东北大学线性代数2013-2014学年第一学期笔试题及答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数测试试卷及答案
线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
2013-2014-1线性代数(本科)A卷答案
武汉科技大学2013-2014-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1. 设A 是n 阶可逆方阵,则T B A A =-是( D ).A.正交矩阵；B.对称矩阵；C.可逆矩阵；D.反对称矩阵. 2. 向量组12,,,m ααα线性无关，则下列结论不正确的是（ B ）.A. 12,,,m ααα的秩为m ；B. 12,,,m ααα的极大无关组不唯一C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不对应成比例；D. 12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余1m -个向量线性表示.3. 行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a aa a a ---------的值为（ A ）.A ．12; B. 11; C. 13; D. 14.4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．A ．122331,,a a a a a a +++；B ．213213,,a a a a a a ---；C ．21321312,,2a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---.5. 下列不是方阵A 可逆的充要条件的是（ C ）A. A 的行向量组线性无关；B. A 的列向量组线性无关;C. 零为A 的特征值;D. 非齐次线性方程组Ax b =有唯一解.6．非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则( A ).A.r m =时，方程组Ax b =有解；B. r n =时，方程组Ax b =有唯一解；C.m n =时，方程组Ax b =有唯一解；D. r n <时，方程组Ax b =有无穷多解.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.A 为3阶方阵，且1A =-,则1*(2)A A --=____278____;8. 若121210021A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -= 101212423⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;9. 01010000A x ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，当 1± 时，矩阵A 为正交矩阵;10. 向量组123(2,4,2),(1,2,1),(3,5,2)ααα==---=的秩为 2 ;11. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关，记 ()2,,P x Ax A x =，若有AP PB =，则B =000103011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭;12. 已知20132013001335100010242010100111001A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，00020002B λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 相似于B ，则λ= 6.三、解答题（本大题共4个小题，第13、14、15题，每小题10分，第16题12分，共42分）13. 计算行列式1122100000000011111n n n a a a a D a a +--=-。
2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准
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2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。
(完整版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。
m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。
120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。
6C。
2 D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
｜A|≠0时B=C5。
已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。
2C。
3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
2013-2014(1)线性代数课程试卷A卷答案
2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A 卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设n 阶方阵B A ,等价，则（ C ）（A ） B A = （B ）B A ≠ （C ）0≠A 则必有0≠B （D ） B A -= 2.对矩阵54⨯A ，以下结论正确的是（ B ）（A ）A 的秩至少是4 （B ）A 的列向量组线性相关 （C ）A 的列向量组线性无关 （D ）A 中存在4阶非零子式 3．A 是n m ⨯矩阵，R(A)= m<n, 则下列正确的是( D )（A ）A 的任意m 个列向量线性无关 （B ）A 的任意一个m 阶子式必不为零 （C ）A 经过初等行变换必可化为)0,(m E 的形式（D ）齐次线性方程组AX=0有无穷解4.设二次型323121232221321222444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则( C )（A ）f 的秩为1 （B ）f 的秩为2 （C ）f 为正定二次型（D ）f 为负定二次型 5. 若三阶方阵A 的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为T )1,1,1(1=β,属于特征值2的特征向量为T )0,1,1(2-=β，则向量T )1,0,2(21--=--=βββ（ D ） （A ）是A 的属于特征值1的特征向量 （B ）是A 的属于特征值2的特征向量 （C ）是A 的属于特征值-3的特征向量 （D ）不是A 的特征向量 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为__负____。
7. 设A 是3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为],,[321ααα=A ，其中 j α)3,2,1(=j 是A 的第j 列，则________6___,3,21213=-αααα。
8.X 和Y 是nR 中的任意两个非零向量，记TY X A =，则矩阵A 的秩是___1___.9. 若n 元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r ，则r 与n 的关系必为__r =n___.10. 设向量空间{}R x x x x x W T∈=21121,)3,2,(，则W 的维数等于__2__ _。
东北大学2013-2014学年度期中高等考试试题答案
…………………3 分
…………………6 分
ln( x
1 x 2 )dx x ln( x 1 x 2 )
x 1 x2
dx …………………3 分
x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 C
…………………6 分 …………2 分
令 u arctan
1 1 tan u , x x
u
f 0 lim sin 2u tan u lim 2 sin 2 u 2 .
