就是激光谐振腔自再现模。

❖发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
22Lq2 0
q
2L q
（1）
q
q c 2L
（2）
结论：L 一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光 波才能提供正反馈，使之谐振。（1）式和（2）式就 是平平腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。 q 称为 腔的谐振波长，v q 称为腔的谐振频率，谐振频率是分
稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同样 的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种在 腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳 定场分布称为自再现模或横模。
孔阑传输线
为了更形象的理解开腔中自再现模的形成过程，用 光波在孔阑传输线中的传播来模拟光波在平行平面腔中 的往返传播过程。
激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往 返传播，能保持相对稳定不变的）光场的各种横向稳定分 布。
2 L c
§2.3 光学谐振腔的稳定条件
若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外， 将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔中光线往
返传播的规律。
谐振腔的稳定性条件
2.3.1 光线传播的矩阵表示 一、光线矩阵
列阵 称为光线在某一截面处 的光线矩阵。
二、光线变换矩阵
利用基尔霍夫积分定理，并作菲涅尔近似处理，可 得到该原理的严格数学表达式，即菲涅尔-基尔霍夫衍射 积分公式。
该积分公式表明，如果知道光波场在任意空间曲面 上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在其他任意 位置处的振幅和相位分布。
53
一 . 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
已知空间某一曲面S上光波场的振幅和相位分布函数 u(x, y)，求它在空
1. 往返传播一次的光线变换矩阵
3. 往返传播n次的光线变换矩阵
2.3.2 共轴球面腔的稳定性条件
谐振腔的稳定性条件为：
满足条件： 的谐振腔为非稳腔。
临界腔的判定条件为：
2.3.3 稳区图
由坐标轴 g 1 0 ，g 2 0 和 双曲线 g1g 2 1 的两支 围城的区域属于腔的稳定工作区域。
腔的两个相邻纵模频率之差 间隔，简称纵模间隔。
q
称为纵模的频率
q
vq1
vq
c 2L
腔的两个相邻纵模频率之差 q 与 q 无关，只
与腔长和腔内介质的折射率有关，腔长和折射率越小， 纵模间隔越大。
横模
理论分析表明，经过足够多次的往返传播之后，腔内 形成一种稳定场，其分布不再受衍射影响，在腔内往返一 次后能够“自再现”出发时的场分布。
第二章 光学谐振腔理论
2.4 谐振腔的衍射积分理论 2.5 平行平面腔的自再现模 2.6 对称共焦腔的自再现模
51
2.4 谐振腔的衍射积分理论
谐振腔的几何光学理论利用“光线”概念描述腔内 光的传播，推导出了谐振腔的稳定性条件。
但要定量描述腔内辐射场的振幅和相位分布以及无源 开腔的其他一些主要特征，必须用更为严格的衍射理论 进行讨论。
耗大于低阶横模损耗
❖是非稳腔的主要损耗
2、衍射损耗
❖腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍 射时形成的损耗
❖与腔的菲涅尔数（ N a 2 ）有关，N愈大，损耗 愈小（a:腔镜半径） L
❖与腔的几何参数有关 ❖与横模阶次有关
3、输出腔镜的透射损耗
❖通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得 必要的输出耦合。这部分有用损耗称为光腔的透射 损耗，它与输出镜的透射率有关。
设光线在腔内往返m次后逸出腔外，则有
式中，D为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜 的直径）。
由于光在腔内经过m次往返后逸出腔外，因此往返一次的损耗 为1/m，可得相应的单程损耗为
二、衍射损耗
按照单程损耗因子的定义，相应 的单程衍射损耗应为射到圆孔之外的 光能与到达第二个孔的总能量之比。
式中， 为衍射角，根据夫琅和费衍射公式，
立的。
L q q 2
腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。
特点：腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相 间地分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑 暗区，称为波节。 通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的 纵模，不同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波 腹的个数。
§2.1 光学谐振腔的基本知识
2.1.1 光学谐振腔的构成和分类
在激活介质两端适当的放置两个反射镜，可构成最简 单的光学谐振腔。由两个或多个反射镜按一定方式组合， 可以构成不同种类的光学谐振腔。
根据结构，性能和机理等方面的不同，谐振腔 有不同的分类方式：
❖开腔和闭腔 ❖稳定腔和非稳腔 ❖球面腔和非球面腔 ❖简单腔和复合腔 ❖驻波腔和行波腔 ❖端面反馈腔和分布反馈腔 ❖两镜腔和多镜腔
纵模
以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对 于平行平面腔（简称平平腔）来说，当满足条件
a2 1 L 时，可近似认为均匀平面波是它的一种本征模。式中，
a 代表腔的横向尺寸，如圆形反射镜的半径；L 为谐振
腔的腔长； 为激光波长。
❖ 利用均匀平面波讨论开腔中傍轴传播模式的谐振 条件
❖ 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传播的情 形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会 发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。 为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而 得到加强。
不同的横模用横模序数m，n描述。对于方形镜谐振 腔， m，n分别表示腔镜面直角坐标系的水平和垂直坐标 轴的光场节点数。对于圆形镜谐振腔， m，n分别表示腔 镜面极坐标的角向和径向的光场节线数。
一个激光模对应三个独立的模序数，用符号 TEM mnq表示。
§2.2 光学谐振腔的损耗
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也 存在各种损耗。2
四、吸收损耗
描述谐振腔损耗的参数： 平均单程损耗因子 腔内光子的平均寿命 谐振腔的品质因数
2.2.2 光子在腔内的平均寿命
光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数为
将
代入上式，得
解得
式中 -------腔的时间常数（也称为腔的寿命）
R 的物理意义：经过 R 时间后，腔内的光强衰减为
有效控制腔内实际振荡的模式数目 使大量光子集中在少数几个状态中，从而提高光子 简并度 获得单色性和方向性好的相干光
2.1.3 腔模
