2023-2024学年江苏省连云港市高一上册期中复习数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省连云港市高一上册期中复习数学试题
一、单选题
1．已知集合A ={}01，
，B ={}
21x x =，则A B 的子集个数为（）A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【正确答案】C
由并集的概念可得{}1,0,1A B =-U ，进而可得A B ⋃的子集个数.
【详解】因为{}01A =，
，{}
{}211,1B x x ===-，所以{}1,0,1A B =-U ，所以A B ⋃的子集个数为328=.故选：C.
2．命题“2x ∀≤，2280x x +->”的否定是（）
A ．2x ∃≤，2280x x +-≤
B ．2x ∀>，2280x x +->
C ．2x ∃≤，2280x x +->
D ．2x ∃>，2280
x x +->【正确答案】A
【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.
【详解】命题“2x ∀≤，2280x x +->”的否定是.2x ∃≤，2280x x +-≤故选.A
3．设0b a >>，则下列不等关系正确的是（）A ．11
a b <B ．01a b
<
<C ．2
ab b >D ．
b a
a b
<【正确答案】B
【分析】由0b a >>，取特殊值，令2,3a b ==时，分别代入比较即可判断ACD 选项，根据不等式关系的性质，即可判断B 选项.【详解】由题可知，0b a >>，
对于A ，令2,3a b ==时，则1132
<，则11
a b >，故A 选项错误；
对于B ，由于10,
0b a b >>>，不等式两边同乘以1
b ，可得10a b
>>，故B 选项正确；
对于C ，令2,3a b ==时，26,9ab b ==，故C 选项错误；
对于D ，令2,3a b ==时，则32,23
b a a b ==，则b a
a b >，故D 选项错误.
故选：B
4．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（
）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】D
【分析】根据条件可得甲⇒乙⇔丙⇐丁，然后可分析出答案.
【详解】由甲⇒乙⇔丙⇐丁，可知丁推不出甲，甲推不出丁，所以丁是甲的既不充分也不必要条件故选：D
本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
5．若幂函数()
2
223
1m
m y m m x
--=--在区间(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值（
）
A ．1m =-
B ．2m =
C ．1m =-或2
D ．2m =-或1
【正确答案】B
首先根据函数是幂函数得到211m m --=，求得m 的值，再代入验证.【详解】因为函数是幂函数，所以211m m --=，解得：1m =-或2m =，
当1m =-时，01y x ==，不满足函数在区间()0,∞+是减函数，当2m =时，3y x -=，满足条件，故选：B.
本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型.
6．已知函数(3)5,1,()2,1a x x f x a
x x -+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩
满足对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，则a 的取值范围是（）
A ．(0，3)
B ．(]0,3
C ．(0，2]
D ．(0，2)
【正确答案】C
【分析】根据对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，得到函数在R 上是减函数求解.
【详解】因为对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，所以函数(3)5,1,()2,1a x x f x a
x x -+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩
在R 上是减函数，所以30
0352a a a a -<⎧⎪
>⎨⎪-+≥⎩
，解得02a <≤，
所以实数a 的取值范围是(0，2].故选：C
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为
4
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）
A ．30件
B ．60件
C ．80件
D ．100件
【正确答案】B
【分析】确定生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是2
190090404
x x x
+⨯=+这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为2
1904
090()40x
x f x x x +
==（x 为正整数）
由基本不等式，得900304x x +≥当且仅当
9004
x
x =，即60x =时，()f x 取得最小值，60x ∴=时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
8．已知实数0a >，0b >，11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是（）A
．B
．C ．3D ．2
【正确答案】B
【分析】根据已知条件，将2a b +变换为2(1)112311b a a b ++⎡
⎤+++-⎢⎥++⎣⎦
，利用基本不等式，即可求得其最小值.
【详解】∵0,0a b >>，
11
111
a b +=++∴112(1)2(1)3[(1)2(1)]3
11a b a b a b a b ⎛⎫+=+++-=+++⋅+- ⎪++⎝⎭
2(1)112333
11b a a b ++⎡
⎤=+++-≥+=⎢⎥++⎣⎦
当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a =，2
b =.故选：B
本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.
二、多选题
9．设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值可以为（）
A ．
15
B ．0
C ．3
D ．
13
【正确答案】ABD
【分析】先将集合A 表示出来，由A B B = 可得B A ⊆，则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值.
【详解】集合2{|8150}{3,5}A x x x =-+==，由A B B = 可得B A ⊆，则分B =∅和{3}=B 或{5}或{3,5}，当B =∅时，满足0a =即可；
当{3}=B 时，满足310a -=，解得：1
3
a =；
当{5}B =时，满足510a -=，解得：1
5
a =；
当{3,5}B =时，显然不符合条件，
所以a 的值可以为11
0,,35
，
故选.ABD
10．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）
A ．()f x x =与()g x =
B ．()|1|f t t =-与()|1|
g x x =-
C ．2()f x x =与2
()g x x =D ．21
()1x f x x +=
-与
1()1
g x x =-【正确答案】BC
分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.
