对偶理论和灵敏度分析

从新的基，基变量开始。
可编辑ppt 23
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计算非基变量的检验数，确定换入变 量。
N1 CN1 CB1B11N1 ( 注意：N1 P1,P5 )
2,
0
(
0,0,3
1 )0
0 1
1/ 21 0 0 4 0
0 0 1/ 4 0 1
2, 3 / 4 对应 x1,x5
换入变量
a( 2) 23
a( 2) m3
a( 2) 2m
a( 2)
mm
可编辑ppt 13
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重复以上的步骤，直到获得
1
EmE2E1A
1
A1
1
可编辑ppt 14
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• 求单形法求解线性规划问题：
maxz 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
可编辑ppt
24
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(3) 确定换出变量
计算：
表示选择>0的元素
min
B11b B11P1
i i
B11P1 0
m
in
2 1
,16,3 4 0
2
对应x 1
可编辑ppt 25
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B 2 P1 , P4 , P2
主元素
1
1
1 0 0
P1 4
B3 P1 ,P5 ,P2 ;
换入变量x5 的系数向量是
1 0 1 / 2 0 1 / 2
B21P5
4
1
2 0 2 主元素
0 0 1 / 4 1 1 / 4
可编辑ppt 32
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计算B逆矩阵
3
1/ 1/
4 2
构造E3
1 0
1/ 4 1/ 2
N0 CN0 CB0 B01N0 ( 注意：N0 P1,P2 )
2, 2,
3
(
0,0,0
)
1 0
0 1
0 0
3 对应 x1,x2
01 2 04 0 10 4
换入变量
可编辑ppt 17
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(3) 确定换出变量
计算：
表示选择>0的元素
min
B01b B01P2
x1 2x2 x3
8
4x1
x4 16
4x2
x5 12
可编辑ppt 15
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第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入， 换出变量。 （1）确定初始基和初始基变量：
1
B0P3, P4, P5 1
x3
; XB0 x4
1
x5
可编辑ppt 16
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（2）计算非基变量的检验数，确定换入 变量。
y1+4y2
≥2
S.t. 2y1
+ 4y3≥ 5
y1，y2，y3≥0
• 对偶问题的最优解： y1=3/2，y2=1/8，y3=0，W* =14
• 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题 实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原 问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。
• 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基
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第3步 从新的基，基变量开始, 重复第1步的计算步骤.
可编辑ppt 29
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计算非基变量检验数，检查检验数，确 定换入变量
N2 CN2 CB2 B21N2 ( 注意：N2 P3,P5 )
0,
0
(
1 2,0,3) 4
0 1
1/ 21 0 3 0 0
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计算非基变量的检验数
N3 CN3 CB3 B31N3
注意：N3 P3,P4
0,
0(
2,0,3)
0 2
1/ 4 1/ 2
01 0 10 1
1/ 2 1/ 8 00 0
3/ 2, 1/ 8
已无正检验数
可编辑ppt 35
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最优解
X
*
x1 x5
B31b
0 0 1/ 4 0 1
2, 1/ 4对应 x3,x5
正检验数
换入变量
可编辑ppt
30
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(3) 确定换出变量
计算：
表示选择>0的进行计算
min
B21b B21P5
i i
B21P5 0
m
i
n12/
2,82,1/34
4对应 x 4
可编辑ppt 31
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新的基
E1P1
0 0
;E1A00
a(1) 22
a(1) m2
可编辑ppt 10
a(1) 1m
a(1) 2m
am(1m)
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而后以第2列的 a 2(为21 ) 主元素，进行变
换
P2(1)
a(1) 12
/
a2(12)
2
1/
a(1) 22
(2)
a(1) m2
/
a2(12)
可编辑ppt 11
术系数矩阵
可编辑ppt 42
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原问题与对偶问题的关系
MaxZ c1 x1 c 2 x 2 c n x n
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
s.t
.