u
……………6 分
2
2
dy 3a sin 2 t cos t 3. tan t dx 3a cos 2 t sin t d2y sec 2 t 1 sec 4 t csc t 2 2 dx 3a cos t sin t 3a
2. 设 x a sin t ，则 dx a cos tdt ， x 2 a 2 x 2 a 3 sin t cos t 于是， x 2 a 2 x 2 dx a 4 sin 2 t cos 2 tdt
1 a4 1 4 2 1 4 (t sin 4t ) C …………4 分 sin 2 (1 cos 4 ) a tdt a t dt 8 4 4 8 2x2 a x (1 2 )] C a
2 2
a4 x x [arcsin 2 8 a a
六(8 分)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…………6 分
解 分别用 x, y 表示 AQ 和 PA 的长度， u , v 表示 BQ 和 PB 的长度. 则
y x 2 12 2 ，
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案线性代数（经管类）试题答案⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.设A为三阶⽅阵且则（ D ）A.-108B.-12C.12D.1082.如果⽅程组有⾮零解,则 k=（ B ）A.-2B.-1C.1D.23.设A、B为同阶⽅阵，下列等式中恒正确的是（ D ）A.AB=BAB.C. D.4.设A为四阶矩阵，且则（ C ）A.2B.4C.8D.125.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表⽰，则下列向量中只能是( B )A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（ C ）A. α1 ，α2 ，…，αs 全是⾮零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中⾄少有⼀个向量可由其它向量线性表出D. α1 ，α2，…，αs 中⾄少有⼀个零向量7.设A为m矩阵，⽅程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ C ）A.A的⾏向量组线性⽆关B.A的⾏向量组线性相关C.A的列向量组线性⽆关D.A的列向量组线性相关8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（ D ）A. B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B9.与矩阵A=相似的是（ A ）A. B.C. D.10.设有⼆次型则（ C ）A.正定B.负定C.不定D.半正定⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=14.设A为3矩阵,且⽅程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有⼀个特征值-2,则B=A+2E必有⼀个特征值___6_________.16.⽅程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶⽅阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的⼆次型是.三、计算题（本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分）21.计算四阶⾏列式的值.=22.设A=,求A.A =23.设A=,B=,且A,B,X满⾜(E-B A)求X,X(E-B A)X= =X==24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的⼀个极⼤线性⽆关组.α1 α2 α4 为极⼤⽆关组。
13-14 线代期末考试卷 A(1)(1)
安徽师范大学2013－2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设A , B , C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E2. 在下列五个矩阵中，①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 ②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1110 ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 ⑤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 属于初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①②③ (D) ①③⑤3. 设A 是m ⨯n 矩阵，m <n ，且A 的行向量组线性无关. 对于线性方程组Ax =b ，下列结论中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) A 的列向量组线性无关 (B) 增广矩阵的行向量组线性无关 (C) 增广矩阵的列向量组的线性无关 (D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)α1, α2,…, αs 可以由向量组(II)β1, β2,…, βt 线性表示，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) s ≤t (B) t ≤s (C) 秩(I) ≤ 秩(II) (D) 秩(II) ≤ 秩(I)5. 设A ,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果λ是A 的特征值，则A -λE = B -λE(D) 对任意常数t ， A - t E 与B -t E 相似1. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010301，f (x )=x +2，则f (A -1) = .2. 设A 是3⨯4矩阵，B 是4⨯2矩阵， B 的每一列都是齐次线性方程组Ax =0的解，若R (A )=1，则R (B )最大值是 .3. 设 α1, α2, α3是 n 维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3)，已知R (A )=2， α1=α2+α3，则齐次线性方程组Ax =0的通解为 .4. 设A 是3阶方阵，且032=+=+=+E A E A E A ，则=A .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 00020002B 相似，则a = .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设齐次线性方程组(I): ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003131********x x x x ；(II):⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00125135114321x x x x k 已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12212α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41314α.求该向量组的秩，并写出一个最大无关组.3. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=143β能否由向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4322α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8523α线性表示？ 如果不能，说明理由；如果能，求出线性表示的表达式.三、计算题（每小题7分，共35分）4. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110011001，求 (A -2E )-1(A +2E )5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1322α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0483α规范正交化1. 已知A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，m >n ，令矩阵C =AB ， 证明： C 的列向量组和行向量组都是线性相关的.2. 设A 是正交矩阵，λ1=1, λ2= -1是A 的两个特征值，ξ1, ξ2是相应的特征向量. 证明：ξ1, ξ2正交.四、证明题（每小题6分，共12分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112001001A .① 矩阵A 是可对角化的，试说明理由； ② 求可逆矩阵P和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ； ③ 设k 是正的偶数，求A k .五、解答题（13分）。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
