重庆理工大学概率论试卷大全

理工大学考试试题卷
2009～ 2010 学年第 1 学期
班级 学号 考试科目 概率论与数理统计 A 卷闭卷 共 4 页
· 密·封·线·
学生答题不得超过此线
一、 单项选择题（每小题2分，共20分）
1、 设事件A 与B 互为对立事件，且()0,()0,P A P B >>则下列
结论正确的是（ ）
A 、(|)0P
B A > B 、(|)()P A B P A =
C 、(|)0P B A =
D 、()()()P AB P A P B =
2、设12),)F x F x （（分别为两随机变量的分布函数，若12)))F x aF x bF x =-（（（为某一随机变量的分布函数，则（ ）
A 、32,55a b =
=- B 、22
,33a b == C 、13,22a b =-= D 、13
,22
a b ==-
3、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1
1100
3
x x x
x x F ，则()E X =（ ） A 、⎰+∞0
4dx x B 、+
⎰1
4dx x ⎰
+∞
1
xdx
C 、⎰1
3
3dx x D 、⎰+∞
33dx x
4、设127,,
,X X X 取自总体2
~(0,0.5)X N ，则7214i i P X =⎧⎫
>=⎨⎬⎩⎭
∑（ ）
(2222
0.050.0250.010.05(7)14.067,(7)16.012,(7)18.474,(6)12.592χχχχ====)
A 、0.5
B 、0.025
C 、0.05
D 、0.01
5、设电子计算机的第i 个部件在一天发生故障的概率为(1,2,
,)i p i n =，如果各部件发生
故障是相互独立的，则某日至少有一个部件发生故障的概率是（ ） A.12
n p p p B. 121(1)(1)
(1)n p p p ----
C. 12(1)(1)(1)n p p p ---
D. 12
1n p p p -
6、设随机变量(0,1),21X
N Y X =+，则Y
（ ）
A 、(1,4)N
B 、(0,1)N
C 、(1,1)N
D 、(0,2)N 7、设总体2(2,),X
N σ2σ为未知参数，129,,
,X X X 为其样本，
992
211
11,()98i i i i X X S X X ====-∑∑，则有( )
A 、
3(2)
(9)X t S
-B 、
S )2X (3- ～(8)t C 、σ
-)
2X (3 ～(8)t D 、σ
-)
2X (3 ～2(9)χ 8、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1, 01,01
(,)0, 其它
x y f x y <<<<⎧=⎨
⎩，则
{0.5,0.6}P X Y <<=（ ）。

A 、0.5； B 、0.3； C 、0.4； D 、0.6
9、设随机变量X 的密度函数为2,[0,2]()0,Ax x f x ⎧∈=⎨⎩
其它，则A =( )
A 、1
B 、
32C 、3
4
D 、38
10、某人忘记的最后一位数字，因而他随意地拨号，则他前三次都未接通的概率是
（ ）
A 、0.3
B 、0.6
C 、0.5
D 、0.7
二、填空题（每小题2分，共20分）
11、假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,
,n X X X 是取
自总体X 的简单随机样本，其方差为2S 。

已知2(23)a S λ=-为
λ的无偏估计，则a 等于_______________。

12、总体X 在[],2θθ上服从均匀分布，()0θ>，X 的一个样本值是1，2，3，4，θ的矩估计值是___________________。

13、设总体(1,1)X
N ，1234,,,X X X X 是X 的一个样本，若2
414i i a X =⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∑服从2χ分
布，则常数a 等于_______________。

14、设随机变量
X 的概率密度为
,
2, 01,
()0, 其它x x f x <<⎧=⎨
⎩，则1
{}2
P X ≤__________________。

15、设随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则随机变量ln Y X =的概率密度函数为
=)(y f Y ___________________________。

16、设总体X 服从均值为
1
2
的指数分布，1234,,,X X X X 是X 的一个样本，则12()E X X = ___________________________。

17、设相互独立的随机变量(1,2,
)i X i =都服从泊松公布(2)π，若
5010.9772i i P X k =⎧⎫
≤=⎨⎬⎩⎭
∑，则由中心极限定理可得常数k ≈_____________。

（注：(1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ=）
18、已知1
~(3,1),~(4,)
2
X N Y B -，且X 与Y 相互独立，则
(27)D X Y -+=____________。

