4-3等比数列4-3-1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式分层作业新人教A版选择性必修第
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BCD
A.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若 ，则数列 是等差比数列D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
[解析] 对于等差数列 ，考虑 , , ， 无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0， , ，则 ,与题目矛盾，所以B选项正确；若 ，则 ，数列 是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则 , ， ，所以D选项正确.
80,40,20,10
[解析] 解析设这6个数所成等比数列的公比为 ，则 ， ， . 这4个数依次为80,40,20,10.
6.［探究点一］在数列 中，已知 ，且对任意正整数 都有 ，则 _ _________.
[解析] 由 ,得 ,所以数列 是等比数列，公比为 .因为 ，所以 .
（2）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论.
解 是等比数列，证明如下： 因为 ,又 ，所以当 时， ，此时 不是等比数列；当 时， ，由上可知 ，所以 .故当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
C级 学科素养创新练
19.（多选题）在数列 中，如果对任意 都有 （ 为常数），则称 为等差比数列， 称为公差比.下列说法正确的是( )
20.在数列 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列,记为 ,再在数列 中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列 .若 ,则数列 中第 项前（不含 ）插入的项的和最小为( )
C
A.30 B.91 C.273 D.820
[解析] 等比数列 首项为1,公比为3,故其通项公式为 .令 ,可得 ,可得 .数列 的前6项为1,3,9,27,81,243,其中1,9,81为数列 中的项,而3,27,243不是数列 的项,所以插入的项的和最小为 .故选C.
7.［探究点二］在等比数列 中，若 ,公比 ,则 与 的等比中项是_____.
[解析] 依题意，得 ,而 与 的等比中项是 ，故 与 的等比中项是 .
8.［探究点四］已知数列 满足 ,且 , 且 .求使数列 是等比数列的 的值.
解 若数列 是等比数列，则 （ 为非零常数）,即 ,对于任意 恒成立，则 解得 .故当 时，数列 是等比数列.
12.在数列 中，对任意 ，都有 ，则 ( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 由 得 ，即数列 是以2为公比的等比数列，则 .
13.（多选题）已知 为等比数列，下列结论正确的是( )
ABD
A.若 ，wk.baidu.com B. C.若 ，则 D.若 ，则
AB
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 设等比数列 的公比为 ，则 ，故 是等比数列； ，故 是等比数列；取等比数列 ，则 的前三项为 ，2， ，不成等比数列；此时 ， 不成等比数列.故选 .
5.［探究点二］在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.
[解析] 根据题意,依次分析选项.对于A, , , ,则有 ,A正确;对于B, , , ,则有 ,B正确;对于C, , , ,则 , , 成等比数列,C正确;对于D, , , , , , 不成等比数列,D错误.故选 .
4.［探究点三］（多选题）设 为等比数列，给出四个数列： ； ； ；④{ .其中一定为等比数列的是( )
[解析] 若 ,则 ，当 时，等号成立，故A正确；因为 ，当 时，等号成立，故B正确；设等比数列的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故C错误；设等比数列的公比为 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，故D正确.故选 .
14.已知一个等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它后两项的和，则它的公比 _ _____.
[解析] 因为 ，所以 ，所以 ，而 ，且 .所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
17.已知数列 的前 项和 ,
（1）求证： 是等比数列,并求出其通项公式;
证明 , , , .由已知及上式可知 . 由 知 是等比数列.由 ,得 , .
（2）设 ,求证:数列 是等比数列.
[解析] 依题意，得 ，所以 .因为 ，所以 ，解得 .
15.若数列 , , , , ,…是首项为1,公比为 的等比数列,则 ____.
32
[解析] 由题意,得 ,所以 , , , ,将上面的四个式子两边分别相乘,得 .又 ,所以 .
16.已知数列 满足 ， ，若 ，则数列 的通项公式为 _ _____.
证明 由（1）知, , . . 数列 是等比数列.
18.已知数列 和 满足： ， ， ，其中 为实数， 为正整数.
（1）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；
证明 假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 ， 即 ，矛盾.所以 不是等比数列.
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在等比数列 中, , ,则 的值为( )
B
A.9 B.27 C.81 D.243
[解析] 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 .故选B.
2.[探究点一·2023福建福州月考] 在数列 中, ,且 ,则 ( )
9.［探究点四］已知在数列 中， 且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
证明 , , , 为等比数列，首项为 ，公比为3.
（2）求数列 的通项公式.
解 由（1）得， , .
B级 关键能力提升练
10.已知数列 是等比数列,则方程组 的解的情况为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , , , 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, .故选B.
3.[探究点三·2023广东佛山月考] （多选题）已知函数 ,则下列说法正确的是( )
ABC
A. , , 成等差数列 B. , , 成等差数列C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
C
A.唯一解 B.无解 C.无数多组解 D.不能确定
[解析] 由题意,数列 是等比数列,可得 ,所以直线 与 重合,所以方程组 有无数组解.
