湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(文科)试卷Word版含解斩

湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期第一次月考
数学（文科）试卷
一、单项选择
1．已知i为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为（）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）
2．复平面内表示复数i（1﹣2i）的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数y=x+在x=1处的导数是（）
A．2 B．C．1 D．0
4．直线与曲线相切，则b的值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．D．1
5．函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调递减区间是（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）
6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）
A．（）B．（1，2）C．（，1） D．（2，3）
7．曲线y=﹣2在点处的切线的倾斜角为（）
A．30° B．45° C．135°D．﹣45°
8．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（）
A．B．C．D．ln2
9．曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．2x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0
10．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）
A．B．1 C．D．2
12．把数列{a n}的各项按顺序排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，若A（m，n）=a2014，则m+n=（）
A．122 B．123 C．124 D．125
二、填空题
13．函数y=x+cosx在区间上的最大值是．
14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）= ，当n＞4时f（n）= （用n表示）
15．给出下列等式：观察各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则依此类推可得a6+b6= ．16．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22．已知f（x）=e x﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a，使f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在．
三、解答题
17．计算+．
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】根据复数的运算法则进行化简计算即可．
【解答】解： +=+=+=+=．
18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．
【考点】A2：复数的基本概念；A8：复数求模．
【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；
（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，
则3a﹣4b=0，，
．
19．已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a不能同时大于．
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】假设三式同时大于，即，，，让三个等式左边右边分别相乘得到，结合基本不等式可以判断错误，故假设不成立，即得证．
【解答】证明：假设三式同时大于，即，，…2分
三式同向相乘，得（*）…5分
又，…7分
同理，…9分
所以，…11分
与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确…12分
20．求证双曲线上任意一点P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
【考点】KC：双曲线的简单性质；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得切线方程，分别令x=0，求得B点坐标，当y=0时，求得A点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
【解答】解：证明：设曲线上任意一点为P（x0，），∵y′=﹣，
∴在点P处切线的斜率k=﹣，
∴在P点处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x0）．
令x=0，得y=+=，则B（0，）
令y=0，得x=x0+x02×=2x0，C（2x0，0），
∴S△=|x|•|y|=2．
故三角形面积为定值2．
过P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值2．
21．已知函数f（x）=ax﹣lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））（e为自然对数的底）处的切线方程；
（2）当x∈（0，e]时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出a=1时f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（2）假设存在实数a，使得f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]的最小值为3，对a讨论：当a≤0时，当，即时，当，即时，求出单调区间，可得最小值，解方程即可得到所求a的值．
【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=x﹣lnx的导数为，
所以切线斜率，
所以切线方程为，
即．
（2）假设存在实数a，使得f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]的最小值为3，
，0＜x≤e，
①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3得（舍去）；
②当，即时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
得a=e2满足．
③当，即时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）≤0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，得（舍去）．
综上，存在实数a=e2满足题意．
22．已知f（x）=e x﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a，使f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在上单调递减，等价于e x﹣a≤0即a≥e x在（﹣∞，0]上恒成立．由于y=e x在（﹣∞，0]上为增函数，得到函数的最大值是1，则a≥1．同理得到，f（x）在上单调递减，
则e x﹣a≤0在（﹣∞，0]上恒成立．
∴a≥e x在（﹣∞，0]上恒成立．
∵y=e x在（﹣∞，0]上为增函数．
∴x=0时，y=e x最大值为1．∴a≥1．
同理可知，e x﹣a≥0在上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
23．已知函数
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1），f′（3）的值，由f′（1）=f′（3）列式求得a值；（Ⅱ）f′（x）==（x＞0）．然后对a分类讨论求得函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，
f′（1）=﹣a+1，f′（3）=a﹣，
由f′（1）=f′（3），得﹣a+1=a﹣，
解得a=；
（Ⅱ）f′（x）==（x＞0）．
若a=0，f′（x）=．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）．
令g（x）=ax2﹣（2a+1）x+2．
若0＜a，方程ax2﹣（2a+1）x+2=0的两根为x1=2，，且2＜．
当x∈（0，2）∪（，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（2，）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，2），（，+∞）；单调减区间为（2，）．
若a=，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
若a＞，方程ax2﹣（2a+1）x+2=0的两根为，x2=2，且＜2．
当x∈（0，）∪（2，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（，2）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞）；单调减区间为（，2）．
若a＜0，程ax2﹣（2a+1）x+2=0的两根为，x2=2，且＜0．
当x∈（0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．∴f（x）的单调增区间为（0，2）；单调减区间为（2，+∞）．
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，2）；单调减区间为（2，+∞）．
当0＜a＜时，f（x）的单调增区间为（0，2），（，+∞）；单调减区间为（2，）．
当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a时，f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞）；单调减区间为（，2）．。