高等数学一-微积分总结-知识归纳整理

导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章函数及其特性
1.1 集合
一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）
元素a，b，c……（小写字母）
A=｛a，b，c｝
元素的罗列无重复，无顺序。

a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A
三、分类有限集
无限集
空集Ф
四、集合的运算
1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B
或B⊇A（空集是任何集合的子集）。

2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。

A B，A B⊆A，
A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。

A B，A B⊇A，
A B⊇B，Ф B=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，
叫A的补集，B叫全集。

记作A
B
或A C
B
， A
B
A=Ф，A
B
A=B
五、数、数轴、区间、邻域
1、数实数
虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，i
i3
3
32=
=
-
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间
知识归纳整理
(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间
a ≤x< b, x ∈[a, b)
a< x ≤b, x ∈(a, b]
(4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]
x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)
4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下
所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件
注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。

例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ] A 、 ｛1｝∈M B 、 1M ⊂ C 、 1∉M D 、｛1｝⊆M 1.2 函数及其几何特性
一、定义：在一过程中，存在两个变量x 、y ，y 是按照某一对应规则f 随x 的变化而变化，y
就叫做对于x 的函数（一元函数），表达式：y=f (x) x 叫自变量，定义域Df （x 取值范围） y 叫因变量，值域D R （y 取值范围） 二、求定义域
例1 求211
x x y --=的定义域。

解：
}]1,0()0,1[110
1)2(0)1(2 -∈⇒≤≤-⇒≥-≠x x x x
例2 求2
1
arcsin 1++-=x x y 的定义域
x 0 –δ x 0 x 0 +δ
o | A o B -2 -1 0 3 5
求知若饥，虚心若愚。

解：
}]1,3[131
2
1
1)2(0
1)1(-∈⇒≤≤-⇒≤+≤-≥-x x x x
例3 求)1lg(1
)(-==x x f y 的定义域
解：
}),2()2,1(0
1)2(20)1lg()1(∞+∈⇒>-≠⇒≠- x x x x
注：真数等于1时，对数值等于0。

三、图象 四、几何特性
1、单调性。

对于y=f(x), x
∈Df, if y 随x 的增加而增加，则y=f(x)在Df 内单调增。

y 随x 的增加而减少，则y=f(x)在Df 内单调减。

2、有界性。

对于y=f(x), x ∈Df, 对于任一x ∈Df ，满足A ≤f(x)≤B ，则y=f(x)在Df 内有界，A 叫下界，B 叫上界。

3、奇偶性。

对于y=f(x), x ∈Df, 且Df 为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。

f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。

如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。

注：偶函数的图象对于y 轴对称，奇函数的图象对于原点对称。

4、周期性。

（三角函数的周期性）
对于y=f(x), x ∈Df, if 存在T>0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T 叫最小正周期。

例1 讨论1
31
3)(+-==x x x f y 的奇偶性（x ∈R ）
解：)(1
31331311311
311313)(x f x f x x x x x
x x
x
-=+--=+-=+-=+-=
---
∴ 原函数是奇函数
例2 讨论)1ln()(2x x x f y ++==的奇偶性(x ∈R )。

解：
∴原函数是奇函数
1.3 五种基本的初等函数
)
()()
()1ln()1ln()1(1
ln )
1()
1)(1(ln
)1ln()1ln()(212222222x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f -=--=++-=++=++=++++-+=-+=++-=-- 千里之行，始于足下。

ab
b a b a b a b a b a a b
a b
a
a x x x x x x x x x x x x ==÷===-+-)()5()4()3()2(1
)1(一、幂函数
1、形如a x y =，a 为常数。

2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a 的取值而定。

如a 取以下值：
a x y =
2x y =
2
2
1x x y ==- x x y =
=2
1
3x y =
Df x ∈R x ≠0 x ≥0 x ∈R D R
y ≥0 y>0 y ≥0 y ∈R
几何特性
偶函数
偶函数
单调增
奇函数，单调增
3、运算法则 （a, b 为正整数）
二、指数函数
1、形如0(>=a a y x 且)1≠a
2、x ∈R ，y>0
3、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1）
4、几何特性。