11.数列 中， ， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由于 , ，有 ，且 .令 ，则 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故 .
A.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若 ，则数列 是等差比数列D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
[解析] 对于等差数列 ，考虑 , , ， 无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0， , ，则 ,与题目矛盾，所以B选项正确；若 ，则 ，数列 是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则 , ， ，所以D选项正确.
80,40,20,10
[解析] 解析设这6个数所成等比数列的公比为 ，则 ， ， . 这4个数依次为80,40,20,10.
6.［探究点一］在数列 中，已知 ，且对任意正整数 都有 ，则 _ _________.
[解析] 由 ,得 ,所以数列 是等比数列，公比为 .因为 ，所以 .
（2）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论.
解 是等比数列，证明如下： 因为 ,又 ，所以当 时， ，此时 不是等比数列；当 时， ，由上可知 ，所以 .故当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
C级 学科素养创新练
19.（多选题）在数列 中，如果对任意 都有 （ 为常数），则称 为等差比数列， 称为公差比.下列说法正确的是( )
20.在数列 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列,记为 ,再在数列 中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列 .若 ,则数列 中第 项前（不含 ）插入的项的和最小为( )
C
A.30 B.91 C.273 D.820
[解析] 等比数列 首项为1,公比为3,故其通项公式为 .令 ,可得 ,可得 .数列 的前6项为1,3,9,27,81,243,其中1,9,81为数列 中的项,而3,27,243不是数列 的项,所以插入的项的和最小为 .故选C.
7.［探究点二］在等比数列 中，若 ,公比 ,则 与 的等比中项是_____.
[解析] 依题意，得 ,而 与 的等比中项是 ，故 与 的等比中项是 .
8.［探究点四］已知数列 满足 ,且 , 且 .求使数列 是等比数列的 的值.
解 若数列 是等比数列，则 （ 为非零常数）,即 ,对于任意 恒成立，则 解得 .故当 时，数列 是等比数列.
12.在数列 中，对任意 ，都有 ，则 ( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 由 得 ，即数列 是以2为公比的等比数列，则 .
13.（多选题）已知 为等比数列，下列结论正确的是( )
ABD
A.若 ，wk.baidu.com B. C.若 ，则 D.若 ，则
AB
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 设等比数列 的公比为 ，则 ，故 是等比数列； ，故 是等比数列；取等比数列 ，则 的前三项为 ，2， ，不成等比数列；此时 ， 不成等比数列.故选 .
5.［探究点二］在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.
[解析] 根据题意,依次分析选项.对于A, , , ,则有 ,A正确;对于B, , , ,则有 ,B正确;对于C, , , ,则 , , 成等比数列,C正确;对于D, , , , , , 不成等比数列,D错误.故选 .
4.［探究点三］（多选题）设 为等比数列，给出四个数列： ； ； ；④{ .其中一定为等比数列的是( )
[解析] 若 ,则 ，当 时，等号成立，故A正确；因为 ，当 时，等号成立，故B正确；设等比数列的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故C错误；设等比数列的公比为 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，故D正确.故选 .
14.已知一个等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它后两项的和，则它的公比 _ _____.
[解析] 因为 ，所以 ，所以 ，而 ，且 .所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
17.已知数列 的前 项和 ,
（1）求证： 是等比数列,并求出其通项公式;
证明 , , , .由已知及上式可知 . 由 知 是等比数列.由 ,得 , .
（2）设 ,求证:数列 是等比数列.
[解析] 依题意，得 ，所以 .因为 ，所以 ，解得 .
15.若数列 , , , , ,…是首项为1,公比为 的等比数列,则 ____.
32
[解析] 由题意,得 ,所以 , , , ,将上面的四个式子两边分别相乘,得 .又 ,所以 .
16.已知数列 满足 ， ，若 ，则数列 的通项公式为 _ _____.
证明 由（1）知, , . . 数列 是等比数列.
18.已知数列 和 满足： ， ， ，其中 为实数， 为正整数.
（1）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；
证明 假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 ， 即 ，矛盾.所以 不是等比数列.
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］在等比数列 中, , ,则 的值为( )
B
A.9 B.27 C.81 D.243
[解析] 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 .故选B.
2.[探究点一·2023福建福州月考] 在数列 中, ,且 ,则 ( )
9.［探究点四］已知在数列 中， 且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
证明 , , , 为等比数列，首项为 ，公比为3.
（2）求数列 的通项公式.
解 由（1）得， , .
B级 关键能力提升练
10.已知数列 是等比数列,则方程组 的解的情况为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , , , 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, .故选B.
3.[探究点三·2023广东佛山月考] （多选题）已知函数 ,则下列说法正确的是( )
ABC
A. , , 成等差数列 B. , , 成等差数列C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
C
A.唯一解 B.无解 C.无数多组解 D.不能确定
[解析] 由题意,数列 是等比数列,可得 ,所以直线 与 重合,所以方程组 有无数组解.
11.数列 中， ， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由于 , ，有 ，且 .令 ，则 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故 .