运筹学——2对偶理论和灵敏度分析

MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:

x1 2 x1

x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x2 0, x3无约束
MinW

2u1 u1 u2
u22u23 u3
1
ST
:


u1 u2 u3 u1 u2 u3
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4
s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000
4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000

y1, y2, y3, y4≥0
2
二、对偶问题
（1）对称LP问题的定义
第一类对称形式
MaxZ CT X
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其
Max
Z
= x1
x1-2x2’ +x3’-x3’’ -x2’ -x3’+x3’’ ≤ 2
化为第一类对称形式
x1+x2’+x3’ -x3’’ ≤ 1
s.t. -x1 -x2’ -x3’+x3’’ ≤-1
-2x1+x2’ -x3’+x3’’ ≤-2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3
s.t. y1+4y2 ≥2
2y1 +4y3 ≥3
y1 ,y2,y3 ≥0
4
（3）对偶问题的对偶是原问题
推导过程
Max Z=CTX
由于X(0)=(0,0,4,4)T, Y(0)=(6/5,1/5)T是(L)，(D)的可行解且 CX(0)=bTY(0)=28，所以X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。
17
定理3（强对偶定理） 若(L)，(D)均有可行解，则(L)，(D) 均有最优解，且目标函数最优值相等。
证明： 设X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的可行解,由弱对偶定理，
限额 600 400 300 200
y1 y2 y3 y4
假设工厂考虑不进行生产而把 全部资源都转让，问如何定价 这些资源，既能使其获利不低 于安排生产所获得的收益，又 能使资源租让具有竞争力。
Max Z = 2000x1+4000x2+3000x3
s.t. 3x1+4x2+2x3≤600 2x1+ x2+2x3≤400 x1+3x2+3x3≤300 x1+2x2+4x3≤200 x1, x2, x3≥0
因为CTX(0)=(CBT, CNT) XB(0)=CBT XB(0)+CNT XN(0) = CBTB-1b
XN(0)

而bTY(0) =bT(CBTB-1)T = CBTB-1b
则CTX(0)=bTY(0)，由最优性准则知， X(0),Y(0)分别为(L)，(D)
的最优解, 且目标函数最优值相等。
对于(L)的任意可行解X，有CTX ≤ bTY(0)，所以CTX在可 行域内有上界，故(L)有最优解。
同理，对于(D)的任意可行解Y，有bTY ≥CTX(0)，所 以bTY在可行域内有下界，故(D)有最优解。
设(L)的最优解为X(0)，且X(0)所对应的最优基为B，
X(0)可以表示为X(0) = XB(0)= B-1b
ST
:

ห้องสมุดไป่ตู้
3 y1 4 y1

y2 y2

y3 y3
4 0
y1 , y2 , y3 0
6
三、非对称LP问题的对偶问题
例3 写出下列LP问题的对偶问题
Max Z = x1+2x2+x3
x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2 x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
MinW 3x1 4x2
3 x1 3 x2 4 x3 7
ST
:


4 x1 x2 x3 8 x1 x2 x3 1
x1 , x2 , x3 0
解: 上述LP问题的 MaxZ 7 y1 8 y2 y3
对偶问题为：
3 y1 4 y2 y3 3
y1+2y2 ≥ 1
s.t.
22yy11++3yy22
≥ ≥
2 3
3y1+2y2 ≥ 4 y1,y2≥0
由于X(0) =(1,1,1,1)T, Y(0)=(1,1)T分别为 (L),(D)的可行解， 故Z≤40,W≥10.
15
定理2（最优性准则） 当LP问题目标函数值与其对偶问 题目标函数值相等时，各自的可行解即为最优解。
(L) s.t. AX≤b

X≥0
变
形
变形对偶
Min W=bTY
对偶 (D) s.t. ATY≥C

Y≥0
变
形
Min Z ’= -CTX
(DD) s.t. -(AT)TX≥ -b

X≥0
对偶
Max W ’= -bTY
s.t.-ATY≤ -C

Y≥0
5
例2 写出下列LP问题的对偶问题
CB XB b
2 x1
4
0 x5
4
3 x2
2
-14
23 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0
0 0 -3/2 -1/8 0
此时达到最优解X*=(4, 2)T, Max Z=14。
对偶问题的最优解为Y*=(3/2, 1/8, 0)T
19
推论： 在用单纯形法求解LP问题(L)的最优单纯形表中， 松弛变量的检验数的相反数就是其对偶问题(D)的最优解。
证明：因为σsT=0T-CBTB-1I= -CBTB-1 y*T=CBTB-1
所以 y*= -σs 例5 求下列问题对偶问题的最优解
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
则上述问 题变为：
Min W =2u1+u2+2u3 u1+u2+2u3 ≥1
s.t. u1 -u2+ u3 ≤2 -u1+u2+ u3 =1 u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
8
Max Z = x1+2x2+x3
Min W =2u1+u2+2u3
(L)
x1+x2-x3 ≤2
s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2
XN(0)
0