单调性 0<a<1 单调减
a>1 单调增
5、图象
6、运算法则（同幂函数）
三、对数函数
1、形如0(log >=a a y x 且)1≠a
2、x>0，y ∈R
3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1） 当x=a 时，y=1
4、几何特性。

单调性 0<a<1 单调减
a>1 单调增
5、图象
6、两种特殊的对数
(1) 当a=10时，y=log10x =lgx (常用对数)
(0, 1)
a>1
0<a<1
曲线无限接近x 轴，但不与x 轴相交
0 (0, 1)
a>1
曲线无限接近y 轴，但不与y 轴相交
求知若饥，虚心若愚。

(2) 当a=e 时，y=loge x =lnx (自然对数，e ≈2.718) 7、运算法则
x
a a y a a a a a a a x y a x x y x y
x y x xy ==-=+=log )4(log log )3(log log log )2(log log log )1( 四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算） y=f(x)= sinx 正弦 cosx 余弦 tanx 正切
cotx 余切
secx 正割 cscx 余割 Df x ∈R x ∈R 2π
π±
≠k x (90o 的奇数倍）
πk x ≠(90o 的偶数倍） D R -1≤y ≤1 -1≤y ≤1 y ∈R
y ∈R 单调性 无 无 单调增 单调减 有界性 有 有 无 无 奇偶性 奇 偶 奇 奇 周期性 2π
2π
π π
特殊角的三角函数值
角度 0o 30o 45o 60o
90o 弧度 0 6
π 4
π 3
π 2π sinx
21 22 2
3 1
cosx 1
23 2
2 2
1 0
tanx 0 3
3 1 3
不存在
图象：
sinx cosx 1 1
-1 -1
tanx
常用公式：
π232
ππ2
3
2
ππ-π千里之行，始于足下。

x x x x x x x x x x sin cos cot cos sin tan sin 1csc cos 1sec =
=== x
x x x x x x x x x x x x x 2222222222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin csc cot 1sec tan 11cos sin -=-=-===+=+=+ 2cos 12cos 2cos 12sin 22x x x x +=-=
两种特殊的三角形式求周期：
(1) y=Asin(ωx+θ), ω
π
2=T
(2) y=|sinx|, T=π 五、反三角函数
arcsinx arccosx arctanx arccotx Df -1≤x ≤1
-1≤x ≤1 x ∈R x ∈R D R -2π
≤y ≤2π 0≤y ≤π -2π<y<2π 0<y<π 几何特性 单调增,奇函数
单调减,非奇非偶
单调增,奇函数
单调减,非奇非偶
图象：
arctanx arccotx
π
-
经过以上五种基本函数有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、复合，就构成了初等函数。

1.4 复合函数、反函数、分段函数 一、复合函数
由y=f(u), u=g(x), 可得到y=f [g(x)]，叫做y 对于x 的复合函数，u 叫中间变量。

例1 已知1)1(+=x x
x f , 求f(x). 例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)
解：设t
x t x 1
1=⇒= 解：令t=x+1, 则x=t-1
平
方
公
式 倍角公式
半角公式 2
π2π
2
π求知若饥，虚心若愚。

解：令 y
y
x y y e y y e y e y ye e y e ye y x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=+1ln
1ln ln 1)
1(x
x f t t
t t f +=
∴+=
+=∴11
)(11111
)( 23)(23)11)(1()(22+-=∴+-=---=∴x x x f t t t t t f 注：t 和x 都是代表变量，习惯性用x 表示自变量，所以最终答案直接用x 代替t.
例3 已知f(x-1)=x 2+x+1, 求)1
1(-x f 例4 已知f(x)的定义域为[0, 4]，求f(x 2)的
解：令t=x-1, 则x=t+1 定义域。

3
)1
1(3)11()11(3
31
)1()1()(222+-+-=-∴++=++++=∴x x x f t t t t t f 2
24040)
(22≤≤-∴≤≤⇒≤≤=⇒=x x t t f y x t
例5 已知f(x+2)=x 2-2x+3, 求f [f(2)].
解法①：令t=x+2, 则x=t-2 解法②：由f(2)可知f(x+2)中x=0
f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t 2-6t+11 ∴ f(2)=02-2×0+3=3
则f(2)=22-6×2+11=3 则由f [f(2)]=f(3)又可知x =1
所以f [f(2)]=f(3)=32-6×3+11=2 ∴ f [f(2)]= f(3)= 12-2×1+3=2
二、反函数
已知y=f(x)⇒x=F(y)即y=F(x), 则y=F(x)叫y=f(x)的反函数，可记作f -1(x).
1、反函数与原函数的图象对于直线y=x 对称。

