2020-2021学年北师大版必修1 第二章4.2 二次函数的性质 课件(37张)

___－__2_ba_，__＋__∞____上 是减少的
最值
当 x＝－2ba时4，a函c－数b取2 得 当 x＝－2ba时4，a函c－数b2取 最小值______4_a____ 得最大值_____4_a____
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴共同确定．( √ ) (2)函数 y＝－2x2＋2x＋1 的对称轴为 x＝－1.( × ) (3)所有的二次函数一定存在最大、最小值．( × ) (4)二次函数在闭区间上既有最大值又有最小值．( √ )
【解析】 (1)函数 f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其对 称轴为 x＝－m，若函数在[－1，2]上是单调的，说明对称轴不 在区间[－1，2]内部，故有－m≤－1 或－m≥2，得 m≥1 或 m≤ －2. (2)由题意知，函数关于 x＝2 对称， 故－b2＝2，得 b＝－4， 所以 f(x)＝x2－4x＋1， 所以 f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3. 【答案】 (1)(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)－2，－3
(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定； (2)若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)或 f(2a－x)＝f(x)，则 f(x) 的对称轴为 x＝a； (3)若函数 f(x)满足 f(a－x)＝f(b＋x)，则 f(x)的对称轴为 x＝ a＋b
2.
1.(1)已知函数 f(x)＝x2＋2x－3 在(－∞，a]上是 减函数，则实数 a 的最大值为________． (2)如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间12，1上是增函 数，则实数 a 的取值范围为________． 解析：(1)函数 f(x)的对称轴为 x＝－1，
2.(1)函数 f(x)＝x2－4x＋5 在区间[0，m]上的最
大值为 5，最小值为 1，则实数 m 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．[0，2]
C．(－∞，2]
D．[2，4]
(2)函数 f(x)＝x2－21x＋3，x∈[0，3]的最大值为________．
解析：(1)f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1 在[0，＋∞)上的图像如 图， 由题意得 2≤m≤4.
(3)此处讨论对称轴 x＝a 与区间[0，2]的位置时，由于本题既 求最大值，也求最小值，因此需要讨论对称轴相对区间中点的 位置关系，此点极易忽视．
1．函数 y＝2－ －x2＋4x的值域是( )
A．[－2，2]
B．[1，2]
C．[0，2]
D．[－ 2， 2 ]
解析：选 C.因为 －x2＋4x＝ 4－（x－2）2∈[0，2]，
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2．函数 f(x)＝－x2－2x＋3 在[－5，2]上的最小值和最大值分
别为( )
A．－12，－5
B．－12，4
C．－13，4
D．－10，6
解析：选 B.f(x)的图像开口向下，对称轴为直线 x＝－1.
当 x＝－1 时，f(x)最大＝4，
当 x＝－5 时，f(x)最小＝－12.
3．若函数 f(x)＝x2－2ax 在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞) 上是递增的，则实数 a＝________． 解析：由题意知，对称轴 x＝a＝5. 答案：5
(2)若对称轴 x＝－2ba<m，则 f(x)在区间[m，n]上是增函数，最 大值为 f(n)，最小值为 f(m)； (3)若对称轴 x＝－2ba>n，则 f(x)在区间[m，n]上是减函数，最 大值为 f(m)，最小值为 f(n)．
二次函数的单调性和对称性 (1)若函数 f(x)＝x2＋2mx＋1 在区间[－1，2]上是单调的， 则实数 m 的取值范围是________． (2)如果函数 f(x)＝x2＋bx＋1 对任意实数 x 都有 f(2＋x)＝f(2－ x)，则 f(1)，f(2)的值分别为________．
(2)令 g(x)＝x2－2x＋3，则 g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2 在[0， 3]上的最小值为 2，最大值为 6. 故 f(x)＝g（1x）的最大值为12. 答案：(1)D (2)12
二次函数在实际问题中的应用
某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生 产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为 G(x)(万 元)，其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本 为 1 万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入 R(x)(万元) 满足： R(x)＝－11，0.4xx>25＋，4x.2∈x，N，0≤x≤5，x∈N，假定该产品产销平衡 (即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问 题：
由图(2)可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a.(6 分)
(3)当1≤a≤2时， 由图(3)可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(8 分)
(4)当a>2时， 由图(4)可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(10 分)
a<0 _－__2_ba_，__4_a_c_4－_a_b_2_ ____x_＝__－__2_ba_____
a 的符号
性质
a>0
a<0
单调性
在区间_－__∞__，__－__2_ba__上 是减少的，在区间
在区间_－__∞__，__－__2_ba__ 上是增加的，在区间
_－__2b_a_，__＋__∞__上是增加 的
当 a≤－1 时，函数图像如图(3)所示，函数 f(x)在区间[－1，1] 上是增函数，最小值为 f(－1)＝3＋2a. 综上，当 a≥1 时，f(x)min＝3－2a； 当－1<a<1 时，f(x)min＝2－a2； 当 a≤－1 时，f(x)min＝3＋2a.
