2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试(A2)答案与评分标准

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2022年全国高中数学联合竞赛 一试（A2卷）参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 函数()sin 20221127f x x x x 的最小值为 ． 答案：15．
解：()1(11)(27)15f x x x ，等号成立的充要条件是1127
x 且20222()2Z x k k
．当44044
x 时，()f x 取到最小值15．
2. 若正数,a b 满足2448log log 8,log log 2a b a b ，则82log log a b 的
值为 ．
答案：52
3
．
解：令2,2(,)R x y a b x y ，则由条件知
2448log log 8,2
log log 2.23y x a b x y a b
解得20,24x y ．从而822052
log log 24333
x a b y ．
3. 若无穷等比数列{}n a 的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项1a 的值为 ．
答案：4
3
．
解：设{}n a 的公比为q ，根据条件，显然有10q ，且
11||
1,211||
a a q q ． 由前一式知10a ，进而12(1||)2(1)q q q ，得1
3
q ，则1413a q ．
4. 设a 为实数．若存在实数t ，使得i
i i
a t 为实数（i 为虚数单位）
，则a 的取值范围是 ．
答案：3
4
a ．
解：计算得 22
222
i 111i (i)(i)(1)i i i 111
a at a t t a t t t t t t ． 根据条件，存在实数t ，使得22
1
01
a t t t ，即有 2
213124a t t t
． 当t 取遍一切实数时，a 的取值范围是3
4
a ．
5. 在平面直角坐标系中，1F 、2F 分别为双曲线2
2
:13y x 的左、右焦点，
过1F 的直线l 交 于两点,P Q ．若12116F F F P
，则22F P F Q 的值为 ．
答案：27
13
．
解：由条件知12(2,0),(2,0)F F ．设1122(,),(,)P x y Q x y ，由12116F F F P
知
114(2)016x y ，故12x ，进而22113(1)9y x ．
由对称性，不妨设13y ，则直线l 的方程为4
23
x y ，代入 的方程，
消去x 并化简可得y 的二次方程21348270y y ，其两根12,y y 之积为27
13
．
因此2212122727(2)(2)01313
F P F Q x x y y ．
6. 如图，正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别为棱111,A B BB 的中点，过,,D M N 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 ，则 在顶点D 处的内角的余弦值为 ．
答案：4
13
．
解：如图，设MN 分别与1,AA AB 的延长线交于
点,S T ，连接DS ，交11A D 于点P ，连接DT ，交BC 于点Q ，则截面 为五边形DPMNQ ．
不妨设正方体的棱长为3．
易知11111112A P A S NB PD DD DD ，则12PD ．同理有2CQ ．结合1||PD CQ ，
可知四边形1CD PQ 为平行四边形，132PQ D C ．
又223213DP DQ ，所以 在顶点D 处的内角的余弦值为
2221313184
cos 22613
DP DQ PQ PDQ DP DQ ．
7. 在1,2,,10 中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为 ．
答案：7
20
．
解：考虑三个数两两互素的取法，显然所取的三个数中至多有一个为偶数．
P S
Q T
N
M
D D 1C B A
A 1
B 1
C 1
情形一：三个数均为奇数．此时从1,3,5,7,9中选三个数，但不能同时选3和
9，有321
523C C C 7 种选法．
情形二：恰有一个偶数，将其记为m ．若{2,4,8}m ，则从1,3,5,7,9中再
选两个数，但不能同时选3和9，有2
5C 19 种选法，又m 有三种可能，所以有3927 种选法；若6m ，则另两个奇数只能从1,5,7中选，有3种选法；若
10m ，则另两个奇数只能从1,3,7,9中选，但不能同时选3和9，有24C 15 种
选法．累计得情形二共有273535 种选法． 所以三个数两两互素的取法共有73542 种．又在十个数中任取三个数有
3
10C 120 种取法，故所求概率为42712020
． 8. 设,,k l m 为实数，0m ，在平面直角坐标系中，函数()m
y f x k x l
的图像为曲线1C ，另一函数()y g x 的图像为曲线2C ，且满足2C 与1C 关于直线
y x 对称．若点(1,4),(2,3),(2,4)都在曲线1C 或2C 上，则()f k l m 的值
为 ．
答案：1或4
5
．
解：由12(1,4),(2,3),(2,4)C C 及曲线1C 与2C 之间的对称性，可知
12(4,1),(3,2),(4,2)C C ．
若1(1,4)C ，则2(4,1)C ，由2C 为函数的图像知2(4,2)C ，得1(4,2)C ，进而2(2,4)C ，类似可知1(2,3)C ，2(3,2)C ．
此时(1)4,(2)3,(4)2124m m m
f k f k f k l l l
，即有
(4)(1),(3)(2),(2)(4).