2、两组反函数
(1) y=a x 与y=loga x , 指数函数与对数函数互为反函数。

x a a x a a a a y y a y a y x x =⇒=⇒=⇒=log log log log log
(2) y=sinx 与 y=arcsinx (-2π≤x ≤2
π
)
例：求x
x
e e y +=1的反函数。

解：由原函数可得
即反函数为x
x
y -=1ln
三、分段函数（关键在分段点） 1.5 几种简单经济函数的建立
价格P ，需求量D ，产量Q ，总收益R ，总成本C ，总利润L 本书中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q 一、需求函数：D=D(P)
千里之行，始于足下。

二、总收益函数：⎭⎬⎫=⨯=)(P D D D P R ⎩⎨
⎧==⇒)()
(D R R P R R 三、总成本函数：C=变动成本+固定成本 四、总利润函数：L=R-C
例：已知需求函数2
10D
P -=，求R(P), R(D).
解：P D D
P 2202
10-=⇒-=
R=P ×D=P ×(20-2P)=-2P 2+20P
D D D D D P R 102
1
)210(2+-=⨯-=⨯=
∴R(P)= -2P 2+20P
R(D)= D D 102
1
2+-
第二章 函数的极限、延续性
2.1 函数的极限 一、数列的极限
1、数列：按自然数的顺序罗列的一列数，n a a a a 321,,. 1
a 首项，n
a 通项公式。

2、数列的极限：对于n
a ，当n →(趋向于)∞时，if n
a →A, 则A 叫n
a 当n →∞时的极限。

记作：A a n
n =∞
→lim
二、函数的极限
1、对于y=f(x), 当x →∞时，if f(x) →A, 则A 叫f(x)当x →∞时的极限，A x f x =∞
→)(lim
A x f x =∞
→)(lim 的充分必要条件：=+∞
→)(lim x f x A x f x =-∞
→)(lim ，即左右极限存在且相等。

例：判断x x arctan lim ∞
→是否存在。

解：由arctanx 的图象可知 当x →-∞时，2
arctan lim π
-
=-∞
→x x
当x →+∞时，2
arctan lim π
=
+∞
→x x
所以x x arctan lim ∞
→不存在。

2、对于y=f(x), 当x →x o 时, if f(x) →B, 则B 叫做f(x)当x →x o 时的极限，B x f x x =→)(lim 0
B x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件：=+→)(lim 0
0x f x x B x f x x =-→)(lim 0
0，即左右极限存在且相等。

2
π
2
π求知若饥，虚心若愚。

例1 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<-=1
112
1
1)(x x x x x x f ，判断)(lim 1
x f x →是否存在。

解：0)1(lim 0
)1(lim 11=-=-+
-
→→x x x x
∴)(lim 1
x f x →存在
例 2 判断x
x
x 0lim →是否存在。

解：1lim lim
0000-=-=-→-→x x x x x x 1lim lim 0000==+→+→x
x x x x x ∴x
x
x 0lim →不存在 三、函数的极限的计算 1、运算法则：已知
B x g A x f x x x x ==∞→∞→)(lim ,)(lim )
()
(00
[][][])0()()(lim )5()(lim
)4()(lim )3()()(lim )2()()(lim
)1()()
()
()
()
(00000
≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⨯=⨯±=±∞→∞→∞→∞→∞→B B A
x g x f A x f KA
x Kf B
A x g x f
B A x g x f x x m
m x x x x x x x x (K 是常数)
2、判别法则
(1)夹逼准则：在x o 的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)≤f(x)≤w(x)
if A x w x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
0, 则1sin lim )(lim 00=⇒=→→x x
A x f x x x
(2)单调有界函数必有极限e x x x =+⇒∞
→)1
1(lim
3
33sin lim 333sin 3lim 3sin lim 10
===→→→x x
x x x x x x x 例 111sin lim 1sin lim 2==∞→∞→x x x x x x 例 5
3
555sin 333sin lim 5sin 3sin lim
300=⋅⋅=→→x x
x x x x
x x
x x 例 当B=0时， A ≠0，则极限不存在且等于∞
A=0，属于“0/0”型的未定型
千里之行，始于足下。