线性代数考试题库及答案（一）
线性代数考试题库及答案（⼀）线性代数考试题库及答案第⼀部分专项同步练习第⼀章⾏列式⼀、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶⾏列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若213332313133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶⾏列式中第1⾏元依次是3,1,0,4-, 第3⾏元的余⼦式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第⼀⾏元的代数余⼦式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四⾏元的余⼦式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性⽅程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有⾮零解.⼆、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶⾏列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶⾏列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若⼀个n 阶⾏列式中⾄少有12+-n n 个元素等于0, 则这个⾏列式的值等于.5. ⾏列式=100111010100111.6．⾏列式=-0100002000010 n n .7．⾏列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶⾏列式的值为5，将其第⼀⾏与第5⾏交换并转置，再⽤2乘所有元素，则所得的新⾏列式的值为.10．⾏列式=--+---+---1111=+++λλλ111111111.12．已知三阶⾏列式中第⼆列元素依次为1,2,3, 其对应的余⼦式依次为3,2,1，则该⾏列式的值为.13．设⾏列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四⾏元的代数余⼦式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余⼦式的和为.15．设⾏列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余⼦式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知⾏列式nn D00103100211253117．齐次线性⽅程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性⽅程组=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有⾮零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解⽅程0011011101110=x x xx ； 4．1321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 2100012000002100012100012a a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=. 4．∏∑≤<≤=----=ni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案⼀．单项选择题A D A C C D ABCD B B ⼆．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;⼀、单项选择题1. A 、B 为n 阶⽅阵，则下列各式中成⽴的是( )。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
线性代数习题与答案第一章(东大绝版)
8.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)用画线法
(2)
(3)
(4)法一
法二作五阶范德蒙行列式
按第5列展开得 ,
其中 项的系数
但 其 项的系数为
所以,
9.证明下列等式
(1) (2)
(3) .
证(1)
（2）
(3)
10.按第三行展开行列式,并计算其值
证 阶行列式有 个元素,如果零元素个数大于 个,则非零元素的个数就小于 个.于是行列式定义中的 项的每一次至少有一个零因子,所以每一项都是零.从而行列式值为零.
7.用行列式定义计算下列 阶行列式
(1)
该行列式次对角以下都是0.
(2)
解(1)由行列式定义, 项中的每一项都是 个元素的乘积,这 个元素来自不同的行,不同的列,所以这一行的可能不为零的项仅有 ,它的符号为 .于是,原行列式等于 .
解逆序数最小的排列: , ,
逆序数最大的排列: , .
这样的排列是唯一的,但逆序数介于0和 之间的排列不唯一,例如4级排列中1243与2134的逆序数均为1.
4.选择 使(1) 为奇排列; (2) 为偶排列.
解(1)这是一个9级排列, 的值为3, 7.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
第一章习题解答
1.用画线法计算下列行列式
（1） （2） (3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
2.计算下列排列的逆序数
(1)35214; (2) ; (3) ; (4) .
解(1)
(2)
(3)
(4)
3.在所有 级排列中,试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一?又逆序数介于它们之间是否唯一?
东北大学线性代数笔试考试题
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷答案） 2011 — 2012学年 第二学期课程名称：线性代数 （共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322222221A ，求1*)(-A 。
其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵。
解 由于02≠-=A ,所以，A 可逆。
5分 于是，11*2---==A A A A 10分所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=2/311111112/121)(1*－＝－A A 15分 分) 设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 92β，问 a 取何值时向量β可由向量组321,,ααα线性表示？表示式是否唯一？并求表示式。
解 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a 21191122121),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→233053302121a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→70003/51103/16101a 5分所以，7-=a 时，向量β可由向量组321,,ααα线性表示，且表示式不唯一。
10分表示式为： R k k k k ∈++-+=,)3/5()3/16321αααβ（ 15分 分) 证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=R c b a c b c b a a V ,,|00是32⨯R 的子空间，求V 的一组基和维数。
并在V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间(不用证明)。
解 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∀001111111c b c b a a A ，R k V c b c b a a B ∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=,00222222都有： V c c b b c c b b a a a a B A ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=+00212121212121， V kc kb kc kb ka ka kA ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=001111111 所以，V 是32⨯R 的子空间。
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东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷答案） 2013 — 2014学年 第一学期
课程名称：线性代数 （共
2页）
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分）已知3阶矩阵A 满足0|52|=+E A ，且1)2(=-E A R ，其中E 为3阶单位矩阵，求矩阵A 的行列式||A .