18
则(σAT,σST)= (CT,0T) –CBTB-1(A, I) ≤0
由于CT–CBTB-1A≤0，
所以CBTB-1A ≥CT
即AT(CBTB-1)T≥C
(1)
又0T–CBTB-1I ≤0，故(CBTB-1)T≥0.
(2)
令Y(0)=(CBTB-1)T，由(1) (2)知Y(0)是(D)的可行解.
若X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的可行解,且CTX(0)＝bTY(0) ， 则X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。
证明： 由定理1可知，对于(L)的任意可行解X，有CTX ≤ bTY(0) 由于CTX(0) = bTY(0) ，故X(0)为 (L) 的最优解。 同理Y(0)为(D)的最优解。
第二章 线性规划的对偶理论
窗
含
西
岭 本章主要内容：
千
秋 • 线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义
雪
， • 线性规划的对偶单纯形法
门
泊 东
• 线性规划的灵敏度分析
吴
万
里
船
1
第一节 对偶问题的提出
一、引例
材料 甲 乙 丙 丁 单件
产品
收益
A 3 2 1 1 2000 x1 B 4 1 3 2 4000 x2 C 2 2 3 4 3000 x3
(D)
x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
u1+u2+2u3 ≥1
s.t. u1 -u2+ u3 ≤2 -u1+u2+ u3 =1 u1≥0, u3≤0 ,u2无约束
对偶关系：一个问题第i个变量的约束情况决定另一问题 第i个约束不等式的方向，反之亦然。
正常的对正常的，不正常的对不正常的
9
例3 直接写出LP问题的对偶问题
≤20 ≤20
x1,x2,x3,x4 ≥0
Min W = 20y1+20y2
16
例5
Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4
s.t.
2xx11++2xx22++32xx33++23xx44
≤20 ≤20
x1,x2,x3,x4 ≥0
Min W = 20y1+20y2
(D) y1+2y2 ≥ 1
s.t.
22yy11++3yy22
≥ ≥
2 3
3y1+2y2 ≥ 4 y1,y2≥0

2 1
u1 0，u2无约束，u3 0
10
MinW 2u1 u2 2u3

u1 u2 2u3
ST
:


u1 u2 u3 u1 u2 u3

u1 0, u2无约束, u3
1 2 1 0
MaxZ x1 2x2 x3
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
解：化为标准型
Max Z =2x1+3x2+0x3+0x4+0x5
s.t. x1+ 2x2+x3
=8
4x1
+x4 =16
4x2
+x5=12
x1 ,x2 , x3, x4, x5≥0
20
运用单纯形法计算得原问题的最终表如下：
cj
(2)若∑ail yi(0) > Cl ，则xl(0) = 0 i=1 n
(3)若yk(0) >0，则∑akj xj(0) = bk j=1 n
(4)若∑akj xj(0) < bk ，则yk(0) =0 j=1
22
例6 考虑下面问题
Max Z = x1+2x2+3x3 +3x4
(L)
s.t.
2xx11++2xx22++32xx33++23xx44
S .T
.

AX b X 0
第二类对称形式
MinW bTY ATY C
S.T . Y 0
（2）对称LP问题的对偶问题
MaxZ CT X
(L)
AX b
S.T .
X
0
MinW bTY (D) ATY C
S.T . Y 0
3
例1 写出下列LP问题的对偶问题
证明：
由于X(0)是(L)的可行解，有AX(0)≤b, X(0)≥0.
由于Y(0)是(D)的可行解，有Y(0)≥0.
Y(0)T左乘不等式组AX(0)≤b的两边得：
Y(0)TAX(0)≤ Y(0)Tb.
两边同时转置得
X(0)TATY(0) ≤ bTY(0)
（1）
12
又ATY(0) ≥C, X(0)T≥0.
7
上述第一类对称形式LP问题的对偶问题为：
Min W =2y1+y2 -y3-2y4
y1+y2 -y3-2y4 ≥ 1 -y1+y2 -y3 +y4 ≥-2 s.t. -y1+y2 -y3 -y4 ≥ 1
y1 -y2+y3 +y4 ≥-1 y1, y2, y3, y4 ≥0
令 u1= y1 u2=y2-y3 u3=-y4
推论3 极小化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题目标函数值的上界。
14
例4 考虑下面一对LP问题
Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4
s.t.
2xx11++2xx22++32xx33++23xx44
≤20 ≤20
x1,x2,x3,x4 ≥0
其对偶问题为：
Min W = 20y1+20y2
21
定理4（互补松弛定理）在最优情况下，原问题的第i个决策变 量与其对偶问题第i个约束中的松弛变量的乘积恒为零。
设X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则X(0),Y(0)分别为(L),(D)
的最优解的充要条件为
,有
m
(1)若xl(0) >0，则∑ail yi(0) = Cl i=1 m
x1 x2 x3 2
ST
:


x1 x2 x3
2x1 x2 x3


1 2
x1 0 x2 0 x3无约束
11
第二节 LP问题的对偶理论
定理1(弱对偶定理): 极大化原问题目标函数值总是不 大于其对偶问题的目标函数值。
若X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则有CTX(0)≤bTY(0)
所以 X(0)TATY(0) ≥X(0)TC = CTX(0)
(2)
由（1），（2）得：
CTX(0) ≤ bTY(0)
13
推论1 若LP问题有无界解，则其对偶问题无可行解； 若LP问题无可行解，则对偶问题或有无界解或无可行解。
推论2 极大化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题目标函数值的下界。