19、设随机变量X 的方差()4D X =，随机变量Y 的方差()1D Y =，且X 与Y 的相关系
数为0.6，则()D X Y -=。

20、事件A 、 B 、C 至少有一个不发生可表示为_________________________________。

三、计算题（每小题8分，共40分）
21、设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求
()P BA 。

22、设随机变量X 的概率密度函数为1
,02
()20,
x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（1）
求2()E X （2）求X 的分布函数。

23、某工厂生产滚珠，某日从生产的产品中随机抽取9个测量直径，测得样本均值
14.911x =，设滚珠直径服从正态分布2(,0.15),N μ求μ的置信度为95%的置信区间。

(65.1,96.105.0025.0==Z Z )（精确到小数点后两位）
24、计算机中心有三台打字机,,A B C ，一程序交与各台打字机打印的概率依次为
0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。

一程序因打字机发生故障而
破坏，求该程序是在A 上打印的概率。

25、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为 01,02
(,)0 Axy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
其它 （1） 确
定常数A ；（2）判定X Y 与是否独立？
四、求解题（每小题10分，共20分）
26、已知101
~(,)0)0
x x X f x θθθθ-⎧<<=>⎨
⎩（其它，
12,,...,n x x x 为X 的一组样本观察值，求θ的最大似然估计值。

27、根据以往的调查,某城市一个家庭每月的耗电量服从正态分布N()10,852
今年随机抽查了25个家庭,统计的他们每月的耗电量的平均值为86.25, 问今年的平均每月耗电量是否有显著改变？（)05.0=α (65.1,96.105.0025.0==Z Z )
理工大学考试试卷
2009～ 2010 学年第 2 学期
班级 学号 考试科目 概率与数理统计 A 卷闭卷 共 3 页
一、 单项选择题（每小题2分，共22分）
1、设事件A 与B 互为对立事件，()0,()0,P A P B >>则下列命题不成立的是（ ）
A 、A 与
B 不相容 B 、A 与B 相互独立
C 、A 与B 不独立
D 、A B 与互不相容 2、设()F x 是连续型随机变量X 的分布函数，12,x x 为任意两实数，且12x x <，则（ ）不一定成立
A 、()F x 在1x 点连续
B 、12()()F x F x ≤
C 、12()()F x F x <
D 、{}2112()()F x F x P x x x -=<≤
3、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1
1100
3
x x x
x x F ，则()E X =（ ） A 、⎰+∞
4
dx x B 、+
⎰1
4
dx x ⎰
+∞
1
xdx
C 、⎰1
33dx x D 、⎰+∞
33dx x
4、设127,,
,X X X 取自总体2
~(0,0.5)X N ，则7214i i P X =⎧⎫
>=⎨⎬⎩⎭
∑（ ）
(2222
0.050.0250.010.05(7)14.067,(7)16.012,(7)18.474,(6)12.592χχχχ====)
A 、0.5
B 、0.025
C 、0.05
D 、0.01
5、每彩票中奖的概率为0.1，某人购买了20杂乱的彩票，设中奖的数为X ，则X 服从（ ）分布。

A 、01-
B 、 二项
C 、泊松
D 、指数.
6、由()()()E XY E X E Y =可断定( ) A 、X 与Y 相互独立
B 、X 与Y 不独立
C 、X 与Y 不相关
D 、X 与Y 相关
7、设商店售盐，每包重量是一个随机变量，其数学期望为1kg ，方差为0.0005kg ，500包这种食盐总重量在499~501kg 之间的概率为( ).
A 、2(1)1Φ-
B 、1(2)-Φ B 、
C 、1(1)-Φ
D 、2(2)1Φ-
8、将n 只球随机地投入n 只盒子中，则每只盒子中各有一只球的概率为（ ）。

A 、
!n n n B 、1n C 、11n -D 、
1
n n
9、设X 表示随机地在1－4的4个整数中取出的一个整数，Y 表示在1－X 中随机地取出的一个整数，则{}===1,3Y X P （ ）. A 、0 B 、41 C 、81 D 、12
1
10、设1234,,,X X X X 为总体X 的样本，则总体均值的最有效的估计量为（ ）。

A 、123411113636X X X X +++
B 、12341111
231212X X X X +++
C 、1234111736918X X X X +++
D 、12341111
4444
X X X X +++
11、设X ～2(,),N μσ则随σ的增大，概率{}||P X μσ-<（ ）。

