看来比较好的算法,除
了 4x6问题文献［13］没给出结果外，其它两个算
例运行结果与本文一样,对于规模较大的问题四, 进化50代的结果较文献［13］进化800代的结果
优，说明改进后的算法不仅提高了解的质量，还提 高了收敛速度。

从整体上来看，提出算法在求解中
小规模柔性作业车间调度问题上具有一定的优势。

图1 -图4给出了算法得到的调度甘特图。

图1 4*6问题的调度甘特图
图2 8*8问题的调度甘特图
为了进一步测试算法的性能,下面选取了经典 的Brandimarte 问题［14］测试算例中的MK01 -
MK10的10个测试数据，这10个算例有全柔性
的，也有部分柔性的，现将每个算例独立运行20
次，表3给出了算法在20次中找到的最好解，并与 遗传算法GA ,文献［12 ］的混合算法,文献［13］的
HGW0算法,文献［17］的混合化学反应算法,文献 ［11］的启发式算法及文献［14］的算法进行了比
较，并给出了这10个算例的上、下界［LB,UB ］
,UB
第6期宁桂英，等：混合差分进化算法求解柔性作业车间调度问题105
参看文献［14］。

表3Brandimarte问题算例计算结果比较
问题文献文献文献文献本文
n X m LB GA[17][12][11]HGWO[14]HDEA
MK0110x63640404042404036
MK0210x62426262628293225
MK0315x8204204204204204204207204
MK0415x84860606075656748
MK0515x4168173172172179175188172
MK0610x153363575869798561
MK0720x5133139139139149149154133
MK0820x10523523523523555523523523
MK0920x10299311307307342325437303
MK1020x15165212197199242253380207
图415*10问题的调度甘特图
在表3中：首先，从解的有效性上看，对10个算例,算法找到的最优解都在［LB,UB］内，说明解是有效的;其次,从解的精度上分析,MK06,MK10这两个算例在所有算法中看起来都很难找到理想的解，目前文献［17］的算法在求这两个的解上占优势，与理想最优解偏差分别为24和32,而算法除了在这两个解上略逊于文献［17］和文献［12］外，其余解都优于所有比较的文献解，说明算法求解精度高,鲁棒性强;对于所比较的算法都能找到最优解的MK03和MK08，在进化代数较少的条件下就找到了最优解，说明算法收敛速度快。

另外,对于普遍较难优化的MK01,MK02,MK04,MK07, MK09,本文算法都给出了全新的解，是迄今为止找到的最好解,而且MK01,MK04,MK07都找到了文献［14］给出的理论最优解,这进一步说明了算法的有效性和优越性。

为了进一步测试提出算法在解决实际问题中的性能，选取了实际生产中的2个典型案例模型进行计算，其中案例2是一个规模较大的案例，数据也较大。

案例1：假设某汽车发动机厂要对金进行加工，在加工过程中需要加工12个工件，每个工件有三道工序，分别为车、刨和磨，共36道工序，该车间有车床3台、刨床2台，磨床4台，不同机床加工时间参考文献［15］。

案例2：选取具有较大规模的钢铁生产的过程，有12个工件,每个工件有四道工序:炼钢一精炼一连铸一轧制，共要完成48道工序，现有3台炼钢炉、3台精炼炉、2台铸机和2台轧机，各机器的加工时间参考文献［15］。

对这两个实际应用案例，参数设置与前面设置相同,每个案例与所比较文献一样，独立运行10次。

表4给出了算法运行10次得到的最好结果及平均值，并与文献中相应的结果进行了比较，图5 -图6分别给出了案例1调度甘特图和案例2的进化曲线。

表4实例1--实例2的计算结果的比较算法案例1平均值案例2平均值SFLA[16]2424297338.6 GA[15]2627.3347---DEHGA2323.3297297.3好的稳定性和鲁棒性，在计算性能上也有大大提高，对部分较难优化的经典测试算例给出了新的最优解，说明算法对求解柔性作业车间调度问题具有一定的指导作用，后续工作是进一步提高算法的性能以解决更大规模及多目标生产调度问题。