腔的模式
❖ 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在 的电磁波的本征态称为腔的模式。
❖ 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模 式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振 等）。
4、非激活吸收，散射等其他损耗
❖这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中 所有光学元件时，发生非激活吸收，散射等而引起 的，也称为内损耗。
❖几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的 几何损耗和衍射损耗各不相同。
❖后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对 各个模式大体一样。
损耗参数：
平均单程损耗因子
初始值的1/e。
愈大， R 愈小
腔的损耗愈大，腔内光强 衰减愈快。
求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均 寿命
❖ 设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时刻光 子数密度
I(t)n(t)h
dn(t)n0 exp( t )dt
R
R
t 1 n0 exp( t )tdt
n0 0R
R
t
n(t)
作业1：试利用往返矩阵证明共焦腔(腔的中心为两个镜
面的公共焦点, R1 R2 L)为稳定腔，即任意傍轴光线
在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
作业2：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜 曲率半径为2m，凹面镜曲率半径为3m，腔长L为1m， 腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔， 临界腔，非稳腔）？
本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
---------最简单，最常用
2.1.2 光学谐振腔的作用
（1）提供轴向光波模的光学正反馈；
（2）控制振荡模式的特性。
光学正反馈作用主要取决于腔镜的反射率，几何形状 以及之间的组合方式。
激光模式的特性由光腔结构决定，可通过改变腔 参数实现对光波模特性的控制。
本节从菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式出发，建立谐 振腔自再现模满足的积分方程，并讨论该方程解的物 理意义。
52
2.4.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
惠更斯－菲涅耳原理（光的衍射理论基础） 波前上每一点可看作次球面子波的波源，下一时
刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光 场是各子波干涉叠加的结果。
不论损耗的起源如何，均可用“平均单程损耗因 子”（简称单程损耗因子） 来定量描述。
的定义：光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。
初始光强为 I 0 ，在无源腔内往返一次后，
光强衰减为 I 1 ，光强的平均衰减百分
数为
2 I0 I1
I0
平均单程损耗因子为
I0 I1 2I0
另一种指数定义形式：
间任一观察点P处产生的光场分布 u ( x , y ) 。
u(x,y)4 ik S u(x,y )eik(1cos)ds'
k2/为波矢的模，
：源点 ( x , y ) 与观察点 (x, y)之间的距离；
：源点 (x, y) 处的波面法线 n与上述连线 的夹角； ds' ：源点 ( x, y)处的面元，积分沿整个S面进行。
54
二 . 衍射积分公式在谐振腔中的应用
u2(x,y)4 ik S1u1(x',y')e ik(1cos)ds'
经过j次渡越后生成的场 u j1( x, y) 与产生它的场u j (x, y)之间应满足 类似的迭代关系：
uj 1(x,y)4 ik S1uj(x',y')e ik(1cos)ds'
改善激光的方向性，提高单色性是实际应用的要求。
光学谐振腔理论研究目的：弄清楚激光模式的 基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。
❖ 模式的基本特征包括： 每一种模式的电磁场分布，特别是在腔的横截面内
的场分布； 谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 相对应的激光束的发散角。
只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模式的基本特征。
损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标，决定 了激光振荡的阈值和激光的输出能量。
2.2.1 光腔的损耗及其描述
损耗类型： 1、几何损耗 2、衍射损耗 3、输出腔镜的透射损耗 4、非激活吸收，散射等其他损耗
1、几何损耗
❖光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的 损耗。
❖取决于腔的类型和几何尺寸 ❖几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶横模损
n0
exp(
R
)
t
1 n0
dn(t)t
t R
2.2.3 无源腔的品质因数Q
nhV
Q2R
腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。损 耗愈小，Q值愈大，光腔的储能性愈好，腔内光子寿命 愈长。
小结：
❖ 平均单程损耗因子 ❖ 光子在腔内的平均寿命R ❖ 无源谐振腔的品质因数Q
三者之间的关系：
R
L
c
Q2R
模式：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。
纵模：沿腔轴线方向电磁场的本征态。 纵模数表示激光振荡频率数，纵模数多，单色性差。 单一纵模单色性最好。
横模：在腔中垂直腔轴方向的电磁场的本征态。不同的横模，光 场分布不同，光束的发散角不同。 基横模光强是高斯形，光场分布均匀，发散角最小。 为了改善激光的方向性，必须选出基横模。
式中
N为菲涅耳数，它是从一个镜面中心看到 另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数， 也是衍射光在腔内的最大往返次数。
三、透射损耗
以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率，则初 始光强为I0的光在腔内往返一周经两个镜面反射后， 其强度I1应为
I1 I0r1r2
按的定义，
I1 I0e2r
r
1 2
ln
I0 I1
称为该光学系统的光线变换矩阵，它描述了光学系 统对傍轴光线的变换作用。
符号规则： ＋，出射点位于轴线上方 ＋，向轴线上方出射
r－，出射点位于轴线下方 θ－，向轴线下方出射 球面半径R＋ －， ，光 光线 线遇 遇到 到凹 凸面 面
推导一些光学系统的光线变换矩阵：
1. 一段自由空间的光线变换矩阵
三、光线在腔内往返传播的矩阵
如果初始光强为I0，在无源腔内往返一周后光
强衰减到I1，则
I1 I0e2
1 ln I0 2 I1
当损耗很小时， <<1
2I0I1I0I0e 2 1(12)2
I0
I0
------两种定义形式是一致的。
每种因素引起的单程损耗因子用i来表示，则总的单 程损耗是=∑i 。
一、谐振腔失调时的几何损耗