A 、保持不变B 、单调减小C 、单调增大D 、先增后减
二、填空题（每小题3分，共18分）
1、袋中有10个形状相同的小球，其中4白6黑，现随机地将球一个一个地取
出(不放回)，则第3次才取得白球的概率为_______________。

2、总体X 在(0,)θ上服从均匀分布，12,,,n X X X 是X 的样本，θ的矩估计量是
___________________。

3、设A 、B 为随机事件，()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB =
4、已知()25,()1,1XY D X D Y ρ===-，则()D X Y -=__________________。

5、设随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则随机变量32Y X =-的概率密度函数为=)(y f Y ___________________________。

6、设总体2(,)X
N μσ，2σ已知，若12,,...,n X X X 是来自X 的样本,则μ的置
水平为1α-的双侧置信区间是_________________________。

三、计算题（每小题8分，共24分）
1、有10奖券，2元的8，5元的2无放回地取3，求获奖的资金额的数学期望。

2、若)0(,3.0)42(),,2(~2<=<<X P X P N X 求且σ
3、设随机变量X 的概率密度函数为2,0()10,0k
x f x x x ⎧≥⎪
=+⎨⎪<⎩（1）求常数k （2）
求X 的分布函数。

四、计算机中心有三台打字机,,A B C ，一程序交与各台打字机打印的概率依次为
0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。

一程序因打字机发生故障而破坏，求该程序是在A上打印的概率。

（8分）
五、计算题（8分）
设随机变量(,)
X Y的概率密度函数为
01
(,)
Axy x y
f x y
≤≤≤
⎧
=⎨
⎩其他
（1）确定常数
A；（2）判定X Y
与是否独立？
六、计算题（10分）
设总体X的密度函数为
101
(,)0)
x x
f x
θ
θ
θθ
-
⎧<<
=>
⎨
⎩
（
其它
，求θ的最大似然
估计θ。

七、计算题（10分）
某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是
0.15cm, 今从一批产品中随机地抽取16段进行测量, 其样本均值为10.48,
x=假设其标准差不变，问：能否认为该机工作正常？（显著水平0.05
α=，
0.0250.050.0251.96, 1.645,(15) 2.1315)z z t ===
参考答案及评分标准（A ）
一．单项选择题：（每小题2分，共22分） 1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．A 9．D 10．D 11. A 二．填空题：（每小题3分，共18分）
1.16 2． 1
2n
i i X n =∑ 3． 0.6 4．36 5．12(
)33y f +
6. 2X z α⎛⎫± ⎪⎝
⎭
三、计算题（每小题8分，共24分） 1．解：设获奖金额为X 元则X 的分布律为
……………（5分）
所以771
()69127.8151515
E X =⨯+⨯+⨯=……………（8分）
2．解：
2
2
2
(24)(0)()0.50.3
X P X P σ
σ
σ
-<<=<
<
=Φ-=，……（4分）
2
()0.8σ
Φ=……………（6分）
2
22
(0)(
)1()0.2X P X P σ
σσ
-<=<-=-Φ=……………（8分）
3解：()1f x dx ∞
-∞
=⎰
即0
2
arctan 112
k
dx k x k
x
π
+∞+∞===+⎰
2
k π
=
……………（4分）
分布函数
200,00,0()()2
0arctan 01x
x x F x f x dx k dx x x x x π
+∞-∞
<<⎧⎧⎪⎪
===⎨⎨≥≥⎪⎪+⎩⎩⎰
⎰……………（8分） 四、解：设A 表示程序由A 打印、B 表示程序由B 打印、C 表示程序由C 打印
H 表示打字机发生故障………（2分）
,A B ，C 为样本空间的划分
(|)()
(|)...........(6(|)()(|)()(|)()
0.010.66
................(8)0.010.60.050.30.040.125
P H A P A P A H P H A P A P H B P B P H C P C ∴=
++⨯==⨯+⨯+⨯分）
分
五、解：(1) 由 10
1(,)8
y
A f x y dxdy dy Axydx +∞+∞
-∞
-∞
===
⎰⎰
⎰⎰， 得 8A =……………（3分） (2)24(1)01
()(,)0X x x x f x f x y dy ∞
-∞
⎧-≤≤==⎨
⎩
⎰
其它……………（5分） 3401
()(,)0
Y y y f y f x y dx ∞
-∞
⎧≤≤==⎨
⎩⎰
其它……………（7分） 因为01x y ≤≤≤时，(,)()()X Y f x y f x f y ≠， 所以X 与Y 不独立……………（8分）
六、解：（1）似然函数为： 1
1
1
11
1
()()()n
n
n
n
n
i
i
i i i i L x x x θθθθθθθ---======∏∏∏ （4分）
则 1
ln ()ln (1)ln n
i i L n x θθθ==+-∏， ……………（6分）
令 1ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==+=∑， ……………（8分）
得θ的最大似然估计值 1
ˆln n
i
i n
x
θ
==-∑……………（10分）
七、解：假设00:10.5H μμ==10:H μμ≠………..2分
2
z α≥………..6分 而
0.0250.53 1.96z ==<=………..8分 所以接受0H 即认为该机工作正常。