1
cos 1
lim
sin lim cos 1sin lim cos sin lim lim
400
000=⋅=⋅
==→→→→→x x x x x x x x x
x
tgx
x x x x x 例 1sin 1lim sin lim sin arcsin arcsin lim 60
00===∴=⇒=→→→t t t t t x x t x x x x x 原式令例 e
x x x
x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+→→1
01
0111lim )1(lim 7例 x x x x x n n n n n n n n =⋅⋅=∞→∞
→222sin 2lim 2sin 2lim 8例 e
e x x x x x x x x x
x ==++++=++=+++∞→-+∞
→∞
→1)2
11()211(lim )21
1(lim )21
1(lim 922
2
2例 三、普通初等函数求极限
1、当x →x o 时，
if f(x)在x o 故意义，则极限等于f(x o ).
f(x)在x o 无意义，则对f(x)举行恒等变换，将f(x)变换为在x o 故意义或公式的形式。

2、当x →∞时，利用公式或利用)0(01
lim >=∞→P x P
x 来求极限。

4332lim )1)(3()1)(2(lim 322lim 111221
=--=+-+-=-----→-→-→x x x x x x x x x x x x x 例 412
1lim
)2)(2(2lim
42lim 241644416416=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x 例 211
11lim 11(lim )11()11)(11(lim 11lim 30000=++=++=++-+-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例 2
22)
2(2)211(lim )2
11(lim )2
1(lim )2
1(lim 5---∞→-⋅-∞
→∞→∞
→=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=-+
=-+=-e x x x x x x x x x x x
x 例4
2
2)21()21(lim )2121(
lim )2
2
(lim 10--∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e x
x x x x x x
x
x x x x
x 例求知若饥，虚心若愚。

2
1cos 11sin lim )cos 1(sin lim
)cos 1()cos 1)(cos 1(lim
cos 1lim
4220
22020
20
=+⋅
=+=++-=-→→→→x x x x x x
x x x x x x
x x x x 例
21
1
1
11lim
)
(lim
))
)((lim
)
(lim 5=++=++=++++-+=-++∞
→+∞
→+∞
→+∞
→x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x 每项除以最高次数项例
0401241
235lim 1241235lim
64
24322423==--+
--=--+--∞→∞
→x x x x x x x x x x x x x 例
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→m n m n m n B A
B x B x B A x A x A m
m m n n n x ,,0,lim :0
0110110 公式
四、分段函数求极限(以x →x o 为例)
1、如果x o 不是分段点，则按初等函数定。

2、如果x o 是分段点，则利用充分必要条件。

例1 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<-==1
,11,
21
,
1)(x x x x x x f y ，求)(lim ),(lim ),(lim 1
23x f x f x f x x x →-→→
解：(1) 2)1(lim )(lim 3
3
=-=→→x x f x x
(2) 3)1(lim )(lim 2
2
=-=-→-→x x f x x
(3) 当x →1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件：
)(lim 0)1(lim )(lim ,0)1(lim )(lim 1
1111=∴=-==-=→→→→→++--x f x x f x x f x x x x x 25215125lim )(2
525lim 25)25)(25(lim 25lim 72
2222222222=
-
+++
=-+++=-++-++--+=--+∞
→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 每项除以最高次例
例2 已知⎩⎨
⎧=≠==1
,01,
1)(x x x f y ，求)(lim ),(lim 1
x f x f x x →→
解：)110(1)(lim ,
1)(lim 1
≠→→==→→x x f x f x x 都属于或
2.2 无穷大量、无穷小量
一、定义：对于y=f(x), 当x →x o (x →∞)时
if f(x)→∞, 则称f(x)是当x →x o (x →∞)时的无穷大量。

if f(x)→0, 则称f(x)是当x →x o (x →∞)时的无穷小量。

注：当x →0时，x 1
sin 既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一具有界函数。

当x →∞时，x
1
sin 是无穷小量。

二、两者间的关系：当x 在同一变化趋势下时，两者互为倒数。

已知当x →x o 时，如果f(x)→∞(0)，则
)(0)
(1
∞→x f 三、无穷小量的性质
1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。

