2021年九年级中考数学 几何专题：与圆相关的计算(含答案)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021中考数学几何专题：与圆相关的计算
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()
A．8 B．4
C．4π＋4 D．4π－4
2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
3. 如图半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为()
图A.3
5π B.
4
5π C.
3
4π D.
2
3π
4.
如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是( )
A. π
4B.
1
2＋
π
4C.
π
2D.
1
2＋
π
2
5. 一元硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为()
A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3
mm
6. （2020·云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（）
A．B．1 C．D．
7. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()
A. 2 B．2 2 C.
2
2D．1
8. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是()
A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶1
9. 已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动旋转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，扇形工件所在圆的直径为6 m，则圆心O所经过的路线长是(结果用含π的式子表示)()
A．6π m B．8π m C．10π m D．12π m
10. （2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为
点
1
A，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）
A. 4π
B. 6
C. 43
D. 8 3π
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.
12. （2020·黑龙江龙东）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．
13. （2020·玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF 绕顶点A顺时针旋转到四边形AD/E/F/处，此时边AD/与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．
14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且6
AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．
15. （2020·广西北部湾经济区）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，
点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E 从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．
16. （2020·青岛）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，弧MN的长为π，则图中阴影部分的面积为.
三、解答题（本大题共5道小题）
17. 如图，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数;
(2)若AB=AC，CE=2，求☉O的半径长.
18.
如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆O的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
19. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使
OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P 为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连
接AE ，CP .
（1）①求证：△AOE ≌△POC ；
②写出∠1，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由.
（2）若OC =2OA =2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此
时S 扇形EOD （答案保留π）.
备用图
图13
21B
A
O B
A
O C
D
D
C
P
E
20. 如图，在正方形
ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时
针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG . (1)求证：EF ∥CG ；
(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．
21. （2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相
关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内
接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
2021中考数学几何专题：与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A
2. 【答案】A
3. 【答案】B[解析] 连接OA，OC，则∠OAE＝∠OCD＝90°.∵五边形ABCDE
为正五边形，
∴∠E＝∠D＝108°，∴∠AOC＝540°－∠OAE－∠OCD－∠E－∠D＝144°，
∴劣弧AC的长度为144
180×π×1＝
4
5π.
4. 【答案】A 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA ＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影
部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为1
4π×1
2＝
π
4.
5. 【答案】A[解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．
6. 【答案】
D ．
【解析】设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝
，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是． 7. 【答案】A
[解析] 如图所示，连接OA ，OE.
∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB.
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.
在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.
8. 【答案】C
[解析] 正六边形的面积＝6×3
4×(2a )2＝6 3a 2，阴影部分的面积
＝a ·2 3a ＝2 3a 2，
∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a 2∶2 3a 2＝3∶1.
9. 【答案】A
[解析] 如图，∠AOB ＝360°－270°＝90°，则∠ABO ＝45°，
则∠OBC ＝45°，
点O 旋转的长度是2×45π×3180＝3
2π(m)，
点O 移动的距离是270π×3180＝9
2π(m)，
则圆心O 所经过的路线长是32π＋9
2π＝6π(m)．
10. 【答案】D
【解析】求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°.
由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=1BC A C =1
2
.
∴∠
ACA 1=60°
. ∴扇形ACA 1的面积为
2460360π⨯⨯=8
3π. 即线段CA 扫过的图形的面积为8
3
π.
故选：D
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正方形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即
2
+
2
=52，解得a=5
.
12. 【答案】10
【解析】本题考查了圆锥侧面的展开图，解：∵S l•R ，
∴•l•15＝150π，解得l ＝20π，设圆锥的底面半径为r ，∴2π•r ＝20π，∴r ＝10（cm ）． 故答案为：10． 13. 【答案】3π 【解析】先观察图中阴影部分的面积应该等于哪几个规则图形面积的和或差，然后再根据公式进行计算.