………..（10分）
理工大学考试试题卷
2010～ 2011 学年第 2 学期
班级 学号 考试科目 概率论与数理统计 A 卷闭卷 共 4 页
一、 单项选择题（每小题2分，共20分） 1、若()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A
B 的值是（ ）
A 、0.6
B 、0.7
C 、0.8
D 、0.9
2、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数为()f x 和()F x ，则下列正确的是
（ ）。

A 、()()P X x f x ==
B 、()()P X x F x ==
C 、()()P X x F x =≤
D 、()0P X x =≠
3、设X 与Y 相互独立且服从区间[0,8]上的均匀分布，则{min(,)6}P X Y ≤=
（ ）
A 、2114⎛⎫- ⎪⎝⎭
B 、214⎛⎫ ⎪⎝⎭
C 、234⎛⎫ ⎪⎝⎭
D 、2
314⎛⎫- ⎪⎝⎭
4、设127,,
,X X X 取自总体2
~(0,0.5)X N ，则7214i i P X =⎧⎫
>≈⎨⎬⎩⎭
∑（ ）
(2222
0.050.0250.010.05(7)14.067,(7)16.012,(7)18.474,(6)12.592χχχχ====)
A 、0.5
B 、0.025
C 、0.05
D 、0.01
5、设随机变量X
22(220,3),(225,4)N Y N ，X Y 与相互独立，则{}P X Y <=
（ ）
A.0.5
B. (1)Φ
C. 1(1)-Φ
D. (2)Φ
6、设总体X ～N(μ,1)，X 1,X 2,X 3为总体X 的一个样本，若321CX X 3
1
X 21ˆ++=μ
为未知参数μ的无偏估计量，则常数C=( )
A 、
21 B 、31 C 、4
1 D 、61
7、总体~(,1)X N μ，12,,
,n X X X 是X 的样本，则21
()n
i i X μ=-∑服从分布( )
A 、2()n χ
B 、2(1)n χ-
C 、()t n
D 、(1)t n -
8、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1, 01,01
(,)0, 其它x y f x y <<<<⎧=⎨
⎩
，则
{}P X Y >=（ ）。

A 、0.5； B 、0.3； C 、0.4； D 、0.6
9、设随机变量X 的密度函数为2,0
(),0,
0x X
e x
f x Y e x --⎧>==⎨≤⎩，则Y 的数学期望等于
( ) A 、0x
xe dx +∞
-⎰
B 、0
x e dx +∞
-⎰
C 、
20
x e dx +∞
-⎰
D 、30
x e dx +∞
-⎰
10、袋中有10个形状相同的小球，其中4白6黑，现随机地将球一个一个地取出(不放回)，则第3次才取得白球的概率为（ ） A 、
103B 、26C 、16D 、10
4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11、2(,)X N μσ，已知()0.5P X k μσ≤+=，则常数k =_______________。

12、1
(0,1),(16,)2
X
N Y
b ，(,)Cov X Y X Y -=+______________。

13、总体X 在[]0,2θ上服从均匀分布，()0θ>，X 的一个样本值是1，2，3，4，θ的矩估计值是___________________。

14、)3(~πX （泊松分布），则=)(2X E _____________________________。

15、设X 服从区间[]1,5上的均匀分布，当1215x x <<<时，
12()P x X x ≤≤=___________________________。

16、某工厂生产滚珠，某日从生产的产品中随机抽取9个测量直径，测得样本均值
14.911x =，设滚珠直径服从正态分布2(,0.15),N μ则μ的置信度为95%的双侧置信
区间是________________________。

