灵活运用对数换底公式

, ,
, ·
9。二
.
仓特 且 ) 成等 差数列
、
一
:
些鱼 些鲤 生 廷【
a
l 矽纽
,
水址
:
10 9 ` a
。
=
” a”
`
10
9`a
成 等差 数列 奋 奋 奋
:
证明
二
左边 二 里丛
。
0 9 。 10 9 、 1 (
)
,。 。 二
证明
.
lo g
2 10 9
。
o
x
,
lo gb劣
、
lo gc
“
成等差数列
`
.
·
10
,
9
,
去
·
10
·
9
,
粼丁
。如 1 6+ 10 9 必6 ,
糯 湍概 糯
跳劣
lo g
。 10 9 劣
十
一 ,
2
解
.
10 9 双 了 1 0 助 g 原式 , 1 。 吃 方丁 1哈 f
·
诺号
+
一:
.
B匀
.
t
lg a
ū 例 解
·
,
一
l
gC
=
,
l
1
补
9
0
o 2卜 , ` :
。
a o
`
,
”
、
。
a
g
,
:
z o 1
o
,
M
一
` 原式 = 10 9` 3 10 幻 忍+ 1 0 9 3 1 0 9 , 2
黔等
几
0 9 5 2 + 10 9 , 3 10 9 0 2 + 10 9 9 3 1
·
·
. 匕 O
艺 ,
10 9 刀 M =
lo g
M
N
…
”
’
g 里 里 塑一
·
。
`
` 0 9 3 3+ 2 1 xo g 2 10 9 , 3
。
要从 题 设推 出 题 断 从兔这 个 角 度 应实 现从 口 到 0 2 的 变 形 由是知 半 角 公式 将派 用场 ; ( 确定 了证 明 宗 旨及 选择 公 式 的 范 围 )
lo g
。
黔黔
a
·
一
一 “
·
”
log
a
a
证明
b
:
当a 护 l 时
=
1 +
丫
+ 10 9。 一 。“
g
b+
。
lo
a
o
a
二l吃a
.
。
恤
10
丝生
e
9
6 +
口
,
。
鱼 达
= l+ 10 9
。 一。
1十
念思 :}
( c + b)
0 9心 一 。 a
_
( 1 ) 式 表明
.
两 个 对 数之积
,
真 数可 以 换 位
二 s`
:
o
g
a
,。
o
g
a
`仍 十 ”
10 、
大
。 `, 1= n = 1
:
由 ( 丁 ) 式可 把方程 化 为
” 1 0二 `
二 ,
o a
1` 一 饭
”
”
· `
”
一
,
“
` , ,
已知
2
10 9 :
’
。
a
y
二劣
.
,
。 10 9 3 :
,
a
二二
妙
3
求证
1一 ” )
= 3y
,
一
x
一 3劣 + 5 二 3
lo g
a
a
. ,
劣=
10 肠“ + 1 0 9
成
:
10 9 +
。劣
年O
c“
,
,。
,。
( ,。 。
。。·
洋巫 丛(
o a
20 9 。 a
·
)
二: 产士 19鱼 丛吐 即
10
二log
:
oa”
=
n
lo g
注 意 第 三个 等号应 用 对数恒等式 也可 以 例
2:
。
据( , )
计算
:
10 9, 澎 万 10 9 , 9
a
e a
e 一。 a
二 Zl o g
一。
e 一 ba
。
10 9。 + 。
,
+ 10 9 。
a
。 = 21 叱 ;
c
娜
·
10 9二 。 几 当
,
’
掌 握 上面 四 个 变 形 公式
、
对 加深理 解
,
灵活 运 用
。
a
二 1时
解答对数 习题 都 有 很大 的 帮助
例5 求斌
:
等 式 显 然成 立 。 若 10 肠 , 10 9 二 10
, 、
10 9 ` 一
+ l吃 5 2 l o g a 3 + 10 9 5 2 10 9, 3
·
黔 黔
0 9。 1
·
“ ’
a
一 工
l 2 一
+
1 2 一
s l 1 2 一 1 3 一 + + 一
l 2 一
一
.5 一
M
l o g o N 二 lo g
“
N 10
·
9,
M… … ( 1 )
例4
:
, : : 已知C 二 a + 6
二: 卜
!。
`
。 a
。 一: ,
3
二 互 鱼 兰3一
, 3。
:
二 份 奋成等
,
一
、
” 数列
3,
一 `
y
二 3( 宙 `
o
{ g一
0 9 2
9 , 绪1 了 g
·
0
已知
:
x
澎飞 而石 石 示`
石 ”
砰不 不 厂 双飞 二奋 乡 )刃 啄 蔺
币
: 求10 9
,
丛丛 3
2卜
男 y
。 o:
,
性 且一
一
。:
吕 爹
z o l
,
10
9
,
斌矛 万丁
2
乳 呱 t 奋
吸
.
