2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章 第3节 二

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
(对应学生用书第83页)
[基础知识填充]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
确定二元一次不等式表示的平面区域的位置
把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )
(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧
x －3y ＋6<0，
x －y ＋2≥0
表示的平面区域是( )
C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C ．]
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋3y ≤3，
x －y ≥1，
y ≥0，
则z ＝x ＋y 的最大值为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y
得y ＝－x ＋z .
作出直线y ＝－x ，并平移该直线，
当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)， 故z max ＝3＋0＝3.
故选D ．]
4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________. 【导学号：00090190】 6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，
解得m ＝6.]
5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y ≤0，
x －y －4≤0
表示的平面区域的面积是
__________． 1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示， 由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)， 由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，
由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)，
∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝1
2×2×1＝1.]
(对应学生用书第84页)
(1)(2016·浙江高考)若平面区域
⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，
2x －y －3≤0，
x －2y ＋3≥0
夹在两条斜率为1的平
行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A ．35
5 B ．2 C ．32
2
D ． 5
(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋5≥0，
y ≥a ，
0≤x ≤2
表示的平面区域是一个
三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a <5
B ．a ≥7
C ．5≤a <7
D ．a <5或a ≥7
(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎨⎧
x ＋y －3＝0，
x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联
立方程组⎩⎨⎧
2x －y －3＝0，
x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的
两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为
|1＋1|
2
＝2，故选B ．
(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C ．]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
[变式训练1]
(1)不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －2≥0，
x ＋2y －4≤0，
x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为
__________. 【导学号：00090191】
(2)(2018·潍坊模拟)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0
所表示的平面
区域的面积为3，则实数k 的值为________．
(1)4 (2)1
2 [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 由⎩⎨⎧ x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎨⎧
x ＝8，y ＝－2，
∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．
直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)． 因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋1
2×2×2＝4.
(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，
则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.]
角度1 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件
⎩⎨⎧
2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，
则z ＝2x ＋y 的最小值是( )
A ．－15
B ．－9
C ．1
D ．9
(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，x ≥1
2，
y ≥x ，
且数列4x ，z,2y 为等差
数列，则实数z 的最大值是__________. 【
导学号：00090192】 (1)A (2)3 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15. 故选A ．
(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y
经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]
角度2 求非线性目标函数的最值
(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足
⎩⎨⎧
x ＋y ≤2，
2x －3y ≤9，
x ≥0，
则x 2＋y 2的最大值
是 ( ) 【导学号：00090193】 A ．4 B ．9 C ．10
D ．12
(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件
⎩⎨⎧
x ≥－1，y ≥x ，x ＋5y ≤8，
则z ＝y
x －2
的取值范围是__________．
(1)C (2)⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所
示．x 2
＋y 2
表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧
x ＋y ＝2，
2x －3y ＝9
得A (3，－
1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．
(2)作出不等式组⎩⎨⎧
x ≥－1，
y ≥x ，
3x ＋5y ≤8
所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含
边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的
点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即
1
1－2≤z ≤－1－1－2
，化简得
－1≤z≤1 3
.]
角度3线性规划中的参数问题
(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件
⎩
⎨
⎧x≥1，
y≥－1，
4x＋y≤9，
x＋y≤3，
若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是()
A．－
20
9B．1
C．2 D．5
B[作出可行域，如图所示的阴影部分．
∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由
⎩
⎨
⎧x＝1，
x＋y＝3，
解得
⎩
⎨
⎧x＝1，
y＝2，
即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B．]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－
a
b x＋
z
b，通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z ＝
y －b
x －a
. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义．
(2016·A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为
2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋5y ≤200，
8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，
x ≥0，y ≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 5分
(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .
考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－2
3，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z
3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z
3最大，即z 最大．
7分
解方程组⎩⎨⎧
4x ＋5y ＝200，
3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，
所以z max ＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
12分
[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． [变式训练2] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，则
⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，
x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.
目标函数z ＝2 100x ＋900y .
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。