(65.1,96.105.0025.0==Z Z )（精确到小数点后两位）
三、计算题（每小题10分，共50分）
17、设C B A ,,是三事件，且8
1)(,0)()(,41)()()(====
==AC P BC P AB P C P B P A P ， （1）求C B A ,,都发生的概率；（2）求C B A ,,至少有一个发生的概率。

18、设随机变量X 的概率密度函数为()f x 2,01
0,x x ≤≤⎧=⎨⎩
其它，求32+=X Y 的概率密度
函数．
19、树的主人外出，委托邻居浇水。

设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8，若浇水则树死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水。

（1）求主人回来树还活着的概率；（2）若主人回来树已死，求邻居忘记浇水的概率。

20、设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为2 (,)0 A x y x f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它
（1） 确定
常数A ；（2）求边缘概率密度。

21、设~(1,)X b p ，12,,...,n X X X 是来自X 的一个样本，求θ的最大似然估计量。

四、求解题（12分）
22、糖厂用自动打包机打包，重量X 服从正态分布。

机器正常工作时，每包平均重量为100公斤，每天开工后要检验打包机工作是否正常。

某日开工后检验9包的重量，求得平均重量98.99=x 公斤，标准差21.1=s 公斤。

问该日打包机工作是否正常？
0.0250.025(0.05,(9) 2.2622,(8) 2.3060,)t t α===
参考答案及评分标准（A ）
一．单项选择题（每小题2分，共20分）
1．B 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 9．D 10． C
二、填空题（（每小题3分，共18分））
11.0 12. 3- 13．5 14．12 15．
21
5
x - 16. (14.81,15.01) 三、计算题（每小题10分，共50分）
17．解：(1)ABC AB ⊂
()()P ABC P AB ∴≤,又()0P AB =
()0()0P ABC P ABC ∴≤⇒=……………（5分）
（2）()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+
5
8
=
……………（10分） 18．解：3
()(23)(
)2
Y X y F y P X y F -=+≤=……（5分） 3313
()()()()2222
Y X X y y y f y f f ---'==
33520
y y -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
……………（10分）
19.解：设{}B =邻居会浇水，{}A =树活着
则()0.8,()0.15,()0.9P A B P A B P B ===……（2分）
（1）()()()()()P A P A B P B P A B P B =+
(10.15)0.9(10.8)(10.9)0.785=-⨯+-⨯-=……………（6分）
（2）()()
0.80.1
()0.372()
10.785
P A B P B P B A P A ⨯=
=
=-……………（10分）
20．(1) 由 21
1
1(,)6
x
x
f x y dxdy dx Ady A +∞+∞
-∞
-∞
===
⎰⎰
⎰⎰， 得 6A =……………（4分）
(2)2266()01
()(,)0x
x X dy x x x f x f x y dy ∞
-∞
⎧=-≤≤⎪==⎨
⎪⎩
⎰⎰
其它………（7分）
)01()(,)0Y y y f y f x y dx ∞
-∞
⎧≤≤⎪
==⎨⎪⎩
⎰
其它………（10分）
21. 解：设样本值为12,,...,n x x x
X 的分布律为{}1(1),0,1x x P X x p p x -==-=
似然函数为： 11
11
()(1)(1)
n
n
i
i
i i i i n
x n x x x i L p p p p p ==-
-=∑∑=-=-∏
则 1
1
ln ()()ln ()ln(1)n n
i i i i L p x p n x p ===+--∑∑， ……………（6分）
令 11
ln ()01n n
i i
i i x n x d L p dp p p
==-=-=-∑∑， ……………（8分）
得p 的最大似然估计值 1
1ˆn
i i p
x x n ===∑ p 的最大似然估计量为1
1ˆn
i i p
X X n ===∑……………（10分） 四、求解题（12分）
解：假设00:100H μμ==10:H μμ≠………..3分
2
(1)t n α≥-………..7分 而
0.0250.05(8) 2.3060t =≈<=………..10分 所以接受0H 即认为该日打包机工作正常。