四 个 换底公式 的 变形公式 作 为 对该 文 的补 充 首 先规 定 下面 对数 式 中的 字母 都 使 对 数 有 意
.
。
一
,
告 (一 1 ) 一
·
例3 解
.
:
计算
:
(
10
9 3+
·
`
10
983
) ( 10
·
·
93 ,+
10 助幻
义
。
对 数 换底 公 式
灵 活 运 用 对 数 换 底公 式
( 上海 安 亭新 安 中学) 杨 思 源
贵刊 1 9 32 5刊 出《 我 们学了换 底公 式 后所 想到 的 , 一 文 该 文 对 对数换底 公 式作 了 三种变形 应用这些 变形 公式在解 某 些 对 数问 题 能 带来 方 便 本文 再 提 出
.
。
。
( I )式
!
0
9 3
言
g
( ,n + ( P一
q
) 盛` a ` 户 + 勺 , ), a 协 、
一
o `
“
`
、
二 3
` o“
一
且奋 爹
一
。`
“ = 31
二 3y
y 方
— 氛
了
:
( 弃 ) 式 ( 。一 ( P一
。
、
,
), )l
。 g 。
、
们 +
。 、
例8 解
.
,
解方程 1 0 1能
。 丈`
,
一
3
,
+ 5 ,
劣:
:
解 之得 劣 二 1
.
二 ,
.Hale Waihona Puke Baidu
= 2
证明
:
1 2
一
一矛
一
,。 、
:
。
一睽 妙
`
一
达
“
验 根知
= 1
.
幻 ` 2是原 方 程 的根
证 明 三 角恒 等式 的
三看
”
分 析法
( 四 川 彭县 教 师 进 公 学 杖 ) 税德 仲
所谓
函数
,
“
三看
”
分 析法
”
。
,
鱿是
`
一青 角
,
,
二看 三 角
析
.
通 过 这 三 个 方面 的 观 察 分 以 弃 勺 基 本上 可 确 定 我们的推 导 方向 避 免推 证 r户 三看式子 特 征
:
求证
10 9
。,
e
a
+ 10 9 。
,
一
。 a
二 2 10 9 10 9 。 +
。
。;
。
a
,
10 9 。
。
。a
由1 姐 M N N 万 ` 得 l o g o N 咨 抓 二 l馆 。 M ,呀 刀 ’. M 阿 对 二 M l a t N……丁 o . 上 面 四 式 都是 换 底公 式的 变 形 . ( 1 ) 式 表明 两个 同底对数 之 比 与底数无 关
,
。
lo
a a
g
e 一
。
= 10 9
。 一
。 c
(
一 b)
( e + b)
( 互) 式表 明 关
.
:
两个 同真数对 数 之 比
以 对数 为指数 的幂
,
与真数无
!
, 21
0 9。 斗
( 丁 ) 式表 明 真 数可 以 换位
对数 换底 公式
_
,
:
,
底 数 和 对数的
. ` .
+ lo g l心g , + c a