图6案例2的进化曲线图
从表4可以看出:对于解决所提的两个实际问题,从解的质量上分析,算法能找到问题的最优解,文献［15］的GA算法对两个问题都没找到最优解,文献［16］对案例1没能找到最优解;从稳定性上分析,在运行10次的平均解上，算法略胜于文献［16］，对案例2,文献［15］只给出运行一次的解;从收敛速度上分析，文献［15］和［16］找到这两个最优解的进化代数均为10000次代，而算法为50代。

因此，在解决实际问题中，所提算法同样具有很好的稳定性和鲁棒性，能够在较少的时间内快速找到问题的最优解。

5结语
针对柔性作业车间调度问题的求解特点,从特殊的编码、解码，从变异策略、交叉策略等方面对基本差分进化算法进行了改进，提出了求解柔性作业车间调度问题的差分进化混合遗传算法，用改进后的算法对14个经典测试算例和2个实际应用案例进行了仿真计算,仿真结果表明，提出算法具有很参考文献：
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(9)：2234-2245.
(下转122页
)
素，并把它们作为方案择优的考察项，结合灰色系
统理论建立了商务房车总布置方案灰关联择优模
型。

利用该择优模型对各候选的总布置方案进行
评估，选出了最佳方案。

为避免错选风险,提出了通过计算总布置方案
各考察项的方差大小，并把它作为方案优劣的一个
辅助衡量标准。

即如果几个候选方案关联度相差
很小,通常应认为考察项方差值小的方案为佳。

实践表明基于修正灰关联分析模型的评估方
法能很好地满足生产实际要求，评估结果清晰明 了，并且易于实施。

此外，还可以设计相应的软件
系统，以便简化统计和计算过程,提高评估效率和
评估的有效性。

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Research on Grey Relational Selection Model for
General Layout of Commercial RVs
LIN Kai - rong 1 , CHEN Ning 1 , LIAO Zhong - chuan 2 , PENG Qing - hua 3
(1. College of Mechanical and Energy Engineering , Jimei University , Xiamen Fujian 361021 , China ； 2. Xiamen Golden Dragon Auto
Body Co. , Ltd. , Xiamen Fujian 361023 , China ； 3. Zhengzhou Yutong Bus Co. , Ltd. , Zhengzhou 450016, China )
Abstract : The domestic RV market has just started , and is of good prospect. In - depth study of the de ­
sign and production process is of great significance for the development of popular commercial RVs. The general
layout design is one of the key steps for the successful development of commercial RVs. Based on the characteris ­tics of the general layout design of commercial RVs ， this paper firstly clarified the main factors that affect the
quality of the general layout plan , and took them as the investigation items for the optimal selection of the plan.
Combined with the gray system theory , the gray correlation optimization model for the general layout of the com ­mercial RVs was established. We used the optimal model to evaluate several candidates and selected the finest
one. Practice shows that the model can well meet the production requirements , the optimal selection results are
clear and easy to implement ， and the model has strong practicability .
Key words : commercial RV ; general layout design ； plan ； evaluation
(上接106页)
Hybrid Differential Evolution Algorithm for Solving
Flexible Job Shop Scheduling Problem
NING Gui - ying , CAO Dun - qian 2
(1. Department of Mathematics and Physics , Liuzhou Institute of Technology , Liuzhou Guangxi 545616, China ；2. College of Science , Guangxi University for Nationalities , Nanning 530006, China )
Abstract :
In this paper , aiming at the characteristics of flexible job shop scheduling problem ( FJSP) , a
hybrid differential evolution algorithm is proposed. The method aims at minimizing the makespan ， adopts the two - way mutation strategy ， and uses differential mutation and genetic variation with a certain probability. At the same time ， in the mutation process ， a special decoding method is adopted ， in the intersection process ， the meth ­od of random displacement is used to maintain the diversity of the population and improve the performance of the algorithm. Finally ， the classical examples are tested by the algorithm and compared with the existing ones. The results show that the proposed method has good stability and robustness ， it is an effective method for solving FJSP.
Key words : differential evolution ； genetic algorithm ； flexible job shop scheduling ； NP 一 hard ；
makespan。