k l m k l m k l m
由(4)(1)(3)(2)k l k l ，得20k l ． 由(3)(2)(2)(4)k l k l ，得220k l ． 所以0,2k l ，进而(4)(1)12m k l ．
此时12
()2
f x x ，则()(10)1f k l m f ．
若2(1,4)C ，注意到()g x 为()f x 的反函数，即()m
g x l x k
，故类似可得0,2,12l k m ，此时12
()2f x x
，4()(10)5f k l m f ．
综上，()f k l m 的值为1或4
5
．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分）已知ABC 及其边BC 上的一点D 满足：2AB BD ，3AC CD ，且以A 、D 为焦点可以作一个椭圆 同时经过B 、C 两点，求 的
离心率．
解：由椭圆定义可知AB BD AC CD （都等于椭圆 的长轴长），结合2AB BD ，3AC CD ，得
:::8:4:9:3AB BD AC CD ．
……………4分 由余弦定理及,ADB ADC 互补，可知
222222
cos cos 022AD BD AB AD CD AC ADB ADC AD BD AD CD
，
即 222222()()0CD AD BD AB BD AD CD AC ．
不妨设8,4,9,3AB BD AC CD ，则上式可化简为274320AD ，解得椭圆 的焦距1221
7
AD
． ……………12分 所以椭圆 的离心率21
7
AD e AB BD ． ……………16分
注：由斯特瓦尔特定理可直接得222
AB CD AC BD AD BD CD BC
． 10.（本题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非负实数，且满足：对任意整数2n ，均有11n n n a a a n ．若220221a a ，求1a 的最大可能值．
解：根据条件，对任意正整数n ，有
321112(1)2n n n n n n a a a n a a n a n 23n n a ． 进而
632(3)329(23)6n n n n a n a n n a a ． ① ……………5分 设12,a a a b ，则34562,5,7,7a b a a a a b a a b ．
由①知{}n a 的各项均为非负实数当且仅当126,,,0a a a ，即
05,07,7 2.a b a b
……………10分 注意到
2202226(2016)(2023)a a a a b a b ，
故
(2023)1b a b ． ② 由72a b 得11
20232025b a b ，且显然1b ．……………15分
由②进一步得12023a b b ．利用1
()f x x x 在(0,1)上单调减，可知
111405120232202520252025
a a f ， 当1
2025
b 时等号成立．
所以1a 的最大可能值为4051
2025
． ……………20分
11.（本题满分20分）给定整数(2)n n ．对于一个2n 元有序数组
1122(,,,,,,)n n T a b a b a b ， 若T 的每个分量均为0或1，且对任意,(1)p q p q n ，均有(,,)(1,0,1)p p q a b b 且(,,)(1,0,0)q q p a b a ，则称T 为“有趣数组”．求有趣数组的个数．
解：考虑任意一个有趣数组1122(,,,,,,)n n T a b a b a b ，对1,2,,i n ，将(,)i i a b 视为一个字母，其中(1,0),(0,1),(1,1),(0,0)分别视为字母,,,A B C D ，则T 可视为一个由,,,A B C D 构成的长度为n 的字符串()s T ．有趣数组T 的性质可等价地描述为：当字符串()s T 含字母A 时，A 之后不出现字母,B C ，且A 之前不出现字母,B D ．显然()s T 不同时含有字母A 与B ．
若()s T 不含字母A ，则这样的字符串均满足条件，共3n 个．……………5分 若()s T 含有字母A ，则()s T 必是形如CC CAA ADD D 的字符串（允许没有字母C 或D ），且这样的字符串均满足条件． ……………10分
设()s T 中第一个A 与最后一个A 分别出现在第x 个位置与第y 个位置，则()s T 由数组(,)x y （其中1x y n ）唯一确定．
因(,)x y 的取法有2(1)C 2n
n n n 种，故这样的字符串()s T 有(1)
2
n n 个． 综上，有趣数组所对应的字符串共有(1)
32
n n n 个．因此有趣数组的个数
为(1)
32n n n ． ……………20分。