………..（12分）
理工大学考试试卷
2011～ 2012 学年第 1 学期
班级 学号 考试科目 概率与数理统计（非理工） B 卷闭卷 共 3 页 一、单项选择（每小题2分，共20分） 1、设A ，B 为任二事件，则（
）
A 、()()()P A
B P A P B -=- B 、()()()P A
B P A P B =+
C 、()()()P AB P A P B =
D 、()()()P A P AB P AB =+
2、设事件A 与B 互为对立事件，且()0,()0,P A P B >>则下列命题不成立的是（ ） A 、A 与B 不相容 B 、A 与B 相互独立 C 、A 与B 不独立 D 、A B 与互不相容
3、匣中4只球,其中红,黑,白球各一只,另有一只红黑白三色球,现从中任取两只,其中恰有一球上有红色的概率为( )
A 、
16 B 、13 C 、12 D 、23
4、设)1,0(~N X ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于（ ）
A 、0
B 、1
C 、1
2
D 、1- 5、 设(),X Y 的联合概率密度为4010()xy x f x y <<<<⎧=⎨
⎩，，
y 1，0，
其它，若()F x y ，为分布函数，则(0.52)F =，()
A 、0
B 、
14 C 、16
1
D 、1 6、每彩票中奖的概率为0.1，某人购买了20杂乱的彩票，设中奖的数为X ，则X 服从（ ）分布。

A 、01-
B 、 二项
C 、泊松
D 、指数.
7、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1
1100
03
x x x
x x F ，则()() E X = A 、
4 0
x dx +∞
⎰
B 、 1
3 0
3x dx ⎰
B 、
C 、
1
4 0
x dx +
⎰
1
xdx +∞
⎰
D 、 3 0
3x dx +∞
⎰
8、设X ～),(p n b 且()6() 3.6E X D X ==，，则有（
）
A 、100.6n p ==，
B 、200.3n p ==，
C 、150.4n p ==，
D 、120.5n p ==， 9、由()()()
E XY E X E Y =可断定( ) A 、X 与Y 相互独立 B 、X 与Y 不独立
C 、X 与Y 不相关
D 、X 与Y 相关
10、设1234,,,X X X X 为总体X 的样本，则总体均值的最有效的估计量为（ ）。

A 、
123411113636X X X X +++ B 、 12341111
231212X X X X +++C 、1234111736918X X X X +++D 、 123411114444
X X X X +++ 二、填空题（每小题2分，共10分）
1、设A,B,C 为三事件，则事件“A,B,C 中至少有两个发生”可表示为_______________。

2、设A 、B 为随机事件，()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB =
3、已知随机变量X 的分布律为013~ 0.10.40.5X ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，则(2)P X ≤=。

4、设随机变量(2,8)X N ，则{}2P X ==____________。

5、设总体2(,)X
N μσ，2σ未知，若容量为n 的简单随机样本测得样本均值为X ，样本
均方差S ，则μ的置信水平为1α-的双侧置信区间是_________________________。

三、计算题（每小题6分，共30分）
1、假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取出一件，结果不是三等品，求取到的产品是一等品的概率。

2、已知4.0)(,9.0)(=-=B A P A P ，A 与B 相互独立。

求：(1)()、
P(B)2)、P(A B .
3、设随机变量2~(10,2)X N ，{}0.0668, (1)0.8413, (1.5)0.9332P X d <=Φ=Φ=，求d .
4、设连续型随机变量X 的概率密度为,
01,()2,12,x x f x x x <<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
0,其他.，求（1）X 的分布函
数()F x ；（2）1322P X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
5、设随机变量X 在(0,1)服从均匀分布，求随机变量23Y X =-+的概率密度．
四、（10分）已知随机变量X 与Y 的联合的分布律为求（1）
()D X ，()D Y （2）(2)E X Y +，()E XY （3）(,)Cov X Y .
五、（12分）设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为 01,02
(,)0 Axy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其他
（1） 确定常数A ；（2）判定X Y 与是否独立？（3）计算概率{1}P X Y +<。

六、（9分）设总体X 的密度函数为101
(,)0)0
x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨
⎩（其它，求θ的
极大似然估计θ。

七、（9分）从已知方差为220.15σ=的正态总体中抽取容量为16n =的一个样本，计算
得样本的均值为10.48x =，求在显著性水平0.05α=情况下检验假设0:10.5H μ=。