求解二次函数最值问题的关键点 (1)二次函数最值问题关键是与图像结合，主要讨论对称轴在区 间左、在区间内、在区间右这三种情况． (2)对于已给出最值的问题，求解的关键是借助单调性确定最值 点．
Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）＝4（a－2）（a＋2）<0，
所以－2<a<2， 综上，实数 a 的取值范围是(－2，2]．
答案：(－2，2]
4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋1 在(－∞，－2)上递减，在[－2， ＋∞)上递增，求 f(x)在[1，2]上的值域． 解：因为 f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所 以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程 x＝m8 ＝－2， 即 m＝－16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)， 且 f(x)在[－2，＋∞)上递增． 所以 f(x)在[1，2]上递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝4－m＋1＝21； 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝16－2m＋1＝49. 所以 f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．
所以 y＝2－ －x2＋4x的值域为[0，2]．
2．函数 f(x)＝1－x（11－x）的最大值是(
)
A.45
B.54
4
3
C.3
D.4
解析：选
C. 设
g(x)
＝
1
－
x(1
－
x)
＝
x2
－
x
＋
1
＝
x－12
2
＋
3 4
∈34，＋∞，
所以 f(x)＝1－x（11－x）的最大值为43.
3．若不等式 ax2＋2ax－4<2x2＋4x 对任意实数 x 均成立，则实 数 a 的取值范围是________． 解析：由题意(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对 x∈R 均成立， 当 a＝2 时，－4<0 符合题意； 当 a≠2 时，需满足 a－2<0，
4．函数 y＝x2＋1，x∈[－1，2]的值域为________． 解析：y＝x2＋1 的图像开口向上， 对称轴为 y 轴，当 x＝0 时，y 最小＝1， 当 x＝2 时，y 最大＝5. 所以函数 y 的值域为[1，5]．
答案：[1，5]
二次函数在闭区间上的最值 求二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般 分为以下几种情况，即： (1)若对称轴 x＝－2ba在区间[m，n]内，则最小值为 f－2ba，最 大值为 f(m)，f(n)中较大者(或区间端点 m，n 中与直线 x＝－2ba 距离较远的一个对应的函数值为最大值)；
解：(1)由题意知，存款量 g(x)＝kx，银行应该支付的利息 h(x) ＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)． (2)设银行可获得的收益为 y， 则 y＝0.048kx－kx2＝－k(x－0.024)2＋0.0242·k， 当 x＝0.024 时，y 有最大值． 所以存款利率定为 0.024 时，银行可获得最大收益．
f(x)在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a]⊆(－∞，－1]， 故 a≤－1， 即 a 的最大值为－1.
(2)因为二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 的图像的对称轴为直线 x＝a－2 1，又函数 f(x)在区间12，1上是增函数，所以a－2 1≤12， 解得 a≤2. 答案：(1)－1 (2)(－∞，2]
规范解答
二次函数在闭区间上的最值问题
(本题满分 12 分)求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0，2] 上的最大值 g(a)和最小值 h(a)．
【解】 f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为 x＝a. (2 分) (1)当a<0时，
由图(1)可知， f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max ＝f(2)＝3－4a.(4 分) (2)当0≤a<1时，
综上可知，函数的最大值
g（a）＝－3－1，4a， a≥a<11， (11 分)
函数的最小值
h(a)＝－－11－，aa2<，0，0≤a≤2， 3－4a，a>2.
(12 分)
(1)4 处 ，漏掉一种情况，扣 2 分；
若漏掉此处结论，扣 1 分；
若漏掉此处结论，扣 1 分． (2)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y＝ f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究． 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求 解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．
(1)解应用题要弄清题意，从实际出发，建立数学模型，列出函 数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．实际问题要注意 确定定义域． (2)分段函数求最值，应先分别求出各段上的最值再比较．
3.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测， 存款量与存款利率成正比，比例系数为 k(k＞0)，贷款的利率 为 4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去． (1)若存款利率为 x，x∈(0，0.048)，试写出存款数量 g(x)及银 行应支付给储户的利息 h(x)与存款利率 x 之间的关系式； (2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？
第二章 函 数
4．2 二次函数的性质
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
a 的符号
性质
a>0
函数图像
开口方向
开口_向__上___
a<0 开口_向__下___
a 的符号 性质
顶点坐标
对称轴
a>0 _－__2_ba_，__4_a_c4_－a__b_2_ _ ____x_＝__－__2b_a_____
二次函数的最值(值域) 已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数 f(x) 的最小值．
【解】 f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2 的图像开口向上， 且对称轴为直线 x＝a.
当 a≥1 时，函数图像如图(1)所示，函数 f(x)在区间[－1，1] 上是减函数，最小值为 f(1)＝3－2a；当－1<a<1 时，函数图像 如图(2)所示，函数 f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值 为 f(a)＝2－a2；
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N， (2)当 x>5 时，因为函数 f(x)单调递减， 所以 f(x)<f(5)＝3.2(万元)， 当 0≤x≤5 时，函数 f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当 x＝4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使赢利最大为 3.6 万元．