a
2
1
x1
a 22
x2
a2n xn
b2
a
m1
x1
am2 x2
amn xn
需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量对方出 价，对出租与否做出抉择。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
▪ ①合理安排生产能取得多大利润? ▪ ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=2，Z*=14。
可编辑ppt 38
0 XS B-1 - CB B-1
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令非基变量=0；由上式得到：
基可行解 X(1) B01b; 目标函数的值 z CBB1b
可编辑ppt 5
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二、改进单纯形法
B 1
求解线性规划问题的关键是计算 以下介绍一种比较简便的计算方法
设m•m系数矩阵A，求其逆矩阵。
a11
am1 / a11
可编辑ppt 8
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然后构造含有（1）列，而其他列都是 单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
a11
1
am1
/
a11
1
可编辑ppt 9
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可得到：
a21a11a a1 21 1
a22a12a a1 21 1
1
1
a(1) 12
A
a21
a12
a22
am1 am2
a1m
a2m
amm
可编辑ppt 6
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可以先从第1列开始
a 11
P1
a 21
a
m
1
以 a11 为主元素, 进行变换
可编辑ppt 7
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主元素
a11 P1 a12
1/a11
1
a21/
a11
(1)
a1m
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
第二个问题：出让定价
• 假设出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A、B所得利 润分别为y1、y2、y3
• 原本用于生产I产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生 产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有
y1+4y2≥ 2
• 同理，对Ⅱ产品而言，则有
2y1+4y3≥3 • 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值）
1
0
1
1
0
1/4 1
1/4
可编辑ppt 19
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（5）计算非基变量的系数矩阵
1
1 1/ 21
N1 4
B11N1
1
0 4
1
1/ 4 1
1 4
可编辑ppt
20
1/ 2 0
1/ 4
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（6）计算RHS
1 1/28 2
B11b 1
0 1616
1 0
I
0 1
可编辑ppt 3
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
初始单纯形表和最终单纯形矩阵表示如下:
Cj 0 XS
CN
b
XN
XS
b
N
检验数j
CB
0
XB
XS
B
I
Cj
CN
CB
CB XB
b XN
XB
XB B-1b 检验数j
B-1N
BB-1
CN -CB B-1N
可编辑ppt 4
第二章 对偶理论和灵敏度分析
一、单纯形法的矩阵描述
Cj
C1 C2 ……………Cj…………. Cn
CB XB
b
xB1 b1 xB2 b2 … ... xBn bn
检验数j
x1 x2 … xj … xn
a11 a12 … a21 a22 …
…
an1 an2 …
a1j … a1n a2j … a2n
anj … ann
可编辑ppt 1
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设线性规划问题 :
目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
可编辑ppt 2
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给这线性规划问题的约约束条件加入松 弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
bm
x1 , x 2 , , x n 0
则对偶问题是 min w ( y ) b1 y1 b 2 y 2 b m y m
这两个式 子之间的变换 关系称为“对 称形式的对偶 关系”。
a11 y1 a 21 y 2 a m1 y m c1
0 0
1
/
8
0 1/ 8 1
可编辑ppt 33
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B
3
1
E
3
B
2
1
1 1 / 4 0 1 0 1 / 2 0 4
0 1 / 8 1 0
0 2
1 / 2
1 / 4 0 1/ 2 1 1 / 8 0
可编辑ppt
34
0 1 / 2 1 2 0 1 / 4
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然后构造含有（2）列，而其他列都是 单位列的矩阵
1
E2
0 0
a( 1 ) 12
/
a( 1 ) 22
1
/
a( 1 ) 22
a( 1 ) m2
/
a( 1 ) 22
可编辑ppt 12
0 0
1
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可得到
1
0
a( 2) 13
a( 2) 1m
E2E1A
0 0
1 0
变量的检验数的负值。
可编辑ppt
40
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
原问题与对偶问题的表达形式
原 问 题 : maxf(x) CX
AXb
s.t.
X
0
对偶问:题minw(y) Yb
YAC
s.t.
Y0
可编辑ppt 41
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
四 线性规划的对偶理论
1/4 12 3
可编辑ppt 21
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第1步计算结束后的结果
基B1 P3,P4,P2; 基变量XB1 x3,x4,x2 T; 非基变量 XN1 x1,x5 T;
价值系数 C CB1,CN1 (0,0,3),(2,0)
可编辑ppt 22
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第2步 重复第1步的计算步骤
min =8y1+16y2+12y3
• 显然还有
y1，y2，y3≥0
可编辑ppt
39
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 2x1 +3 x2
x1 +2 x2 ≤8
S.t.
4x1 ≤16 4 x2 ≤12
x1 , x2 ≥0
min =8y1+16y2+12y3
0 2
x2
1 / 2
4 4
2
可编辑ppt 36
1/ 4 8
1 / 2 16 1 / 8 12
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目标函数的值
z* CBB31b2,0,344 14
2
可编辑ppt 37
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第二章 对偶理论和灵敏度分析
三、对偶问题的提出
• 若第一章中例一关于某厂的生产计划问题，现有另 一企业想租赁其设备。厂方为了在谈判时心中有数，
B21b4 1
2 168
0 0 1/4 12 3
可编辑ppt 27
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第2步计算结束后的结果
基B2 P1,P4,P2;
基变量XB2 x1,x4,x2 T;
非基变量 XN2 x3,x5 T;
价值系数 C CB2 ,CN2 (2,0,3),(0,0)
可编辑ppt 28
（一）原问题与对偶问题的关系
1、标准(max,)型的对偶变换 • 目标函数由 max 型变为 min 型 • 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，
i=1,2,…,m • 对偶问题约束为 型，有 n 行 • 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 • 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 • 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技
i i
B01P2 0
m
in
8 2
,16,12 0 4
3对应x 5
可编辑ppt 18
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（4）基变换计算
将新的基 P3,P4,P2 单位矩阵。计算：
2
1/2
1 1/2
P 20
1 0 ；构 E 1 造1
0
4 主元素 1/4
1/4
1 1/21 1 1/2
B 1 1E 1B 0 1
2 4 E2 4 1 0
0
0
0 0 1
1 0 01 0 1 / 2
B
1 2
E
2
B
1 1
4
1
00
1
0
0 0 1 0 0 1 / 4
1 0 1 / 2
4 1
2
0 0 1 / 4
可编辑ppt 26
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计算RHS
1 0 1/28 2