2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。

三角函数的角度 →0时，用公式来求极限。

→∞时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。

⎪⎪
⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
===⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==⋅=→∞→∞→→∞→∞→01sin lim )(111sin lim 1sin lim )2()(1sin lim 0sin 1lim sin lim )1(0
0x x x x x x x
x x x x x x x x x x x 用公式计算公式
3、如果A x f x x =→)(lim 0
, 则在x o 的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A 之间相差一具
无穷小量。

四、无穷小量的阶次的比较
已知x →x o (x →∞)时，f(x)→0, g(x)→0, 取
⎪⎩
⎪⎨⎧∞===≠=∞→→.
)()(,.)()(,0.
,1.,0)()(lim )(0低阶比则高阶比则两者为等价无穷小量时则这两个无穷小量同阶x g x f x g x f A A x g x f x x x 例1 当x →0时，比较x x cos sin 2
1
与x 的阶次。

解：21cos sin lim 21cos sin 21
lim 00
=⋅=→→x x x x x
x x x
∴ 两者同阶
例2 当x →0时，比较ln(1+x)与x 的阶次。

两者为等价无穷小量
解∴===+=+=+=+→→→→→1
ln ln lim )111ln(lim )1ln(lim )1ln(1
lim )1ln(lim :0
101000e e x
x x x x x x x x x x x x
2.3 函数的延续性
一、定义：对于y=f(x)在x o 的邻域内有定义，当x 取x o+Δx 时，y=f(x o+Δx)， 则
Δy=f(x o+Δx)-f(x o ). if Δx →0, 则Δy →0, 即0lim 0
=∆→∆y x , 则称y=f(x)在x o 延续。

⇒ if )()(lim 0
x f x f x x =→, 则y=f(x)在x o 处是延续函数。

由定义可得出函数延续的三个必要条件： (1) y=f(x)在x o 故意义 (2)当x →x o 时，极限存在 (3)极限等于f(x o ) 1、初等函数的延续性 在定义域内一定延续。

2、分段函数的延续性
(1)如果x o 不是分段点，则当初等函数看待。

(2)如果x o 是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。

例 1 求)
1ln(3)(--==x x
x f y 的延续区间。

]3,2()2,1(303)3(1
01)2(20)1ln()1(: ∈∴⎪⎩⎪
⎨⎧-≤⇒≥->⇒>-≠⇒≠-x x x x x x x 原函数的延续区间为解
例2 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<-==1
,11,
21
,1)(x x x x x x f y ，讨论y=f(x)在x=1处的延续性。

解：(1)当x=1时，f(1)=2
(2)0
)(lim ,
01)(lim ,01)(lim 1
11=∴=-==-=→→→+
-
x f x x f x x f x x x
处不延续在1)(2
)1(0)(lim 1
==∴=≠
=→x x f y f x f x
例3 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<==0
,0,2sin )(x a e x x
x
x f y x ，求a 的值，使f(x)在(-∞,+∞)内延续。

a
a e x f x x
x f x x x x x +=+===+
+
-
-→→→→1lim )(lim 2
2sin lim )(lim :0000解 ⇒a=1时，f(x)在(-∞,+∞)内延续 二、在闭区间延续函数的性质
1、如果y=f(x)在[a, b ]延续，则在[a, b ]内能取到最大值max 和最小值min 。

2、零点存在的原理
y=f(x)在[a, b ]延续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在x o ∈(a, b)，使f(x o )=0，x o 叫零点。

例：求证方程x 5-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一具实数根。

证明：令f(x)= x 5-5x-1在[1, 2]延续
f(1)-5 f(2)=21
∴ 根据零点存在的原理，至少存在x o ∈(1, 2)，使f(x o )=0 ∴ 方程在(1, 2)内至少存在一具实数根。

)2()1(<⋅⇒
f f。