人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质(含解析)

人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质
1.二次函数的概念：
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图像与性质：
（1）对称轴：2b
x a
=-
（2）顶点坐标：2
4(,)24b ac b a a
-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：
当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式：
（1）一般式：y=ax 2 +bx+c (a≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式； （2）顶点式：2
()y a x h k =-+
2
24()24b ac b y a x a a -=-+.
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；
（3）交点式：12()()y a x x x x =--.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号：
（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）
y
x
O
一．选择题（共7小题）
1．下列函数中，是二次函数的是（）
A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝2x2﹣1D．y＝2x3﹣1
2．二次函数y＝x2+2x+1的常数项是（）
A．1B．2C．﹣1D．0
3．抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．对称轴是y轴
C．经过点（m﹣1，﹣m2+1）
D．有最小值
5．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
6．已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4d﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．
中正确的个数是（）
8．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为．
9．二次函数y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是．
10．已知抛物线y＝﹣（x+2）2，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围为．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是．
三．解答题（共6小题）
13．求抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向、对称轴、顶点坐标．
14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
15．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．
（1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围；
（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，求m的值．
16．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+k的图象经过A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点C（0，2），交x轴于点A（﹣3，0）和点B（点A在点B的左侧）．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：A、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y＝是反比例函数，不符合题意；
C、y＝2x2﹣1是二次函数，符合题意；
D、y＝2x3﹣1是三次函数，不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：二次函数y＝x2+2x+1的常数项是1．
故选：A．
3．【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．
故选：C．
4．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，a＝﹣1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y有最大值1，∴选项A、B、D不符合题意；
∵当x＝m﹣1时，y＝﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）＝﹣m2+1，
∴图象经过点（m﹣1，﹣m2+1），故选项C符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a＞0，b＞0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
故选：B．
6．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而增大，
∵﹣＜﹣＜＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
7．【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．【解答】解：∵y＝（x+4）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（﹣4，﹣1），
故答案为：（﹣4，﹣1）．
10．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＜﹣2时，y随x增大而增大，
x＞﹣2时，y随x增大而减小，
故答案为：＜﹣2，＞﹣2．
11．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴可知图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），把x＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得，y＝0，
∴当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AC＝5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC＝∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA＝∠BAO，
∴∠BAC＝∠CBA，
∴CB＝CA＝5，
∴B（5，4）．
把A（﹣3，0）、B（5，4）代入y＝ax2+bx+4，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．
故答案为：y＝﹣x2+x+4．
三．解答题（共6小题）
13．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向向下、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，9）．14．【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
15．【解答】解：（1）∵抛物线L有最低点，
∴二次项的系数a大于0．
即m﹣2＞0．
∴m＞2．
（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，
∴二次项的系数a互为相反数，
即m﹣2＝﹣1．
∴m＝1．
16．【解答】解：（1）把A（2，0），代入y＝﹣x2+4x+k得k＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，
当x＝0时，y＝6，
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），
∴C（4，0），
AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，
∴△ABC的面积＝AC•OB＝×2×6＝6．
17．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，2），A（﹣3，0），∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）存在，
设抛物线的对称轴交x轴与点D，
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵点B与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴AD＝BD，
如图1，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的上方，
∴∠APB＝90°，
∴PD＝AD＝AB＝﹣1+3＝2，
∴P（﹣1，2）；
如图2，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的下方，
∴∠APB＝90°，
∴PD＝AD＝AB＝2，
∴P（﹣1，﹣2）
综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）．
18．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．
∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2．
（3）PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜．。