【详解】对于A ：()g x x =，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选
项A 不正确；
对于B ：()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项B 正确；
对于C ：2()f x x =与2
()g x x =定义域都是R ，2
2()g x x x ==，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确对于D ：2
1
()1x f x x +=
-定义域是{}|1x x ≠±，1()1
g x x =-定义域是{}|1x x ≠，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项D 不正确；故选：BC
本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.
11．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式恒成立的是（）
A ．4
7
3
a a +
≥-B ．2
21
11
a a +
≥+C 2≥D ．114
a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭【正确答案】BCD
【分析】根据0a >得到3a -的符号不定，取特殊值可以得到选项A 错误，利用基本不等式逐一验证证明可以判定选项B 、C 、D 正确.
【详解】对于A ：因为0a >，所以3a -的符号不定，显然，当2a =时，44
227323
a a +=+=-≥--不成立，即选项A 错误；
对于B ：因为0a >，所以211a +>，
所以222211111111a a a a +=++-≥=++成立，（因为211a +>，所以2
2111
a a +≠+，即不能取到等号），
即选项B 正确；
对于C ：因为0a >，0b >，
所以0a b +≥，2
≥（当且仅当0a b =>时取等号），即选项C 正确；
对于D ：因为0a >，0b >，
所以114a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
（当且仅当1a a
=且1
b b =，即1a b ==时取等号），
即选项D 正确.故选：BCD.
12．不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中
作出11y x =+和2
243=-+y x x 的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问
题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(3)()0ax x b --+≤成立，则a b +的值可以是（）.
A ．1
B ．2-
C ．8
D ．0
【正确答案】BC
结合题意，排除0a ≥、0b ≤；当a<0，0b >时，作出两函数的图象，数形结合可得3a
，结合,a b ∈Z 即可得解.
【详解】若0a ≥时，当0x ≤时，30ax -<，此时20x b -+≥恒成立，即2x b ≤，不存在这样的实数b ；
当0b ≤时，20x b -+≤，此时30ax -≥即3ax ≥对任意0x ≤恒成立，不存在这样的实数a ；所以a<0，0b >，
当a<0，0b >时，函数3y ax =-是减函数，与x 轴的交点为3,0a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
函数2y x b =-+与x 轴的交点为())
,
，
在同一直角坐标系内，画出函数23,y ax y x b =-=-+的图象，如下图所示：
数形结合可得，若满足题意，则3
b a
=
即29a b =，又,a b ∈Z ，a<0，0b >，所以31a b =-⎧⎨=⎩或1
9a b =-⎧⎨=⎩
，
所以2a b +=-或8a b +=.故选：BC.
关键点点睛：解决本题的关键是准确理解题意，结合二次函数、一次函数的性质分类讨论，转化条件为3
b a
=
.三、填空题
13．函数21
()ln 1x f x x -=
-的定义域为________.
【正确答案】()
1,,2e e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
由分式、二次根式及对数函数的性质可得210ln 100x x x -≥⎧⎪
-≠⎨⎪>⎩
，即可得解.
【详解】若要使函数()f x 有意义，则210ln 100
x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩，解得()1,,2x e e ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭ ，
所以函数()f x 的定义域为()1,,2e e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
故答案为.()
1,,2e e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
14．已知{}{29,2A x a x a B x x =<≤+=<-或}6x >，若A B ⋃=R ，则a 的取值范围为___________
【正确答案】[)3,1--##{}|31a a -≤<-.
【分析】根据条件A B ⋃=R ，确定不等式端点之间的关系进行求解即可.
【详解】因为A B ⋃=R ，所以22
96a a <-⎧⎨+≥⎩，解得13a a <-⎧⎨≥-⎩
，所以31a -≤<-，
即实数a 的取值范围为[)3,1--.故答案为.[)
3,1--15．若函数()y f x =的定义域为[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是__________．【正确答案】[0,1)
【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求法求解.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[0,2]，所以02x ≤≤，则022x ≤≤，且1x ≠，解得01x ≤<，所以函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是[0,1)，故[0,1)
16．命题“(0,)x ∃∈+∞，2390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.【正确答案】2
a ≤【分析】将条件转化为(0,)x ∀∈+∞，2390x ax -+≥恒成立，然后分离参数转化为最值问题即可.
【详解】若命题“(0,)x ∃∈+∞，2390x ax -+<”为假命题，则命题“(0,)x ∀∈+∞，2390x ax -+≥”为真命题；
即命题“(0,)x ∀∈+∞，293
33x x a x x
+≤
=+”为真命题.
∵(0,)x ∈+∞时，323x x +≥=，当且仅当33x x =，即x =时等号成立
所以2a ≤故2
a ≤本题考查的是根据特称命题的真假性求参数范围和利用基本不等式求最值，较简单.
四、解答题
17．已知集合{}014P x x =≤-≤，{}26Q x x =≤≤，{}6D x a x a =-<<.（1）求P Q U ，P Q ；
（2）若D Q ⊆，求实数a 的取值范围.