∵六边形ABCDEF 是正六边形
∴每个内角的度数为180°－
360
6
＝120°，且AB ＝BC ，∴∠F AB ＝∠E ＝∠B ＝120°，∵AB ＝BC ，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∵任何正六边形都有一个外接圆，∴四边形ADEF 是正六边形外接圆中的内接四边形且AD 为直径，∴AD ＝6，∠E ＋∠F AD ＝180°，∴∠F AD ＝60°，∴∠DAC ＝120°－∠F AD －∠CAB ＝30°，由旋转的性质得：四边形AD /E /F /≌四边形ADEF ，
则图中阴影部分的面积＝四边形ADEF 的面积＋扇形ADD '的面积－四边形
AD /E /F /的面积＝扇形ADD '的面积＝2
306
360
π⨯＝3π；故答案为：3π．
14. 【答案】6π
【解析】由图可得，
图中阴影部分的面积为：222
60π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，
故答案为：6π．
15. 【答案】
π
【解析】如图，作△CBD 的外接圆⊙O ，连接OB ，OD ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∵∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，
∴BD ＝AD ，∠BDF ＝∠DAE ，
∵DF ＝AE ，
∴△BDF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠DBF ＝∠ADE ， ∵∠ADE +∠BDE ＝60°， ∴∠DBF +∠BDP ＝60°， ∴∠BPD ＝120°，
∵∠C ＝60°，
∴∠C +∠DPB ＝180°， ∴B ，C ，D ，P 四点共圆， 由BC ＝CD ＝BD ＝2，可得OB ＝OD ＝2，
∵∠BOD ＝2∠C ＝120°， ∴点P 的运动的路径的长
π．，因此本题答案是π．
16. 【答案】π333
24--
【解析】本题考查了切线的性质、四边形的内角和、弧长公式、三角形的面积公式、切线长定理、三角函数、组合图形的面积计算，解答过程如下：如图所示，连接OM 、ON 、OA ，设BC 与半圆O 分别交于点D 、E ，
∵以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ，
∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠MAO=∠NAO=21∠BAC=2
1
×120°=60°，AN=AM ，
∴∠MON=360°-90°-90°-120°=60°，∴∠BOM+∠CON=180°-∠MON=180°-60°=120°.
∵弧MN 的长为π，∴ππ=⋅180
60OM
，∴OM=ON=3.
∵MAO AM OM ∠=tan ，∴306tan 3=︒=AM
，∴3==AM AN . ∴图中阴影部分的面积为：NOE DOM AMON ABC S S S S 扇形扇形四边形△--- =)(2NOE DOM AOM ACO ABO S S S S S 扇形扇形△△△+--+
=36012021221212OM OM AM ON AC OM AB ⋅-⋅⨯-⋅+⋅π =3)(212OM OM AM OM AC AB ⋅-⋅-⋅+π =3333316212⋅--⨯⨯π =π33324--.
因此本题答案为π33324--．
三、解答题（本大题共5道小题）
17. 【答案】
解:(1)如图，连接OA ，
∵AC 为☉O 的切线，OA 是☉O 的半径，
∴OA ⊥AC.
∴∠OAC=90°.
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°.
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
(2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B ，∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°，∴∠AOC +∠C=90°，
∴3∠C=90°，∠C=30°.
∴OA=OC.
设☉O 的半径为r ，
∵CE=2，∴r=(r +2).∴r=2.
∴☉O 的半径为2.
18. 【答案】
解：(1)证明：连接OC .
∵C ，D 为半圆O 的三等分点，
∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，
∴∠DAC ＝∠BAC .
∵OA ＝OC ，
∴∠BAC ＝∠ACO ，
∴∠DAC ＝∠ACO ，
∴OC ∥AD .
∵CE ⊥AD ，
∴CE ⊥OC ，∴CE 为⊙O 的切线．
(2)连接OD .
∵AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，
∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝13×180°＝60°.
又∵OC ＝OD ，
∴△COD 为等边三角形，
∴∠CDO ＝60°＝∠AOD ，
∴CD ∥AB ，
∴S △ACD ＝S △COD ，
∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.
19. 【答案】
解：解：（1）①证明：∵OA=OB ，OE=OC ，∠AOE=∠POC ，∴△AOE ≌△POC ； ②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE ≌△POC ，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E ＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.
（2）相切.
如图，∵CP 与小半圆相切，∴CP ⊥OP.
在Rt △OPC 中，∵OP=1，OC=2,∴cos ∠COP=1
2，∴∠COP=60°.
∴∠DOE=120°.∴S 扇形EOD=212024360
3ππ⨯=. 【解析】本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质、三角形内角和定理、平行
线的性质和全等三角形的判定和性质等知识．（1）在△AOE 中，由∠AEO 和∠AOE 的度数求得∠EAO 的度数，再由AC 平分∠DAE 求得∠OAD 的度数，进而由AD ∥BC 得到∠ACB ＝∠OAD ，问题得解；（2）先根据AAS 证明△AEO ≌△CFO ，再根据相似三角形对应边相等得到AE ＝CF.
20. 【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.
∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，
∴△BFA ≌△BEC ，
∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，
AF ＝CE ，
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，CE＝FG，
∴CE綊FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG.
(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1
2AB.
∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝1
2AB＝1，
∴AF＝AB2＋BF2＝ 5.
由(1)知四边形EFGC是平行四边形，FC为其对角线，
∴点G到FC的距离等于点E到FC的距离，即BE的长，
∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π·22
360＋
1
2×2×1＋
1
2
×(1＋2)×1－90π·（5）2
360＝
5
2－
π
4.
21. 【答案】
解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，
∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝∠AOE＝36°，
同理∠BAC＝×72°＝36°，
∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴，而AB＝BN，
∴，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴，即，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得：，设＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），
∴＝；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝．
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

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