固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章

黄昆 固体物理 习题解答
第二章 晶体的结合
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n
解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这
样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相
邻离子间的距离，于是有
α
= ∑ ′ ( 1)
=
2[
1 1 1 1 −
+
−
+ ...]
r j
r ij
r 2r 3r 4r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，
i
1 1 1
故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
2
3
4
α = 2[1− + − + ...] 2 3 4
x
x x
Ql n
(1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有1
2 3 4 1 1 1
...
− + − + = l n
2
∴ =α 2 2n
2 3 4
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响
（排斥势看作不变）
α
2
e C
解： u r ( )
= −
α
2
+
r
r
n
α2
nC
1
du e nC
e
nC 由
| =
−
= 0 解得
=+
r e
−1 r
2
n +1
2
n 1
( ) (=
2)
n
dr
r
r
r
r 0
nC
1
1
α e
于是当 e 变为 2e 时，有 r
−1
= 4 −1 r e
( )
(2 ) (=
2)
n
n
= − α
2
1
4α e
结合能为 u r
( )
e (1−
) 当 e 变为 2e 时，有
4
α e 2
r
0 1
n
n
u e
(2 )
= −r (2 ) (1 −) = u e( ) 4 −
n 1
n
u r
( )
= − α+β
m n 2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
计算: 1) 平衡间距r0
解答（初稿）作者季正华- 1 -
r r
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2) 结合能W（单个原子的）
3) 体弹性模量
4) 若取m = 2, n = 10, r
= 0.3 , = 4 eV计算αβ, 的值
解：1) 平衡间距r
0的计算
NαβdU= mαnβ
U r ( ) = (−+
m n
) dr0 −r m+1 + r n+1 = 0
晶体内能
nβ 1
2 r r平衡条件r r0 即0 0
r0= ( )n m
所以mα
2) 单个原子的结合能
W = −1u( )r u r( ) (0= −α+β
m n
) r nβ 1
r r0=( ) n m
2 0
β−m r r
0 α
m
W = 1 α(1−)( )
m n n m
2 n mα
3）体弹性模量
K = ∂2U
(2)V⋅V0
∂V0
晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目
Nαβ
U r ( ) = (−+
m n
)
晶体内能
∂=α
2
nβ
r r
U∂U r∂N m− 1
∂V ∂∂
r V
= 2 ( r m+1 r n+1 ) NAr2
3
∂2 = ∂∂mαnβ
U N r[( −) 1 ]
∂V 2 2 ∂∂
V r r
m+1 r n+1 3 N Ar2
∂2U∂2
U
N1
[
2α
m
n2βmαnβ
K = (
2)V
⋅V
0 ∂
V2
= 2 9V2−r m+ r n−r m+ r n]
体弹性模量
由平衡条件∂U
∂V
=
N mα
−
V V
nβ 1
= 0
0 0 0 0
∂V 2 ( r m+1 r n+1 ) 3NAr2
V V0
解答（初稿）作者季正华0 0 0
- 2 -
α=n β
∂2
U
N
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m 2α
n 2β
m r 0
m
r 0
n ∂V 2
V V
=
1[− 2 9V 0
2
r 0
m + r 0
n ]
体弹性模量 K
= ∂2U
(2)V
⋅V 0
∂2
U
=
mn
(−U )
∂ V
∂ V
2 V V 9V 2
mn K = U 0V 90
4）若取 m =
β
1
2, n = 10, r 0
=
0.3 ,
= 4 eV
β
−m
计算 α β,的值
r = n
( ) −
n m
W = 1 α (1− )( )
m n n m
α
m
2 α
n m
β =W
r 10
α = r 2
β+
W 2
[r 10
2 ]
β =
1.2 ×10-95eV ⋅m 10
3
α =
−
7.5 ×1019
eV ⋅ m 2
2.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹
角。

解： sp 3
轨道杂化过程形成的共
价键如右图所示：
由于形成的是正四面体结构，容
易通过几何知识解出键角为
109°
28′ (请读者自己推导求解)
2.5 假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中性的（q*＝0），
求出其电离度 f i。

λ2
解：对于Ⅲ族原子的有效电荷为解答（初稿）作者季正华q* = −(3 81+
- 3 -
λ2 ) 0 解出λ2= 3 / 5
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根据卡尔森（Coulson ）定义的电离度，Ⅲ-Ⅴ族化合物（q*＝0）的电离
=
p − p = 1
− λ2
= 1 3/ 5=1/ 4 0.25 f i A B
+ λ2
度为 p + p 1 1 3/ 5
A
B
2.6 用林纳德－琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结合
能之比值。

σ12
σ6
⎤
=
1 ⎡
σ12
−
σ
6 ⎤
u r u r N (4 ) A n
( )
A ( )
解： ( ) 4= ε ⎡( )− ( ) , ( )
⎢
⎥⎦
⎢
⎣ r
r ⎦ 2 ⎣ r
l
r
⎛ du r ( )
⎞ = ⇒ =
6
A
σ 6 ⇒ = −
1 ε
A 2
⎜
⎟ 0
r
2
12
u
N
6
A
⎝ ω
r ⎠r
2
A 6
′
2
2
12
u r ( )
A
A
12.25 / 9.11
bcc
=
0 bcc
= ( 6 ) /( 6)= = 0.957
ω fcc
u r ( )0
fcc
A 12
′ A
12
2
14.45 /12.13
2.7 对 于 H 2
， 从 气 体 的 测 量 得 到 的 林 纳 德 － 琼 斯 势 参 数 为
o
ε =
−
σ = 50 1013
J ,
2.96 A 计算H 2结合成面心立方固体分子氢时的结合能
（以千焦耳每摩尔为单位），每个氢分子可以当作球形来处理，结合
能的实验值为 0.751
/
，试与计算值进行比较。

解： 以 H 2
为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard
—Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
⎡
σ
12
σ
6 ⎤ U = 1 N • ∑ (4 ) ⎢
′ P −12 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ∑
′ P −6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ij ⎝ ⎠ ij
⎝ ⎠
4
⎡⎢
⎣iσ12
R j
σ6 ⎤
R⎥
⎦
= ε
2N
∑
′
⎢P−12 ⎛⎞
⎜⎟−
∑′
P
−6 ⎛⎞
⎜⎟⎥. ij⎝⎠ij⎝⎠
⎢⎣i R j R⎥
⎦
∑′P ij−6 = 14.45392;∑′P−12 = 12.13188, j i
o
ij
ε= 50 10 −16 erg,σ= A N =
2.96 ,
23
6.022 10 /
mol.
解答（初稿）作者季正华- 4 -
U
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将R 代入得到平衡时的晶体总能量为0
⎡12 6 ⎤
= ×2 6 022 10 /28mol × ×16×( ) ⎛ 2.96
⎞−( ) ⎛ 2.96
⎞
≈−
U50 10−
erg⎢ 12.13 ⎜⎟14.45 ⎜⎟⎥ 2.55 / .
H
因此，计算得到的 2 晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值
H
0.75lKJ／mo1．对于 2 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．
解答（初稿）作者季正华
- 5 -。