赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲（维纳过程和伊藤引理）【圣才出品】

赫尔《期权、期货及其他衍⽣产品》教材精讲（维纳过程和伊藤引理）【圣才出品】
第13章维纳过程和伊藤引理
13.1 本章重难点
·伊藤引理的运⽤
·资产价格⽅程的推导
13.2 重难点导学
⼀、马尔科夫性质
马尔科夫过程是⼀种特殊类型的随机过程。

这个过程所具有的马尔可夫性是指要知道未来状态的概率分布只要知道当前状态即可，知道现在之前状态的历史并不增加任何关于未来状态的概率分布的信息。

通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。

对股价将来的预测是不确定的，必须以概率分布的⽅式表达。

马尔科夫性质隐含了在将来任⼀特定时刻股价的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。

股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性相⼀致，也就是说，股票现在的价格已经包含了所有未来状态的概率分布的信息，研究股票价格的历史并不⽐当前价格增加任何新的信息。

⼆、连续时间随机变量
（1）维纳过程
维纳过程是马尔科夫过程中变化的期望值为0，⽅差率（即单位时间内发⽣的增量的⽅差）为1.0的特殊形式。

这种过程曾在物理学中描述某个粒⼦受到⼤量⼩分⼦碰撞的运动，
有时被称为布朗运动。

采⽤严格符号，变量z服从以下两个性质时称为服从维纳过程：性质1：变化量△z与⼩时间区间△t之间满⾜
（13-1）具有如此性质的原因是独⽴随机变量的和对于⽅差具有可加性，从⽽对标准差⽆可加性，因此，⼀段时间的增量的⽅差与时间间隔长度成正⽐，⽽增量的标准差则与时间间隔长度的平⽅根成正⽐。

具有如此性质的原因是独⽴随机变量的和对于⽅差具有可加性，从⽽对标准差⽆可加性，因此，⼀段时间的增量的⽅差与时间间隔长度成正⽐，⽽增量的标准差则与时间间隔长度的平⽅根成正⽐。

性质2：对于任何两个不同时间间隔△t，变化量△z相互之间独⽴。

由性质1得出，△z 本⾝服从正态分布，并且：
性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。

注：第8版教材对图13-1的解释有误，事实上，当Δt越来越⼩时，考虑的时间间隔
Δt
，⽽是因为每⼀个划分的时间区间的长度Δt越短，则所给同样长时间段的长度作为Δt的倍数越⼤，从⽽在同样长的时间内包含的“锯齿”数越多。

图13-1 当式（13-1）中Δt→0时，维纳过程的产⽣⽅式（2）⼴义维纳过程
⼴义的维纳过程描述了单位时间内漂移a，⽅差率为b2的正态分布变量的变化过程，其中a和b为常数。

这就是说，若零时刻变量的值为x，在T时刻它是均值为aT，标准差为的正态分布。

变量x的⼴义维纳过程⽤dz定义如下：
（13-2）股价的⼴义维纳过程如图13-2所⽰。

图13-2 ⼴义维纳过程
由图13-2可知，维纳过程的样本路径围绕时间轴上下波动，⽽⼴义维纳过程的样本轨道则围绕确定性直线路径()x t at =上下波动.此处假设(0)0x =。

（3）伊藤过程
伊藤过程是⼀个⼴义的维纳过程，是指漂移系数和⽅差均为x 本⾝和时间t 的函数的随机过程。

伊藤过程数学表达式为：
（13-3）
其中，参数a 和b 是变量x 和时间t 值的函数。

在⼀个很短时间内，x 的变化为正态分布，但长时间内x 的变化则可能是⾮正态分布。

三、描述股票价格的过程
假设以股价的⽐例表⽰的期望漂移为常数。

意味着如果股价为S ，S 的瞬态期望漂移系数为µS ，µ为某⼀恒定参数。

因此，在短时间间隔△t 后，S 的增长期望值为µS △t 。

股票价格⽐例变化的⽅差为σ2，瞬态⽅差率为σ2S 2。

S 可以⽤期望漂移系数为和瞬态⽅差为的伊藤过程来表达，为：
（13-4）
该⽅程是描述股票价格⾏为最为⼴泛使⽤的⼀种模型。

变量σ通常被称为股票价格波动率，变量µ为股票价格的预期收益率。

如果⽤下述伊藤过程来描述股价⾏为，则股票价格可取负值，
µσdz dS dt =+
（1）离散时间模型
股票价格⾏为模型也称为⼏何布朗运动（geometrie Brownian motion ），该模型的离散形式为：
（13-5）
变量△S为短时间△t后股票价格S的变化，?为标准正态分布的随机抽样值。

参数µ为单位时间内股票的预期收益率，参数σ为股票价格的波动率。

这两个参数假设为常数。

上式表明，△S/S是均值为µ△t，标准差为的正态分布，即：
（13-6）股票价格随时间变化的⾏为，是⼀个马尔科夫过程。

这个过程⼴泛地⽤于衍⽣证券的定价中。

在此过程中，股票持有者在任何短时间后的收益率都是正态分布，且任何两个时间间隔的收益率相互独⽴。

（2）蒙特卡罗模拟法
蒙特卡罗模拟法是⼀种⼯具，可⽤来评估在未来某个时期可能实现的各种不同损益的可能性。

它是通过模拟市场价格和波动率的变动，得到在某个指定时期该证券组合盈亏的整个概率分布。

对于包含许多不同标的资产的某个证券组合，在已知这些标的资产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟法可⽤于评估该组合的风险。

四、参数
股票价格的过程涉及两个参数：µ和σ。

参数µ是投资者在短时间后获得的预期收益率，以年计量，⽤⽐率的形式表⽰。

其值取决于股票收益的风险。

依附于某种股票的衍⽣证券的价值⼀般是独⽴于µ的。

（下⼀章可以证明）
参数σ对于决定⼤多数或有证券的价值是相当重要的，它是指⼀年内股票价格变化的标准差。

在⼀段较长时间T后股票价格变化的概率分布是对数正态分布，⽽且σ精确地等于⼀年内股票连续复利收益率的标准差。

五、相关过程假设两个过程x 1和x 2分别如下：
其中1z 和2z 为维纳过程。

如前⾯所述，这些过程的离散形式是
其中ε1和ε2是标准正态分布N （0，1）的样本。

对变量x 1和x 2，可以像上⾯第三部分所讲的那样进⾏抽样。

如果它们之间没有相关性，⽤来描述在⼀段时间△t 内变动的ε1和ε2应当是相互独⽴的。

如果变量x 1和x 2之间有⾮零的相关系数，这时⽤来描述在⼀段时间△t 内变动的ε1和ε2应当是⼆元正态分布的样本，其中每个变量都服从标准正态分布，⽽且两个变量之间的相关系数为ρ。

在这种情形下，称维纳过程dz 1与dz 2具有相关系数ρ。

在Excel 表中对互不相关的标准正态变量取样时，需要将“=NORMINV （RAND ）”应⽤在每个单元⾥。

当对具有相关系数ρ的标准正态变量
ε1和ε2取样时，可以令
其中u 和v
是按互不相关的标准正态分布提取的样本。

按照概率论中对相关系数的定义可以验证ε1和ε2的相关系数为
ρ===
应当指明的是，对于变量x
1
和x 2，在上⾯假定参数a 1，a 2，b 1，b 2可以是x 1，x 2和t。