（参考数据：0.0250.050.0251.96, 1.645,(15) 2.1315)u u t ===
参考答案及评分标准（B ）
一、单项选择（每小题2分，共20分）
1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 二、填空题（每小题2分，共10分） 1.AB BC AC ⋃⋃ 2．
0.6
3． 0.5 4．0
5．
2(1)X n α⎛⎫±- ⎪⎝⎭
三、计算题（每小题6分，共30分）
1、解：设i A ：表示取到第i 等品（1,2,3i =）
13A A ⊂，于是131A A A =……………（2分） 1311333()()60%2
(/)110%3
()()P A A P A P A A P A P A =
===-……………（6分）
1、 解：事件 A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，
()()()()()()
0.90.9()0.4
P A B P A P AB P A P A P B P B -=-=-=-=
于是 5
()9
P B =
……………（3分） )()0.49
)510))19
A P A
B -=
===-P(B P(A B P(B P(B ……………（6分）
3
、
解
：
{}101010(
0.066810.9332222X d d P X d P ---⎧⎫
<=<=Φ==-⎨⎬⎩⎭
）……………（3分）
于是10-(
0.93322
d
Φ=），则10- 1.52d =，这样7d =……………（6分） 4、解：
2
02
1012
00,0
,012()()(2)21,12
2
()1,
2x x
x
x
dt x x tdt x F x f t dt x tdt t dt x x f t dt x -∞-∞
⎧=<⎪⎪⎪=≤<⎪==⎨⎪+-=--≤<⎪⎪=≥⎪⎩⎰⎰⎰
⎰⎰⎰， 即22
0,
0,012
()21,1221,
2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪
≥⎩……………（4分）
（
2
）
22131331313113
{}{}()()[2()2]()222222222224
P X P X F F ≤≤=<≤=-=⋅---=……………（6分）
5、解：X 在(0,2)服从均匀分布，于是101
()0X x f x <<⎧=⎨⎩
其它，…………（2
分）
由23Y X =-+有23y x =-+，则32y x -=-
12
x '=-， 所以 1
13()20
Y y f y ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其它…………（6分）
四、解：()10.620.40.2E X =-⨯+⨯=
222()(1)0.620.4 2.2E X =-⨯+⨯=
222()()(()) 2.20.2 2.16D X E X E X =-=-=…………（3分）
()10.310.320.40.8E Y =-⨯+⨯+⨯=
222()(1)0.310.320.4 2.2E Y =-⨯+⨯+⨯=
222()()(()) 2.20.8 1.56D Y E Y E Y =-=-=…………（6分）
(2)()2() 1.8E X Y E X E Y +=+=…………（7分）
()(1)(1)0.1(1)10.2(1)20.3(1)20.2210.1220.10.5
E XY =-⨯-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+
-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-…………（9分）
(,)Cov X Y =()()()0.66E XY E X E Y -=-…………（10分）
五、（12分）设随机变量(,)X Y 的概率密度函数为 01,02
(,)0 Axy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其他
（1） 确定常数A ；（2）判定X Y 与是否独立？（3）计算概率{1}P X Y +<。

解：(1) 由 21
1(,)f x y dxdy dy Axydx A +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰，
得 1A =……………（3分） (2)201
()(,)0X x x f x f x y dy ∞
-∞
≤≤⎧==⎨
⎩
⎰
其它……………（5分） 02()(,)2
Y y y f y f x y dx ∞
-∞
⎧≤≤⎪
==⎨⎪⎩⎰
其它
……………（7分）
因为(,)()()X Y f x y f x f y =， 所以X 与Y 独立……………（8分）
3）{1}P X Y +<=110
1
1
1(,)24
x
x y f x y dxdy dx xydy -+<=
==
⎰⎰⎰⎰
……………（12分） 六、解：似然函数为： 1
1
1
11
1()()()n
n
n
n
n
i
i
i i i i L x x x θθθθθθθ---======∏∏∏ （3分）
则 1
ln ()ln (1)ln n
i i L n x θθθ==+-∏， ……………（5分）
令 1ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==+=∑， ……………（7分）
得θ的最大似然估计值 1
ˆln n
i
i n
x
θ
==-∑……………（9分）
七、解：假设00:10.5H μμ==10:H μμ≠………..2分
2
z α≥………..6分 而
0.0250.53 1.96z ==<=………..8分 所以接受0H ………..（9分）。