一元二次方程的根与系数的关系

认知基础练
1 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 ( C) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
认知基础练
5 【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋ a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( A )
A ． － 4 ， 21
B ． － 4 ， 11
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的
相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
感悟新知பைடு நூலகம்
知1－练
例例11：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两
根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
方法技巧练
9 已知实数 x 满足 x2＋x12＋2x＋1x＝0，求 x＋1x的值．
【点拨】本题在解答过程中应用了换元法和整体思 想，即用 y 来代替 x＋1x，将已知等式转化成一元二 次方程求解．
认知基础练
7 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程 如下：
移项，得x2－2x＝－1，
∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.
知2－导
感悟新知
总结
知2－讲
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求 方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也 可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母 的值．
感悟新知
知2－练
例44：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2
满足x12＋x22＝4，则k的值为___k_＝__1__． 导引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程， 从而求得k的值． ∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－
2a
不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值， 而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系
复习提问
数引之出间问题的联系还有其他表现方式吗？
感悟新知
知1－讲
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系
思考1 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝
0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化 为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p， q之间的关系吗？
(1)x2－6x－15＝0
(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：
(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (2)x1＋x2＝－73 ，x1 x2＝－39＝－3.
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
x1＋x2＝－45
=
5 4
，
x1
x2＝14
.
知1－练
感悟新知
知2－导
知识点 2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
感悟新知
知1－练
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝
3 2
，x1x2＝－1.
感悟新知
例22：根据一元二次方程的根与系数的关系，求
下列方程两个根x1，x2的和与积：
感悟新知
归纳
知1－讲
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
感悟新知
知1－讲
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系 数又有怎样的关系呢？
感悟新知
归纳
知1－讲
方程的两个根x1，x2和系b数a，b，cc有如下关系： x1 x2 a , x1 x2 a .
课堂小结
一元二次方程
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2
和系数a，b，c的关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及
未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根
的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
2.5 一元二次方程的根 与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系
的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 x b b2 4ac ,
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
C ． 4 ， 21
D．－8，69
习题链接
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1C 2D 3B 4A
5A 6A 7 8
答案呈现
9
方法技巧练
先阅读下面的内容，再解决问题．
8 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的 最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
例例33：已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0 的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中p的值．
感悟新知
解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.
又∵x1x2＝
c ＝p2－2p＋5＝2×4＝8， a
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积
求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
湘教版 九年级上
第2章
一元二次方程
2.2. 2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
认知基础练
(2)请写出此题正确的解答过程． 解:移项，得 x2－2x＝1. 配方，得 x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2. 两边开平方，得 x－1＝± 2， 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 易错警示：用配方法解一元二次方程时，要先把 常数项移到方程的右边，移项时切记要变号．
2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1， ∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.
感悟新知
总结
知2－讲
已知方程两根的关系求待定字母系数的值时， 先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和 与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再 将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知 数的方程，进而求出待定字母的值．
(第一步)
配方，得x2－2x＋1＝－1＋1， (第二步)
整理，得(x－1)2＝0.
(第三步)
所以x1＝x2＝1.
(第四步)
(1)小明的解答过程是从第___一_____步开始出错的，其错
误原因是_____移__项__时__没__有__变__号___________________；
认知基础练
4 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同 时加上4的是( A ) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9