解 由0|52|=+E A 知，A 的1个特征值251-=λ， 2分
由1)2(=-E A R 知，A 的2个特征值232==λλ， 4分 所以，||A 10321-==λλλ. 5分
分) 问b a ,为何值时，向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a β和⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=3022β与向量组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1131
α,⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=b 122α等价，并将21,αα用21,ββ线性表示. 解 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1311102321),,,(2121ααββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24102131202321
~b a a a
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+----a ab a b b 621111002410261101~， 1分
所以当25,111-==b a 时，21,αα与21,ββ等价，且有 3分 211411ββα-=，
21229
11ββα-=. 5分 分) 设3阶矩阵A 第一行元素与对应的代数余子式分别为 111=a ,312=a ,3,1,3,213
121113===-=A A A a ，求齐次线性方程组0
=x A 的通解. 解 0||131312121111=++=A a A a A a A . 1分 由于011≠A ，所以2)(=A R ，于是， 2分
=x A 的解空间是1维的. 3分
又由O E A AA ==||*，知T
)3,1,3(是0 =x A 的解， 4分 因此，0 =x A 的通解为R c c x ∈⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,313 . 5分 2－1
(5分) 设二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f可经过正交变换Qy
x=化成标准形
2
3
2
2
2
1
3
2
1
)
,
,
(y
y
y
x
x
x
f-
+
=，且Q的第三列元素为
2
1
,
2
1
,0，求正交矩阵Q和二次
型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f.
解由已知条件可知A的3个特征值分别为1
,1
3
2
1
-
=
=
=λ
λ
λ，1分
且属于特征值1
3
-
=
λ的特征向量为T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ.
而属于特征值1
2
1
=
=λ
λ的特征向量与T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ正交，可取为
T
)1,0,0(
1
=
ξ，T)0,
2
1
,
2
1
(
2
-
=
ξ. 2分
所求正交矩阵为)
,
,
(
3
2
1
ξ
ξ
ξ
=
Q. 3分
二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f的矩阵为
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
Λ
=
1
1
1
T
Q
Q
A. 4分
因此，
2
1
2
3
3
2
1
2
)
,
,
(x
x
x
x
x
x
f-
=. 5分
分)设
3
2
1
,
,α
α
α和
3
2
1
,
,β
β
β是向量空间3R的两组基，且满足：
1
1
β
α=,
2
1
2
β
β
α+
=,
3
2
1
3
β
β
β
α+
+
=，若向量α在基
3
2
1
,
,β
β
β下的坐标为T)3,2,1(，
求向量α在基
3
2
1
,
,α
α
α下的坐标.
解由于)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
2
1
1
3
2
1
β
β
β
β
β
β
α
α
α+
+
+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
1
1
1
1
)
,
,
(
3
2
1
β
β
β，1分
所以，由基
3
2
1
,
,β
β
β到基
3
2
1
,
,α
α
α的过渡矩阵为
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
1
1
1
1
C. 3分
因此，向量α在基
3
2
1
,
,α
α
α下的坐标为
=
=-x
C
y1
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
3
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
11
. 5分
分) 现有电工、木工、油漆工各一人，按等价交换原则达成如下
工作协议，电工到木工家工作2天，到油漆工家工作4天；木工到电工家工作3
天，到油漆工家工作2天；油漆工到电工家工作4天，到木工家工作3天，他们
各自的总收入和总支出恰好相等，求他们的日工资各是多少？（假设他们的日工
资都是介于70~90之间的整数，单位：元）.
解设电工、木工、油漆工的日工资分别为z
y
x,
,元，则有
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
y
x
z
z
x
y
z
y
x
2
4
7
3
2
5
4
3
6
，即
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
+
-
=
-
-
7
2
4
3
5
2
4
3
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
. 2分
由于
~
7
2
4
3
5
2
4
3
6
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
-
~
13
12
3
5
2
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
12
13
1
24
29
1
，3分
所以，方程组的通解为
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
k
z
k
y
k
x
24
26
29
R
k∈. 4分
由于z
y
x,
,是介于70~90之间的整数，所以
72
,
78
,
87=
=
=z
y
x元. 5分
2-2。