【正确答案】（1）{}16P Q x x ⋃=≤≤，{}25P Q x x ⋂=≤≤；（2）4a ≤.【分析】（1）利用集合的并、交运算求P Q U ，P Q 即可.（2）讨论D =∅、D ≠∅，根据D Q ⊆列不等式求a 的范围.【详解】（1）∵{}014{|15]P x x x x =≤-≤=≤≤，{}26Q x x =≤≤∴{}16P Q x x ⋃=≤≤，{}25P Q x x ⋂=≤≤.
（2）当D =∅时，6a a -≥，解得3a ≤，则满足D Q ⊆.当D ≠∅时，6a a -<，解得3a >，又D Q ⊆∴626
a a -≥⎧⎨≤⎩，解得4a ≤，即34a <≤.综上，4a ≤.18．正数x ，y 满足19
1x y
+=.(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋2y 的最小值．
【正确答案】(1)36；(2)19+
【分析】(1)由基本不等式可得191x y =
+≥，再求解即可；
(2)由19292(2)1919y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+
+≥+ ⎪⎝⎭
.
【详解】解：(1)由191x y =
+≥得xy ≥36，当且仅当19x y =，即2,18x y ==时取等号，
故xy 的最小值为36.
(2)
由题意可得19292(2)191919y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+
+≥+=+ ⎪⎝⎭
当且仅当
29y x
x y
=，即2292x y =时取等号，故x ＋2y
的最小值为19+本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.19．已知函数()37
2
x f x x +=
+，[]1,1x ∈-（1）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义证明：（2）求()f x 上的最大值和最小值．
【正确答案】（1）减函数，证明解析；（2）最大值()14f -=，最小值()372
f =【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出判定，得到结论；
（2）由（1）知，函数()f x 在区间[]1,1-上是减函数，即可求得函数的最大值和最小值.【详解】（1）函数()37
2
x f x x +=+是区间[]1,1-上的减函数.证明如下：
设1x ，2x 是区间[]1,1-上的任意两个实数，且12x x <，则()()121212373722x x f x f x x x ++-=
-++()()()()()()
12211237237222x x x x x x ++-++=
++()()211222x x x x -=++，因为1211x x -£<£，所以210x x ->，()()12220x x ++>，于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()37
2
x f x x +=
+是区间[]1,1-上的减函数.（2）由（1）知，函数()f x 在区间[]1,1-上是减函数，所以当=1x -时，()f x 取最大值()14f -=；当1x =时，()f x 取最小值()1013
f =
.20．已知函数()()22
212f x x k x k =+-++．
（1）若不等式()0f x <的解集为{}3|1x x <<，求实数k 的值；
（2）若函数()f x 在区间[]2,4上不单调，求实数k 的取值范围．
【正确答案】（1）1k =-；（2）()3,1--.
【分析】（1）先根据不等式的解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理解出参数即可；
（2）根据题意知对称轴在区间内，列不等式即解得答案.
【详解】解：（1）由已知得方程()222120x k x k +-++=的两根为1和3，
故由()()
2241420k k ∆=--+>，解得12k <-，再由韦达定理有()22113213
k k ⎧--=+⎨+=⨯⎩，得112k =-<-，符合要求，故实数k 的值为1k =-；
（2）∵函数()f x 在区间[]2,4上不单调，二次函数对称轴为()1x k =--，
∴()214k <--<，解得31k -<<-，
所以实数k 的取值范围为()3,1--．
21．
（1）已知0x >，0y >，28x y +=，求xy 的最大值：（2）已知常数0a >，0b >和变量0x >，0y >满足10a b +=，
1a b x y
+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值.
【正确答案】（1）8；（2）2,8a b ==或8,2a b ==.
【分析】（1）根据0x >，0y >，28x y +=，由122xy x y =⋅，利用基本不等式求解；（2）根据0x >，0y >，1a b x y
+=，利用“1”的代换，由基本不等式求得其最小值，再由x y +的最小值为18求解.
【详解】（1）因为0x >，0y >，28x y +=，所以2
11222228y y x y x x +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当24x y ==时，等号成立，
所以xy 的最大值是8：
（2）因为0a >，0b >和变量0x >，0y >满足10a b +=，1a b x y
+=，所以(
)a b ay bx a b a b a b x y x x y x y y ⎛⎫+=+++≥++++ ⎪+⎭
=⎝+，当且仅当ay bx x y
=时，等号成立，又因为x y +的最小值为18，
所以18a b ++=，
因为10a b +=，
解得16ab =，
所以a ，b 是方程210160x x -+=的两个根，
解得2,8a b ==或8,2a b ==.
22．已知二次函数()f x )满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．
【正确答案】（1）2()215f x x x =-++，（2）min 2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩
【详解】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m≤0时，当0＜m ＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：
（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，
1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.
试题解析：
（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），
则()()()()()
22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2
b =又()215f =，∴15
c =.
∴()2215
f x x x =-++（2）①∵()2215
f x x x =-++∴()()()222215
g x m x f x x mx =--=--.
又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2
m ≥②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，
当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--；
当0m <时，()()min 015g x g ==-；
当02m ≤≤时，()()222min 21515
g x g m m m m ==--=--综上所述，()min 2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩。